交互作用Fock空間l2(Γ,{λn})上的梯度算子和散度算子

趙丹丹,周玉蘭

(1.西北師范大學(xué)知行學(xué)院,甘肅 蘭州 730070;2.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

1 引言

2 預(yù)備知識(shí)

在文章中,用σm 表示σ{m},用σ∪m表示σ∪{m}.

引理 2.1[7]設(shè)L2(M,μ)和L2(N,ν)是可分的測(cè)度空間,則存在唯一的同構(gòu)關(guān)系

使得f?g與f(x)g(y)對(duì)應(yīng).特別地,當(dāng)L2(N,ν)為可分的Hilbert空間H 時(shí),有

使得f?h與f(x)h對(duì)應(yīng).

其中 n≥1.由交互因子的定義可知,若λn(x1,···,xn)=0,則

λn+1(x1,···,xn,xn+1)=0,n ≥1.

定義 2.2[6]設(shè) l2(Γ(n)),n=0,1,2,···是 Hilbert空間,則

關(guān)于內(nèi)積

緊接著給出交互作用Fock空間l2(Γ,{λn})上增生算子和湮滅算子的定義.

注[6]:(1)1{x1,··,xn}(m)表示示性函數(shù),即

其中n≥1.

(2)在n粒子空間中,湮滅算子把元素變到(n+1)-粒子空間中,而增生算子把元素變到(n?1)-粒子空間中.

(4)l2(Γ,{λn})上的點(diǎn)態(tài)增生、湮滅算子在相同位置具有反交換關(guān)系,在不同位置具有交換關(guān)系,即

其中 I是 l2(Γ,{λn})中的恒等算子.

由于該空間中交互因子的限制,在

和 Γ(n)之間存在雙射.若 σ ={x1,···,xn} ∈ Γ(n),任取 f?n(x1,···,xn)∈ l2(Γ(n)),記

根據(jù)文獻(xiàn)[8],定義該交互作用Fock空間上的計(jì)數(shù)算子.

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中積分算子J在Bernoulli泛函空間中的作用,有

命題2.1 設(shè)

注:當(dāng)σ={x1,···,xn} ∈ Γ(n),記 Fm(x1,···,xn)=Fm(σ)=F(σ,m). 則上述空間中的內(nèi)積可表示為

命題2.2 設(shè)

3 主要結(jié)果

首先,給出交互作用Fock空間l2(Γ,{λn})中梯度算子和散度算子的定義.

下面定理得到l2(Γ,{λn})上梯度算子的性質(zhì).

注:(1)根據(jù)上述定理證明,有

(2)梯度算子?不是全空間的線性算子,而是稠定的線性閉算子.

接下來(lái),給出散度算子的定義.

由梯度算子和散度算子的定義,恰好得到散度算子是梯度算子的共軛算子.

定理 3.2 梯度算子?和散度算子δ互為共軛算子,即

結(jié)合文獻(xiàn)[9]和定理3.1和定理3.2,有

下面討論梯度算子和散度算子與計(jì)數(shù)算子之間的關(guān)系.記δ??為梯度算子?和散度算子δ的復(fù)合.

定理 3.3 任取 f?n∈ l2(Γ(n),{λn}),則 δ??(f?n)=N(f?n).

得到 δ??(f?n)=n(f?n),結(jié)合定義 2.4,N(f?n)=nf?n,故 δ??(f?n)=N(f?n).

從上述定理中可以看到,在交互作用Fock空間的n-粒子空間l2(Γ(n),{λn})中,梯度算子、散度算子所構(gòu)成的復(fù)合算子δ??與計(jì)數(shù)算子相等.將δ??作用在l2(Γ,{λn}),有

注:δ??是l2(Γ,{λn})上的稠定的線性閉算子.

最后,根據(jù)交互作用Fock空間中增生、湮滅、計(jì)數(shù)算子間的關(guān)系,討論增生、湮滅算子族與δ??的關(guān)系.

結(jié)合計(jì)數(shù)算子的定義,有

4 總結(jié)

l2()是實(shí)值平方可和函數(shù)構(gòu)成的 Hilbert空間,文章基于 l2()的交互作用Fock空間l2(Γ,{λn}),定義離散條件下梯度、散度算子并研究其性質(zhì),得到