分類列舉：探索從“無(wú)序”走向“有序”

丁洪

[摘 要]分類列舉是重要的數(shù)學(xué)方法，它能使探索從“無(wú)序”走向“有序”。在具體實(shí)踐中，要注重分類的封閉，用列舉驗(yàn)證猜想;要注重分類的生長(zhǎng)，借列舉有序探索;要注重分類的遷移，助列舉內(nèi)化模型;還要注重分類的聯(lián)結(jié)，促列舉感悟價(jià)值。最終，讓學(xué)生體驗(yàn)探索的愉悅，獲得學(xué)習(xí)的成功。

[關(guān)鍵詞]分類列舉;和與積的奇偶性;探索規(guī)律

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）11-0009-02

分類一般有兩個(gè)序列，即“等級(jí)分類”和“并列分類”。其中，前者表現(xiàn)為縱向排列，類似于套筒式地一級(jí)包含一級(jí)，描述了概念之間的從屬關(guān)系;后者表現(xiàn)為橫向排列，每個(gè)部分不重復(fù)、不遺漏、不交叉，描述的是概念之間的平行關(guān)系。列舉一般也有兩種情形，即“完全列舉”和“部分列舉”。其中，前者是將所有可能的結(jié)果全部呈現(xiàn)出來(lái)，過(guò)程演繹的是完全歸納，所得結(jié)論是必然的;后者是根據(jù)需要呈現(xiàn)相關(guān)特例，過(guò)程演繹的是不完全歸納，所得結(jié)論是或然的。應(yīng)該說(shuō)，在分類的基礎(chǔ)上，列舉將會(huì)變得更有序、有理和有效。

“和與積的奇偶性”是蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)編排的“探索規(guī)律”的專題活動(dòng)，屬于“數(shù)與代數(shù)”板塊。從探索對(duì)象來(lái)看，與生活現(xiàn)象不同的是，本課直接研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象;從知識(shí)溯源來(lái)看，原來(lái)是靜態(tài)判斷一個(gè)數(shù)的奇偶性，現(xiàn)在變?yōu)閯?dòng)態(tài)判斷一個(gè)算式結(jié)果的奇偶性;從探索方法來(lái)看，因?yàn)楹团c積的運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜，所以需要分門別類列舉探索。問(wèn)題是，分類封閉后，列舉的具體內(nèi)容如何確定？分類生長(zhǎng)時(shí)，列舉的表征方式如何選擇？分類遷移中，列舉的無(wú)痕內(nèi)化如何實(shí)現(xiàn)？分類聯(lián)結(jié)處，列舉的價(jià)值感悟如何達(dá)成？等等。透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，不同階段的探索目標(biāo)不一樣，但是探索的操作需求一致，即從“無(wú)序”走向“有序”。

一、分類封閉，列舉驗(yàn)證

一般而言，分類封閉是“并列分類”的基本原則。遵循這個(gè)原則進(jìn)行分類，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定標(biāo)準(zhǔn)分成若干部分，做到部分與部分之間不重不漏。顯然，這樣“化整為零”的各個(gè)擊破，可以增強(qiáng)探索的針對(duì)性和實(shí)效性。

首先，通過(guò)問(wèn)題“你能說(shuō)說(shuō)奇數(shù)和偶數(shù)各有什么特點(diǎn)嗎？”驅(qū)動(dòng)學(xué)生調(diào)用原有的判斷經(jīng)驗(yàn)——只需要看這個(gè)數(shù)的個(gè)位，回顧具體的判斷方法，即個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)是偶數(shù)，個(gè)位上是1、3、5、7、9的數(shù)是奇數(shù)。當(dāng)經(jīng)驗(yàn)和方法融為一體時(shí)，“一個(gè)數(shù)的奇偶性”就變得一目了然。其次，通過(guò)問(wèn)題“任意選兩個(gè)不是0的自然數(shù)，求出它們的和，再看看和是奇數(shù)還是偶數(shù)?！彬?qū)動(dòng)學(xué)生借助列舉進(jìn)行探索。這里不管是先分類、再列舉，還是先列舉、再分類，重點(diǎn)都是將思維引向分類探索：第一類是“偶數(shù)+偶數(shù)”，加數(shù)都是偶數(shù)，和是偶數(shù);第二類是“奇數(shù)+奇數(shù)”，加數(shù)都是奇數(shù)，和也是偶數(shù);第三類是“偶數(shù)+奇數(shù)”，加數(shù)中既有偶數(shù)，也有奇數(shù)，和卻是奇數(shù)。需要指明的是，“和”是運(yùn)算的結(jié)果，它的奇偶性與組成的每一個(gè)加數(shù)的奇偶性都有關(guān)。在這里，情況復(fù)雜了，反而彰顯了分類列舉的價(jià)值。最后，通過(guò)“你能再舉一些例子，驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)嗎？”的拓展，一方面引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)感知“兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同時(shí)，和一定是偶數(shù)”的數(shù)學(xué)事實(shí);另一方面通過(guò)兩個(gè)層次的思考，一是“數(shù)學(xué)課本左、右兩邊頁(yè)碼的和都是奇數(shù)”，二是“任意兩個(gè)相鄰自然數(shù)的和都是奇數(shù)”，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維從零散碎片逐漸走向系統(tǒng)整體。

