變樣本容量比例控制圖設計及應用

張 瑩，周思陽，張 弓

（1.武漢理工大學 物流工程學院，湖北 武漢 430063；2.港口物流技術與裝備教育部工程研究中心，湖北 武漢 430063）

0 引言

控制圖作為統(tǒng)計過程控制（Statistical Process Control,SPC）的重要工具之一，被廣泛應用于監(jiān)控過程中關鍵質量特性的波動。目前，如何使用控制圖監(jiān)控兩個正態(tài)變量之間的比例這一問題受到廣泛關注。這是因為在一些實際生產(chǎn)過程中，監(jiān)控兩個變量之間的比例變化比單獨監(jiān)控每個變量的變化更為重要。例如，在煤炭港口的生產(chǎn)過程中，配煤是將各種煤質指標不同的煤按一定的比例配成混合煤，以滿足各類客戶需求，降低成本，穩(wěn)定煤質，減少污染物的排放，獲得較好的經(jīng)濟、社會和環(huán)境效益。其中各種煤炭的比例是一種關鍵質量特性，在配煤過程中如何監(jiān)控各種煤炭的比例，確?；旌厦旱呐浔确€(wěn)定是煤炭生產(chǎn)過程中重要的一環(huán)。

在使用控制圖對變量間比例進行監(jiān)控的研究中，Celano，等[1]首先針對樣本容量n=1 的情況設計了用于監(jiān)控二元正態(tài)變量間比例關系的Shewhart-RZ控制圖，并對其統(tǒng)計特性進行了討論。之后Celano和Castagliola[2]將這項研究擴展到樣本容量n ＞1 的情形，并通過一個食品行業(yè)的例子說明了Shewhart-RZ 控制圖的有效性。為了改善Shewhart-RZ 控制圖不能有效檢測比例中小偏移的缺陷，Tran，等[3-4]提出了EWMA-RZ控制圖和CUSUM-RZ控制圖。此后學者們采用不同的策略對比例控制圖進行優(yōu)化，以進一步提高比例控制圖的性能。Celano，等[5]將Shewhart-RZ控制圖與合格品鏈長控制圖結合，提出了Synthetic-RZ控制圖；Nguyen，等[6]開發(fā)了Synthetic-RZ控制圖的單邊版本，計算結果表明單邊Synthetic-RZ控制圖能有效改善Synthetic-RZ控制圖中ARL-biased的問題，并獲得更好的統(tǒng)計性能；Tran，等[7]采用運行準則對Shewahrt-RZ控制圖進行優(yōu)化，提出了帶有附加運行準則的 Shewhart-RZ 控制圖；Nguyen，等[8-10]結合變抽樣區(qū)間（Variable Sampling Interval，VSI）策略開發(fā)了VSIShewhart-RZ控制圖、VSI EWMA-RZ控制圖和VSI CUSUM-RZ控制圖。除了對比例控制圖統(tǒng)計性能的優(yōu)化，Tran，等[11]考慮了需要監(jiān)控混合物中多種成分間的比例特性的情況，提出了MEWMACoDa控制圖；Tran，等[12]，Nguyen和Tran[13]分別研究了測量誤差對Shewhart-RZ 控制圖和單邊Shewhart-RZ控制圖性能的影響。

Shewhart型控制圖由于易于實現(xiàn)而被廣泛采用，同時它們在檢測過程均值的大偏移方面提供了良好的性能，但可能需要更長的時間才能檢測到中小偏移。解決這一問題的常用方法是使用更高級的控制圖，例如帶運行規(guī)則的控制圖、合成控制圖、CUSUM控制圖或EWMA控制圖和使用自適應策略的動態(tài)控制圖。在動態(tài)控制圖中可變抽樣區(qū)間（Variable Sampling Interval，VSI）控制圖和可變樣本容量VSS控制圖是兩種常見的類型。王兆軍[14]對VSS 控制圖的設計理論進行了綜述。一些學者研究了VSS型控制圖的統(tǒng)計性能，Costa[15]通過將 VSS與 EWMA 控制圖、CUSUM 控制圖和帶有運行規(guī)則的Shewhart控制圖進行比較，研究了VSS控制圖的統(tǒng)計性能。Teoh，等[16]使用運行長度的中位數(shù)和運行長度中位數(shù)的期望值對VSS控制圖進行了優(yōu)化設計。由于VSS 策略能有效改善Shewhart 型控制圖對中小漂移不敏感的缺陷，Castagliola，等[17]提出了VSS t 控制圖以改善t控制圖對中小偏移的檢測性能。Castagliola，等[18]和 Yeong，等[19]提出了 VSS CV 控制圖對變量的變異系數(shù)進行監(jiān)控。Annadi，等[20]首先將VSS策略應用于CUSUM 型控制圖，提出了VSS CUSUM 控制圖，并通過計算說明VSS CUSUM 控制圖優(yōu)于傳統(tǒng)的靜態(tài)CUSUM 控制圖，特別當偏移不大時，這種優(yōu)勢更加明顯。薛麗[21]將VSS 策略應用于非正態(tài)EWMA控制圖，并通過計算說明VSS 策略提升了控制圖的檢測效率。

