審題一針見血 求解立竿見影

摘 要：審題，顧名思義就是對(duì)題目的含義進(jìn)行分析、研究，從而正確地把握問題，理解題意，明確題目要求，確定答題方式等.

關(guān)鍵詞：捕捉;關(guān)聯(lián);轉(zhuǎn)化

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0002-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：王蘇文（1975.7-），男，浙江省諸暨人，大學(xué)，中學(xué)高級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

審題是合理、正確解題的基礎(chǔ)，是獲取解題信息，最終達(dá)到圓滿解題的第一步.審題過程中善于捕捉，善于發(fā)現(xiàn)，才能更好地解決問題.平時(shí)捕風(fēng)捉影也不見得是件壞事，只要捕捉對(duì)象準(zhǔn)確，無疑是解決問題的一條良策.

一、捕捉數(shù)字

在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)字對(duì)解題起著決定性的作用，因此掌握數(shù)字間的關(guān)聯(lián)是解決問題的金鑰匙.

例1 求值：sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°.

分析 式中三個(gè)數(shù)值存在關(guān)系如下：15°=7°+8°，7°=15°-8°等，觀察所求式子的關(guān)系，可將7°用15°-8°來表示更為合理，繼而用15°=45°-30°轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角進(jìn)行求值，那么所求問題就迎刃而解了.

例2 已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（1，3），O為原點(diǎn)，設(shè)OM=αOA+βOB，且α+β=1，α，β均為實(shí)數(shù)，若N（1，0），則MN的最小值是

.

圖1分析 在平面向量基本定理中，若OP=xOA+yOB的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）滿足x+y=1，則A，P，B三點(diǎn)共線，在相關(guān)問題的求解中還是十分有效的，在具體問題的處理中會(huì)顯得格外清晰.

解 由OM=αOA+βOB，且α+β=1，則M在直線AB上運(yùn)動(dòng)，故MN的最小值即為點(diǎn)N到直線AB的距離.由lAB：x-y+2=0，則d=|1-0+2|12+12=322，故MN的最小值是322.

在大多數(shù)解題過程中，數(shù)字間的特征可以幫助我們更快、更好地解決問題，達(dá)到事半功倍的高效.

二、捕捉結(jié)構(gòu)

在數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于數(shù)學(xué)式的結(jié)構(gòu)特征的準(zhǔn)確把握，有時(shí)會(huì)對(duì)解決數(shù)學(xué)問題起到事半功倍的實(shí)效.

例3 已知sinα+2cosα=-5，求tanα.

分析 在三角函數(shù)中有一類特殊結(jié)構(gòu)形式：對(duì)偶式，其特點(diǎn)是同類構(gòu)造，簡(jiǎn)便求解.

解 構(gòu)造對(duì)偶式：cosα-2sinα=t.

將兩式平方相加得：5=t2+5，解得：t=0，即cosα-2sinα=0.

故tanα=sinαcosα=12.

例4 已知tanα=2，求sin3α-cosαsin3α+2cosα的值.

分析 三角函數(shù)求值中有一類特殊求值結(jié)構(gòu)：齊次式，其特點(diǎn)為每一項(xiàng)次數(shù)均相同，利用切化弦求解.

解 原式=sin3α-cosα（sin2α+cos2α）sin3α+2cosα（sin2α+cos2α）.由tanα=2，則sinα=2cosα代入上式：原式=8cos3α-4cos3α-cos3α8cos3α+8cos3α+2cos3α=318=16.

在數(shù)學(xué)解題中，如若能完美把握好所求問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，對(duì)于解題可謂錦上添花.

三、捕捉模型

掌握高中數(shù)學(xué)中的常見模型對(duì)于求解數(shù)學(xué)問題而言可謂無招勝有招，柳暗花明又一村.

圖2例5 如圖2，設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面△ABC的中心，過O的動(dòng)平面與P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC（或其延長(zhǎng)線）的交點(diǎn)分別為Q，R，S，則1|PQ|+1|PR|+1|PS|（ ?）.

A.有最大值而無最小值

B.有最小值而無最大值

C.無最大值也無最小值

D.是一個(gè)與Q，R，S位置無關(guān)的常量

分析 作為動(dòng)態(tài)題的關(guān)鍵問題是找到合理的不動(dòng)因素，而本題的變化模型中不變的是Q，R，S，O四點(diǎn)共面，可利用空間四點(diǎn)共面的基本定理這一模型進(jìn)行求解.

解 設(shè)|PQ|=x，|PR|=y，|PS|=z，則PA=PAxPQ，PB=PByPR，PC=PCzPS.根據(jù)條件：O為底面中心，且A，B，C，O四點(diǎn)共面，則PO=PA+PB+PC3.

結(jié)合上式得：PO=PA3xPQ+PB3yPR+PC3zPS.而Q，R，S，O四點(diǎn)共面，則PA3x+PB3y+PC3z=1.又|PA|=|PB|=|PC|且為定長(zhǎng)，故1|PQ|+1|PR|+1|PS|=3PA為定值.

圖3例6 如圖3所示，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆4個(gè)，一堆3 個(gè).現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過程中不同取法的種數(shù)是

.

分析 在排列組合中，有時(shí)問題的模型不能很好建立，就會(huì)一籌莫展.因此在解決排列組合問題時(shí)，利用實(shí)際問題抽象出合理的模型是解決問題的所在，而且也行之有效.

本題可采用排列組合的基本模型，即平排畫7個(gè)格子在地上，每取一個(gè)集裝箱一次放在格子上，只需在7個(gè)格子里隨意挑4個(gè)格子安放左側(cè)4個(gè)集裝箱即為所求，故共有C47種.

在解決菲常規(guī)試題時(shí)，往往需要構(gòu)建一些合理的解題模型幫助問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最終找到問題的突破口.

四、捕捉位置

例7 如圖4，正四面體ABCD的頂點(diǎn)C在平面α內(nèi)，且直線BC與平面α所成的角為45°，頂點(diǎn)B在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)O.當(dāng)

圖4頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大時(shí)，直線CD與平面α所成角的正弦值等于

A. 6+3212 ? B. 22+15

C. 6+24 D. 5+2212

分析 學(xué)生對(duì)于立體幾何中的動(dòng)態(tài)題往往感到害怕，尤其像這種幾何體的動(dòng)態(tài)問題，使原本就害怕的學(xué)生往往望而卻步，更何況去求解.通過對(duì)幾何體的旋轉(zhuǎn)不難發(fā)現(xiàn)試題中滿足最值的位置.

取CA，CB，CD作為空間基底向量，根據(jù)題意，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，O四點(diǎn)在同一平面時(shí)，頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大.不妨設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，則平面α的法向量即為BO，結(jié)合四邊形ABOC中的內(nèi)角與相關(guān)長(zhǎng)度，圖中△ABC為正三角形，△BOC是以BC為斜邊的等腰直角三角形.可計(jì)算得：BO=3-36CB-33CA，故cos〈BO，CD〉=BO·CD|BO||CD|=-6+3212.設(shè)直線CD與平面α所成角為θ，則sinθ=|cos〈BO，CD〉|=6+3212.

故選（A）.

作為立體幾何的動(dòng)態(tài)題，往往考查學(xué)生觀察、分析問題的能力，因此作為動(dòng)態(tài)下的各個(gè)位置是解決問題的關(guān)鍵所在，只要找到正確的位置，動(dòng)態(tài)問題就迎刃而解了.

參考文獻(xiàn)：

＼[1＼]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[責(zé)任編輯：李 璟]