深度理解：探索從“定量”走向“定性”

丁洪

[摘 要]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開“定量”和“定性”。其中，側(cè)重行為操作的“定量刻畫”，通過問題驅(qū)動、知識遷移和對比展示，實現(xiàn)初探激趣、再探體驗和深探建構(gòu)，助推線性理解的發(fā)生;側(cè)重思維操作的“定性把握”，通過分類定性和分層定性，實現(xiàn)二維理解和多維聯(lián)系，助推結(jié)構(gòu)理解的生發(fā)。最終，實現(xiàn)探索活動的溫度可感、廣度可拓和深度可測。

[關(guān)鍵詞]深度理解;面積變化;探索規(guī)律

[中圖分類號] G623.5[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0011-02

人們認(rèn)識和理解客觀世界一般需要經(jīng)歷兩種過程，即定量刻畫、定性把握，前者側(cè)重行為的操作過程，比如畫圖、測量和計算等，這些外顯行為處在學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備階段，具有客觀性、現(xiàn)實性和基礎(chǔ)性的特征;后者側(cè)重思維的操作過程，比如猜測、驗證、概括等，這些內(nèi)在行為處在學(xué)習(xí)的生發(fā)階段，具有主觀性、探索性和創(chuàng)造性的特征。顯然，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要從定量刻畫逐步走向定性把握，逐漸抽象概括、形成方法和模型，進而廣泛應(yīng)用。

“面積的變化”是蘇教版教材六年級下冊安排的“探索規(guī)律”的專題活動，屬于“圖形與幾何”板塊。從行為操作來看，“面積的變化”聚焦簡單圖形，按照一定大小的比例，鎖定影響圖形變化的關(guān)鍵因素，使學(xué)生順利畫出放大和縮小后的圖形，進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念;從思維操作來看，“面積的變化”主要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“猜想與驗證”的過程，發(fā)現(xiàn)圖形面積變化的一般規(guī)律，初步滲透科學(xué)的方法理論。問題是，探索如何“立序”，研究從哪個圖形開始？探索如何“立行”，每個圖形研究的側(cè)重點是什么？探索如何“立言”，怎樣表達研究的結(jié)論？應(yīng)該說，起點可以不同，過程存在差異，但是深度理解的追求必定殊途同歸。

一、定量刻畫：在行為操作中線性理解

著名物理學(xué)家楊振寧教授認(rèn)為：“除非有定量的實驗證據(jù)，沒有任何一種哲學(xué)性的討論能夠作為科學(xué)的真理來加以接受?！币簿驼f，一方面數(shù)據(jù)產(chǎn)生需要定標(biāo)準(zhǔn)、去測量和得結(jié)果，研究不能忽視統(tǒng)一性和準(zhǔn)備性;另一方面，研究需要用數(shù)據(jù)來“說話”，研究結(jié)論才具真實性和普適性。

1.問題驅(qū)動，初探激趣

這個環(huán)節(jié)的教學(xué)一般有兩種版本。第一種是以長方形的探索為起點，要求學(xué)生“分別量出它們的長和寬，寫出對應(yīng)邊長的比”，并記錄“大長方形與小長方形長的比是（）∶（），寬的比是（）∶（）”，然后引導(dǎo)學(xué)生“估計大長方形與小長方形面積的比是幾比幾” 。學(xué)生通過畫圖法、計算法和列表法，以及積的變化規(guī)律驗證猜測，得到“大長方形與小長方形面積的比是 9∶1”。教師順勢提出問題“其他平面圖形按比例放大后，面積的比又會怎樣變化呢？”，驅(qū)動學(xué)生繼續(xù)思考。第二種是以探索正方形為起點，引導(dǎo)學(xué)生聚焦正方形邊長的前后變化，以及對應(yīng)面積的前后變化，再提煉出相關(guān)結(jié)論。

顯然，從長方形出發(fā)的探索，遵循的是知識的建構(gòu)序列，畢竟面積起始圖形的作用不容小覷;從正方形出發(fā)的探索，貼近面積累加的計量規(guī)則，所得過程與結(jié)論更直接和更直觀。