分析發(fā)現(xiàn)，針對比例控制圖的研究大多集中于合成比例控制圖和VSI 比例控制圖，缺乏針對變樣本容量策略在比例控制圖中應用的研究。針對這一問題，本文提出一種單邊變樣本容量比例（VSS Shewhart-RZ）控制圖來監(jiān)控兩正態(tài)變量間的比例特性，比較其與單邊Shewhart-RZ 控制圖的性能，發(fā)現(xiàn)VSS Shewhart-RZ 控制圖的性能明顯優(yōu)于Shewhart-RZ 控制圖。最后針對港口配煤問題，將其運用于皮帶機配煤系統(tǒng)中，對煤炭比例進行監(jiān)控，以提高配煤質量。

1 單邊Shewhart-RZ控制圖

W為二元正態(tài)隨機向量，W=(X,Y)T～N(μW,ΣW)，其均值向量為：

協(xié)方差矩陣為：

其中ρ為變量X,Y的相關系數(shù)，X,Y的變異系數(shù)可分別表示為表示變量X,Y標準差之比。記變量X,Y之比為Z，在文獻[2]中Celano和Castaliola給出了變量Z的累積分布函數(shù)(c.d.f)、概率密度函數(shù)(p.d.f)及逆分布函數(shù)(i.d.f)的近似表達式：

其中 Φ(·)和φ(·)分別表示標準正態(tài)分布的c.d.f和p.d.f；A,B,C1,C2,C3為關于z,γX,γY,ω的函數(shù)。

假設在時刻i抽取樣本容量為n的樣本{Wi,1,Wi,2,…,Wi,n}，樣本之間相互獨立且服從二元正態(tài)分布，Wi,j=(Xi,j,Yi,j)T～N(μW,i,ΣW,i) ，i=1,2,…，1 ≤j≤n，其均值向量為：

協(xié)方差矩陣為：

與Celano 和Catagliola[2]一致，本文假設：（1）對于變量X,Y存在σX,i=γX×μX,i，σY,i=γY×μY,i的線性關系，其中變量X,Y的變異系數(shù)γX,γY為已知常數(shù)；（2）當過程處于受控狀態(tài)時，變量X,Y的比例為已知常數(shù)當過程失控時比例發(fā)生偏移，z1=τz0，其中τ表示偏移的大小和方向，τ∈(0,1)時發(fā)生向下的偏移，τ ＞1時發(fā)生向上的偏移。

為了對比例變量Z進行監(jiān)控，構造統(tǒng)計量：

的累積分布函數(shù)及其逆函數(shù)可由式（3）和式（5）推導得到：

單邊Shewhart-RZ 控制圖包括檢測比例向上偏移的上單邊Shewhart-RZ 控制圖和檢測向下偏移的下單邊Shewhart-RZ控制圖。對于上單邊控制圖，僅有上控制限：

對于下單邊控制圖僅有下控制限：

其中α0為單邊Shewhart-RZ 控制圖的虛假報警概率。當統(tǒng)計量大于上單邊控制圖的上控制限UCL或小于下單邊控制圖的下控制限LCL時，控制圖發(fā)出過程失控的警報。

2 單邊VSS Shewhart-RZ控制圖

2.1 單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖的實施流程

本文在單邊比例控制圖研究的基礎上，增加了動態(tài)調整樣本容量的自適應策略，提出兩個單邊變樣本容量比例控制圖。變樣本容量控制策略是指在過程監(jiān)控中可以根據(jù)抽樣樣本信息動態(tài)調整控制圖抽樣樣本容量，而非采用固定的樣本容量。在本文中樣本容量有兩種可能的取值，即小樣本容量nS和大樣本容量nL，nS ＜nL。通過引入警戒限將控制圖分為三個區(qū)域：安全區(qū)、警戒區(qū)和失控區(qū)，由式（16）和式（17）可知控制圖的上下限受樣本容量n的影響，因此當樣本容量n取nS或者nL時，會有不同的控制限和警戒限。