應(yīng)該說(shuō)，封閉、自洽的分類是列舉的前提和基礎(chǔ)。列舉時(shí)還需要適當(dāng)側(cè)重，一方面要把主要精力放在重點(diǎn)類別上，給予探索第三類的時(shí)間和空間;另一方面要盡可能進(jìn)行完全列舉，不具備完全列舉條件的，也要在特例的基礎(chǔ)上加以概括和推理，幫助學(xué)生跳出單個(gè)靜態(tài)的例子，形成連續(xù)動(dòng)態(tài)的思維。

二、分類生長(zhǎng)，列舉探索

兩個(gè)非0自然數(shù)和的奇偶性分成三類來(lái)探索，過(guò)程清晰，結(jié)論明確。遷移到多個(gè)非0自然數(shù)和的奇偶性，也可以分成三類來(lái)探索，即第一類全是偶數(shù)，第二類全是奇數(shù)，第三類奇偶混合，然后分別有序列舉，化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單操作。

具體而言，探索第一類時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷偶數(shù)的個(gè)數(shù)從2個(gè)變?yōu)?個(gè)、4個(gè)……的過(guò)程，使學(xué)生初步體驗(yàn)到：偶數(shù)的個(gè)數(shù)雖然增加了，但是它們和的奇偶性并沒(méi)有發(fā)生變化。顯然，多個(gè)非0偶數(shù)的和是偶數(shù)，結(jié)果是唯一確定的，并且具有穩(wěn)定性和連續(xù)性的特征。探索第二類時(shí)，同樣先引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷奇數(shù)的個(gè)數(shù)從2個(gè)變?yōu)?個(gè)、4個(gè)……的過(guò)程，通過(guò)各種形式的舉例驗(yàn)證，初步體驗(yàn)到：奇數(shù)的個(gè)數(shù)增加了，它們和的奇偶性也隨之發(fā)生變化（如圖1）。接著，引導(dǎo)學(xué)生觀察，使得學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)奇數(shù)的個(gè)數(shù)是1、3、5、7……時(shí)，它們的和是奇數(shù);當(dāng)奇數(shù)的個(gè)數(shù)是2、4、6、8……時(shí)，它們的和是偶數(shù)。顯然，多個(gè)非0奇數(shù)的和可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，雖然二者必居其一，但是結(jié)果并不唯一確定，起決定作用的是奇數(shù)的個(gè)數(shù)。探索第三類時(shí)，首先有序增加偶數(shù)的個(gè)數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)論增加多少個(gè)偶數(shù)，結(jié)果的奇偶性都沒(méi)有發(fā)生改變，體驗(yàn)到“在奇偶混合加法中，偶數(shù)的影響力可以‘忽略不計(jì)”;然后引導(dǎo)學(xué)生有序增加奇數(shù)的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)奇數(shù)增加到偶數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果就是偶數(shù)，增加到奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果又變成了奇數(shù)，這種規(guī)律與第二類的規(guī)律是一致的。

應(yīng)該說(shuō)，隨著列舉數(shù)量的逐步增多，探索過(guò)程有序推進(jìn)，規(guī)律發(fā)現(xiàn)能夠高效達(dá)成。需要注意的是，學(xué)生列舉的探索形式可以多樣，利用具體數(shù)據(jù)、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理都是可以的，但教師仍然需要引導(dǎo)學(xué)生將這些生動(dòng)的表征形式引向深刻的模型建構(gòu)，這符合學(xué)科知識(shí)的建構(gòu)需要，也符合學(xué)生思維的發(fā)展需求。

三、分類遷移，列舉內(nèi)化

在學(xué)生探索和的奇偶性的過(guò)程中，教師可以適當(dāng)介入和幫扶。積的奇偶性延續(xù)了原有的探索方法和路徑，可以放手讓學(xué)生自主分類和自動(dòng)列舉，并在小組內(nèi)分享過(guò)程和修正思考之后，自然建構(gòu)相關(guān)數(shù)學(xué)模型。