2.知識遷移，再探體驗

首先，借助媒體的動態(tài)演示，將正方形（或者長方形）、三角形和圓分別按比例放大，并在活動單上呈現(xiàn)放大前后的兩類圖形，學(xué)生通過指認(rèn)、聯(lián)系和對比，明確了將要探索的數(shù)學(xué)對象。其次，通過問題“研究圖形的變化規(guī)律需要知道哪些信息？”，讓學(xué)生鎖定影響圖形面積大小的關(guān)鍵因素，即邊長、長和寬、底和高、半徑，清楚探索的測量重點。其次，借助問題“上面的圖形分別是按幾比幾放大的？圖形放大后與放大前的面積的比各是多少？”，鼓勵學(xué)生組內(nèi)分工，自主選擇喜歡的圖形進行探索，并將測量和計算的結(jié)果記錄在表格中，明確探索的操作要點。最后，利用問題“比較每個圖形放大后與放大前的長度比和面積比，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？”，引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比，最終發(fā)現(xiàn)“長度比是 2∶1，面積比是4∶1;長度比是 3∶1，面積比是9∶1……”“兩個比的后項都是1，面積比的前項是長度比前項的平方” ，順勢歸納、總結(jié)和抽象出“如果把一個圖形按n∶1 的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是 n2∶1 ”的數(shù)學(xué)模型。

顯然，這是本課的重點部分，是知識建構(gòu)、探索成效和情感共鳴的關(guān)鍵階段。其中，教師的指導(dǎo)和幫助不能缺位，比如必要測量的方法指導(dǎo)，充分活動的時空保障，理性表達的適時參與，等等。也就是說，只有師生心中都有“數(shù)”，才能助推探索實現(xiàn)從特殊到一般的思維跨越。

3.對比展示，深探建構(gòu)

從科學(xué)方法論的角度來看，猜測的結(jié)論是需要驗證的，而且是需要多個案例、多種角度和多種途徑的驗證，因此，以點帶面、以此類推就成為探索的常用手段和通用方法。這樣看來，教材精心設(shè)計的“在方格紙上畫一個平行四邊形，按比例放大，算一算放大后與放大前圖形的面積比，看看是不是符合上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。”的探索活動，是及時的、應(yīng)景的和必需的。具體到活動中，一方面要鼓勵學(xué)生組內(nèi)分工協(xié)作，圖形放大的比例可以各不相同，通過對比和分析數(shù)據(jù)，驗證規(guī)律的適用程度，建構(gòu)探索學(xué)習(xí)的回路;另一方面，鼓勵學(xué)生逆向思考，并通過對比、分析和歸納案例數(shù)據(jù)，得到“如果把一個圖形按 1∶n 的比縮小，縮小后與縮小前圖形的面積1∶n2 ”的數(shù)學(xué)結(jié)論。當(dāng)然，教學(xué)還可以更進一步，引導(dǎo)學(xué)生超越圖形的變化方向，再次從數(shù)量上歸納并發(fā)現(xiàn)“面積比與長度比的平方倍有關(guān)”。

顯然，先從特殊到特殊的類比思考，實現(xiàn)了知識遷移;再從特殊到一般的歸納思考，建立了數(shù)學(xué)模型;以平行四邊形的面積變化為例，在不斷變化中感知不變的存在，又驗證了規(guī)律可信。進一步說，圖形變化的程度有了定量刻畫這個利器，就能將模糊的感知顯性呈現(xiàn)，方便了描述交流。

二、定性把握：在思維操作中結(jié)構(gòu)理解

定性就是要將研究對象內(nèi)在的、穩(wěn)定的、持久的傾向與外在的、易變的、暫時的傾向區(qū)分開來。這樣處理，一方面能幫助學(xué)生探索未知的經(jīng)驗，另一方面也能幫助學(xué)生反思已有的經(jīng)驗。最終，實現(xiàn)對研究對象的整體的、結(jié)構(gòu)的和系統(tǒng)的理解，進而把握其本質(zhì)。