檢測向上偏移的上單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖在時刻i的控制限可設為UCLi=z0×KU,p，KU,p為上單邊控制圖的控制限系數(shù)，警戒限為UWLi=z0×WU,p，WU,p為上單邊控制圖的警戒限系數(shù)；同理檢測向下偏移的下單邊VSS Shewhart-RZ控制圖的控制限為LCLi=z0×KD,p，警戒限為LWLi=z0×WD,p，KD,p，WD,p分別為下單邊控制圖的控制限系數(shù)和警戒限系數(shù)。其中，當n(i)=nS時，p=S；當n(i)=nL時 ，p=L；對 于 上 單 邊 VSS Shewhart-RZ 控制圖，不同樣本容量下的控制限和警戒限系數(shù)滿足KU,S ＞W(wǎng)U,S，KU,L ＞W(wǎng)U,L；對于下單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖，不同樣本容量下的控制限和警戒限系數(shù)滿足WU,S ＞KU,S，WU,L ＞KU,L。

上單邊VSS Shewhart-RZ控制圖的運行過程為：

下單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖的運行過程與上單邊類似，這里不再詳細描述。

2.2 VSS Shewhart-RZ控制圖的性能指標

在控制圖的設計研究中，通常使用平均運行長度ARL來評價控制圖的性能，即從過程開始運行到異常信號產(chǎn)生時所經(jīng)過的平均樣本數(shù)。記過程處于受控狀態(tài)下的平均運行長度為ARL0，失控狀態(tài)下的平均運行長度為ARL1。當過程處于受控狀態(tài)時，ARL0越大越好，此時控制圖虛發(fā)警報的概率降低，可避免多余的停機檢查；當過程處于失控狀態(tài)時，ARL1越小越好，此時控制圖漏發(fā)警報的概率降低，可以快速檢測到異常因素的產(chǎn)生。當樣本容量可變時，平均樣本容量（Average Sample Size，ASS）也是一種評價指標，ASS=E(n(i))。記過程處于受控狀態(tài)下的平均樣本容量為ASS0，失控狀態(tài)下的平均樣本容量為ASS1。VSS型控制圖與靜態(tài)控制圖進行比較時，使受控狀態(tài)下的ARL0和ASS0保持一致，比較失控狀態(tài)下的ARL1和ASS1，更小的ARL1或ASS1代表擁有更好的性能。

采用馬爾可夫鏈推導單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖的性能指標，將單邊VSS Shewhart-RZ控制圖建模為一個含有三種狀態(tài)的馬爾可夫鏈，其中前兩種狀態(tài)分別對應小樣本容量和大樣本容量，第三種為吸收態(tài)，對應過程失控的情形。該馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣P為：

其中I 為2×2 的單位矩陣，q 為初始概率向量。當設定第一組樣本的樣本容量n(1)=nS時，q=(1,0)T；當設定第一組樣本的樣本容量n(1)=nL時，q=(0,1)T。本文假設初始狀態(tài)較為平穩(wěn)處于安全區(qū)域內，設置第一組樣本容量為nS，q=(1,0)T。

ASS 的計算需要先將轉移矩陣P 轉換成P*，當n(1)=nS時：

與矩陣P不同，P*沒有吸收態(tài)，當馬爾可夫鏈到達第三種狀態(tài)即失控狀態(tài)時，立刻重啟恢復至第一狀態(tài)。由P*定義的馬爾可夫鏈有穩(wěn)態(tài)概率向量π=(πs,πl(wèi),πOOC)T，可由式（21）求得：

其 中 穩(wěn) 態(tài) 概 率 (πs,πl(wèi),πOOC) 與 樣 本 容 量(nS,nL,n(1))相關。當n(1)=nS時，矩陣R可由矩陣P*先轉置，對角線元素減1，并將第一行的元素替換為1，得到：

2.3 VSS Shewhart-RZ控制圖的設計

本文首先保證過程處于受控狀態(tài)的統(tǒng)計性能，即保證ARL0和ASS0大小，進而使得過程處于失控狀態(tài)的平均運行長度最小，即最小化ARL1。此時，VSS Shewhart-RZ 控制圖的設計問題轉化為帶有約束的非線性函數(shù)最優(yōu)化問題。