首先，通過(guò)“幾個(gè)數(shù)的乘積，什么情況下是奇數(shù)？什么情況下是偶數(shù)？”的設(shè)問(wèn)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主架構(gòu)研究的類別，從而體驗(yàn)到問(wèn)題的情境發(fā)生了變化，但是問(wèn)題解構(gòu)成的類別相同，即“全是偶數(shù)”“全是奇數(shù)”和“奇偶混合”。其次，學(xué)生根據(jù)相應(yīng)類別有序列舉，在第一類中，依次增加偶數(shù)的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)積還是偶數(shù);在第二類中，依次增加奇數(shù)的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)積還是奇數(shù);在第三類中，無(wú)論是依次增加偶數(shù)的個(gè)數(shù)，還是依次增加奇數(shù)的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)積依然是偶數(shù)。最后，引導(dǎo)學(xué)生從有無(wú)偶數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，觀察、對(duì)比和概括出規(guī)律特征，即“有偶則偶”和“無(wú)偶則奇”。這樣的總結(jié)朗朗上口，方便辨識(shí)和應(yīng)用。

應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生的探索從“扶著走”順利過(guò)渡到“放手做”，探索空間變大，自主意識(shí)增強(qiáng)，建構(gòu)能力提升。因此，如果有可能，“積的奇偶性”的分類列舉盡量當(dāng)堂完成，這樣才能完美演繹探索的及時(shí)性、對(duì)比性和延續(xù)性。

四、分類聯(lián)結(jié)，列舉感悟

是用就事論事的眼光看待問(wèn)題，還是用尋求聯(lián)系的視角思考問(wèn)題，這不僅表現(xiàn)為外在的自主選擇，更觸及內(nèi)在的思維習(xí)慣。而教學(xué)的意蘊(yùn)在于用“有意向地示范”驅(qū)動(dòng)“有目的地內(nèi)化”，以實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的自然過(guò)渡。

首先，是知識(shí)之間的聯(lián)系。比如，“偶數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)+……”可以抽象概括成“偶數(shù)×個(gè)數(shù)”，然后聯(lián)系“有偶則偶”的乘法規(guī)律，使學(xué)生體會(huì)到所得結(jié)論與個(gè)數(shù)無(wú)關(guān);“奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)+……”可以抽象概括成“奇數(shù)×個(gè)數(shù)”，然后聯(lián)系“有偶則偶”“無(wú)偶則奇”的乘法規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)決定和的奇偶性的因素是奇數(shù)的個(gè)數(shù)。顯然，這樣的巧妙轉(zhuǎn)化，有效構(gòu)建了不同數(shù)學(xué)模型之間的有機(jī)聯(lián)系。其次，是方法層面的聯(lián)系。通過(guò)“回顧探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，說(shuō)說(shuō)自己的體會(huì)”引導(dǎo)學(xué)生從方法層面進(jìn)行反思，學(xué)生感悟到“多寫(xiě)一些算式，并進(jìn)行比較，才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律?！薄耙⒁鈴牟煌乃闶街邪l(fā)現(xiàn)共同的特點(diǎn)?！薄芭e例和驗(yàn)證是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的好方法?！憋@然，這樣的總結(jié)提煉，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從特殊走向一般。最后，是思想層面的聯(lián)系。這一層次的聯(lián)系并不獨(dú)立存在，它散落于單個(gè)的探索以及知識(shí)層面和方法層面中，應(yīng)該說(shuō)，抽象、建模和推理一直在發(fā)生，而且三者聯(lián)系緊密，從未缺席探索活動(dòng)的全過(guò)程。顯然，用數(shù)學(xué)思想驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)視域更廣闊。

綜上，探索教學(xué)的本意不在知識(shí)本身，但是沒(méi)有知識(shí)的生長(zhǎng)、方法的聯(lián)系和思想的沉淀，探索活動(dòng)一定是“空中樓閣”，華而不實(shí)。因此，探索教學(xué)應(yīng)該基于具體知識(shí)，又不拘泥于具體知識(shí)，要想辦法超越具體知識(shí)，使得探索教學(xué)在體現(xiàn)本身價(jià)值意蘊(yùn)的同時(shí)，攜手課程知識(shí)和諧共建，并讓學(xué)生在此過(guò)程中體驗(yàn)探索的愉悅，獲得學(xué)習(xí)的成功。

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“基于問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)的小學(xué)生數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的研究”階段性成果（課題批準(zhǔn)文號(hào)：C-b/2020/02/26）。]

（責(zé)編 金 鈴）