1.分類定性，二維理解

像長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形，它們都是基本的平面圖形。影響這些平面圖形面積大小的關(guān)鍵因素都有兩個，它們的名稱雖然不一樣，但是都體現(xiàn)了二維空間的圖形特征。在定量刻畫環(huán)節(jié)，主要是測量具體圖形的具體數(shù)據(jù)，有了這些數(shù)據(jù)的感性支撐，就可以脫離具體數(shù)據(jù)，從整體上加以理性探索。

師：將這些圖形按照n∶1 的比例放大，不進行具體測量，你能推理得到面積變化的規(guī)律嗎？試一試。

生1：我研究的是長方形。原來的面積是S=a×b=ab，現(xiàn)在的面積是S=na×nb=n2（ab），我發(fā)現(xiàn)“長方形現(xiàn)在的面積∶原來的面積=n2∶1”。

生2：我研究的是三角形。原來的面積是S=a×b÷2，現(xiàn)在的面積是S=na×nb÷2=n2（a×b÷2），我發(fā)現(xiàn)“三角形現(xiàn)在的面積∶原來的面積=n2∶1”。

生3：我研究的是圓形。原來的面積是S=πr2，現(xiàn)在的面積是S=π×nr×nr=n2（πr2），我發(fā)現(xiàn)“圓形現(xiàn)在的面積∶原來的面積=n2∶1”。

……

顯然，平面圖形中兩個維度的線段分別擴大n倍，對應(yīng)的面積就擴大了“n×n=n2”倍。也就是說，圖形的樣子可以不一樣，但是圖形結(jié)構(gòu)的屬性相同，所以變化的結(jié)論內(nèi)在一致。如有可能，思維還可以引向一般建構(gòu)，即兩個維度的線段分別擴大a倍和b倍，對應(yīng)的面積就擴大了“a×b=ab”倍?？梢钥闯觯@樣的思維操作更通透、更舒展和更理性。

2.分層定性，多維聯(lián)系

通過問題“回顧探索規(guī)律的過程，你有什么收獲？還想到了什么？”，驅(qū)動學(xué)生從變化特征、探索方法和結(jié)構(gòu)聯(lián)系等層面進行界定。首先，是變化特征的界定，變化分為按比例放大或者按比例縮小，影響圖形變化的兩個維度“同步變化”，但是圖形樣子“始終不變”，變中不變演繹了圖形內(nèi)外的辯證統(tǒng)一;其次，是探索方法的界定，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“要認(rèn)真觀察、比較數(shù)據(jù)，才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律”。數(shù)據(jù)可以是具體的或者是抽象的，但是數(shù)據(jù)建模的規(guī)律是一樣的，虛實結(jié)合演繹了感性和理性的辯證統(tǒng)一 ;最后，是結(jié)構(gòu)聯(lián)系的界定，通過猜測“長方體、正方體等按比例放大后，體積比和長度比會有什么關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生從聯(lián)系的視角嘗試闡述，并逐步發(fā)現(xiàn)：一維圖形是線段的同步變化，二維圖形是線段的變化組合，三維圖形是線段的變化建構(gòu)（如圖1）。結(jié)構(gòu)生長演繹了部分和整體的辯證統(tǒng)一。

顯然，定性研究既需要回到原本事實和經(jīng)驗本身，從具體圖形出發(fā)探索;又需要超越經(jīng)驗和事實，將圖形歸置定性為某種類型，并再次出發(fā)探索;最后通過類別歸屬定性在某個維度，上升至理性認(rèn)知和一般思考?？梢钥闯?，這樣的思維操作既演繹了知識的追本溯源，又實現(xiàn)了知識的螺旋建構(gòu)，使得探索活動溫度可感、廣度可拓和深度可測。

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點課題“基于問題鏈驅(qū)動的小學(xué)生數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)的研究”階段性成果（課題批準(zhǔn)文號：C-b/2020/02/26）。]

（責(zé)編 金 鈴）