上單邊控制圖的優(yōu)化模型如下：

下單邊控制圖的優(yōu)化模型為：

其中ARL0的取值由實際過程中允許的最大虛發(fā)警報概率確定，本文為了方便比較，與文獻[2-11]中的ARL0的取值保持一致，ARL0=200。n0的取值為實際過程中受控狀態(tài)下樣本容量的希望值，為方便比較，本文取n0={5,15}。同時在實際應用中樣本容量的最大值一般會有限制，與文獻[17-18]類似，本文設置樣本容量可取的最大值為31，則nS,nL需要滿足1 ≤nS ＜n0＜nL≤ 31的約束。

（1）設置γx,γy,ρ,τ,z0,n0等參數(shù)的取值；

（2）令nS=1；

（3）令nL=n0+1；

（4）在當前參數(shù)下，采用Matlab 軟件優(yōu)化工具箱中的fmincon 函數(shù)對當前的非線性規(guī)劃模型進行求解，得到 (WU,S,WU,L,KU,S,KU,L)；

（5）根據(jù)當前(nS,nL,WU,S,WU,L,KU,S,KU,L)的取值計算ARL1指標；

（6）保持nS不變，令nL=nL+1；

（7）重復第2步至第4步直至nL=31；

（8）令nS=nS+1；

（9）重復第3步至第8步直至nS=n0-1；

（10）從所有的決策變量組合中選取使ARL1最小的參數(shù)。

3 數(shù)值分析與比較

本文將研究不同場景下單邊VSS Shewhart-RZ控制圖的統(tǒng)計性能，并與固定樣本容量（Fixed Sample Size，F(xiàn)SS）的單邊Shewhart-RZ控制圖的統(tǒng)計性能進行比較。為方便分析與比較，本文只研究由比例偏移引起的過程失控，假設在生產(chǎn)過程中兩個變量間的相關系數(shù)保持不變。本文考慮的一些場景參數(shù)如下：

γX∈{0.01,0.2},γX∈{0.01,0.2}，分別對應變量X、Y離散程度較小和較大的情況；

ρ∈{0.0,±0.4,±0.8}，代表變量X、Y 間不同程度的相關性；

n0∈{5,15}，對應使用小樣本容量和大樣本容量的情形；

τ∈{0.9,0.95,0.98,0.99} 為 向 下 的 比 例 偏 移 ；τ∈{1.01,1.02,1.05,1.1}為向上的比例偏移。

給定參數(shù)γX,γY,ρ0,n0,τ的值，可以通過式（24）求得上單邊控制圖的最優(yōu)參數(shù)通過式（25）求得下單邊控制圖的最優(yōu)參數(shù)失控狀態(tài)下的ARL1指標可基于求得的最優(yōu)參數(shù)計算得到，表1和表2展示了過程發(fā)生不同大小偏移時單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖和單邊FSS Shewhart-RZ控制圖的ARL1值。

從表1和表2中可以得出以下結論：

（1）VSS 策略顯著提高了單邊FSS Shewhart-RZ控制圖的統(tǒng)計性能，特別是當偏移較小或變量X,Y的 離 散 程 度 較 大 時 。 如 當γX=0.01,γY=0.01,ρ=-0.8,n0=5,τ=1.01 時，單邊 FSS Shewhart-RZ 控制圖的ARL1=12.5，而單邊VSS Shewhart-RZ控制圖的ARL1=4.1，統(tǒng)計性能提升了67.2%。當γX=0.2,γY=0.2,ρ=-0.8,n0=5,τ=0.9 時，單邊 FSS Shewhart-RZ控制圖的ARL1=42.1，而單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖的ARL1=10.4，統(tǒng)計性能提升了75.2%。

（2）變量X,Y的離散程度 (γX,γY) 的取值對VSS Shewhart-RZ 控制圖性能的影響較大，(ρ,n0,τ)等參數(shù)保持不變時，(γX,γY)越小越能快速檢測到比例 的 偏 移 。 如 當ρ=-0.8,n0=5,τ=1.05 并 且γX=0.01，γY=0.01 時，VSS Shewhart-RZ 控制圖的ARL1=1，當γX=0.2，γY=0.2 時，ARL1=32.7。

（3）變量X,Y間的相關系數(shù)ρ0對VSS Shewhart-RZ控制圖的性能有所影響，(γX,γY,n0,τ)等參數(shù)保持不變時，ρ的取值越大即變量間的正相關性越強，控制圖的性能越好。如γX=0.01,γY=0.01,n0=5,τ=1.01且ρ=-0.8 時，VSS Shewhart-RZ 控制圖的ARL1=4.1；當ρ=0.8 時，ARL1=1.3。

（4）受控狀態(tài)下的平均樣本容量n0的取值也會對VSS Shewhart-RZ控制圖的性能有所影響，n0越大控 制 圖 的 性 能 越 好 。 如 當γX=0.01,γY=0.01,ρ=-0.8,τ=1.01 且n0=5 時，VSS Shewhart-RZ 控制圖的ARL1=4.1；而當n0=15 時，ARL1=2.3。

4 煤炭配比仿真實驗

本文通過仿真實驗說明單邊VSS Shewhart-RZ比例控制圖在煤炭港口配煤過程中對煤炭比例進行監(jiān)控的應用。在散貨碼頭物流裝備實驗室中對配煤比例監(jiān)測環(huán)節(jié)做仿真實驗，假設需要監(jiān)測的兩類煤炭（神混一，平混六）的目標混合比例為1：1（z0=1），在生產(chǎn)過程中兩類煤炭各由一條皮帶機運輸，最后在筒倉內混合。為監(jiān)控兩類煤炭的比例，對一定時間內兩條皮帶的流量進行抽樣檢測，將兩類物料的質量用變量(X,Y)表示。抽樣檢驗時分別截取兩個皮帶機上30s內運輸?shù)奈锪线M行稱重，記錄兩類物料的質量作為一個樣本。在進行監(jiān)控前需要通過多次抽樣對過程參數(shù)進行估計，并確定過程處于穩(wěn)定狀態(tài)，由此得到γX≈0.05,γY≈0.05,ρ=0 。

表1 n0=5 時，單邊VSS Shewhart-RZ和單邊FSS Shewhart-RZ控制圖的ARL1

由第3節(jié)分析，以n0=5 為例，針對生產(chǎn)過程中兩種煤炭的比例z0可能偏移至z1=1.1 的情況，對上單邊VSS Shewhart-RZ控制圖進行優(yōu)化設計，計算得到?jīng)Q策變量的取值為nS=4,nL=12,小樣本時的控制限和警戒限分別為KU,S=1.094 6,WU,S=1.038 0，大樣本時 的 控 制 限 和 警 戒 限 分 別 為KU,L=1.059 0,WU,L=1.040 5，此時控制圖失控狀態(tài)下的平均運行長度為ARL1=1.48。

表2 n0=15 時，單邊VSSShewhart-RZ和單邊FSSShewhart-RZ控制圖的ARL1

實驗中共進行了15次抽樣，在前10次抽樣時模擬受控狀態(tài)下的生產(chǎn)過程，讓設備正常運轉；在第10次抽樣后讓其中一個皮帶每次運行33s 以模擬生產(chǎn)失控導致物料比例偏移至z1=1.1 的情況。根據(jù)采集到的數(shù)據(jù)可繪制上單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖如圖1所示，前10次抽樣結果皆位于控制限之下，表示過程處于受控狀態(tài)。當?shù)?0次抽樣樣本容量發(fā)生變化后，控制圖通過第12-15樣本點超出控制限及時發(fā)出警報，表明過程失控，需要對生產(chǎn)過程進行檢查以恢復正常生產(chǎn)。

圖1 上單邊VSS Shewhart-RZ控制圖

5 結語

本文針對實際生產(chǎn)中需要對二元正態(tài)變量間的比例特性進行監(jiān)控的問題，提出采用兩個單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖來監(jiān)控過程中的比例變量，采用馬爾可夫鏈方法推導出VSS Shewhart-RZ 控制圖的平均運行長度和平均樣本容量指標，通過優(yōu)化失控狀態(tài)下的平均運行長度指標研究了單邊VSS Shewhart-RZ控制圖的統(tǒng)計性能。實驗結果表明了單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖相對于Shewhart-RZ控制圖的優(yōu)越性，尤其當偏移較小或變量X,Y的變異系數(shù)較大時，VSS Shewhart-RZ 控制圖的性能優(yōu)勢更加顯著。港口配煤生產(chǎn)過程中，采用單邊VSS Shewhart-RZ 控制圖來監(jiān)控煤炭的混合比例，可以迅速對比例偏移做出反應，有效減少不合格混合煤的產(chǎn)生，提高生產(chǎn)效率。本文僅研究了VSS 策略在Shewhart 比例控制圖中的應用，其在EWMA 和CUSUM比例控制圖中的應用還需要進一步研究。