一類中值問題的一般解法

劉碧森　鄧嘉鑫

【摘要】中值問題在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位，是研究函數(shù)在某個區(qū)間整體性質(zhì)的有力工具，是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的橋梁.中值問題也因其綜合性使得題目顯得靈活多變，讓人感到難以下手.本文從一道習(xí)題出發(fā)，深入探討一類中值問題的解決方法，詳細討論了解決中值問題的關(guān)鍵——原函數(shù)的具體構(gòu)造方法.通過構(gòu)造合適的原函數(shù)可將問題化難為易，化未知為已知，讓這類問題迎刃而解，有跡可循.歸納總結(jié)類似習(xí)題的解決方法，對于微積分的學(xué)習(xí)大有裨益，善于總結(jié)規(guī)律與經(jīng)驗對于大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也有事半功倍的效果.

【關(guān)鍵詞】微積分中值定理;多介值問題;原函數(shù);構(gòu)造方法

一、引言

介值問題、微分中值問題、極值問題、積分中值問題等問題都涉及中值點的存在性問題，在高等數(shù)學(xué)的各個知識點中占有非常重要的地位.若在要證明的微分表達式中出現(xiàn)多個介值點，這類問題往往難以入手.本文就一類中值點的存在問題中的多介值問題的解法進行討論，提出這類問題的一般解法.

在教材[1]課后習(xí)題集中有如下習(xí)題：

習(xí)題設(shè)f（x）∈C[0，1]∩D（0，1），f（0）=0，f（1）=1.試證：在（0，1）內(nèi)存在不同的ξ，η，使f′（ξ）f′（η）=1.

筆者發(fā)現(xiàn)，這類問題往往要證明的是含有不同介值點的和、差、積、商的形式，要證明的表達式一般是經(jīng)過四則運算后的結(jié)果.

證法一 令F（x）=f（x）-1+x，則F（x）在[0，1]上連續(xù)，且F（0）=-1<0，F(xiàn)（1）=1>0，由介值定理知，存在x0∈（0，1），使得F（x0）=0，即f（x0）=1-x0.

在[x，x0]和[x0，1]上對f（x）分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點ξ∈（0，x0），η∈（x0，1），使得

f′（ξ）=f（x0）-f（0）x0-0，

f′（η）=f（1）-f（x0）1-x0，

于是

f′（ξ）f′（η）=f（x0）x0·1-f（x0）1-x0=1-x0x0·x01-x0=1.

證法二[2] 不妨設(shè)f′（ξ）=h1，f′（η）=h2，滿足h1·h2=1，而區(qū)間為[0，1]，f（0）=0，f（1）=1，因此由拉格朗日中值公式，可推測存在c∈（0，1），使得

h1=f（c）-f（0）c-0=f（c）c，

h2=f（1）-f（c）1-c=1-f（c）1-c，

其中c需滿足f（c）=1-c.

余下證明同解法一.

二、對于問題的再思考

解法一確實非常簡潔，但如此巧妙的方法不禁會讓人產(chǎn)生疑惑，開始的原函數(shù)F（x）=f（x）-1+x是怎么想到的呢？解法二對問題進行了進一步挖深，但似乎還是沒有明確指出f（c）=1-c的由來.現(xiàn)在筆者就如何找分段點給出完整的過程.

首先，分析題干可以看出，本題要求找出兩個不同的點.為保證ξ≠η，故考慮不同的區(qū)間[0，c]，[c，1]，使用拉格朗日中值定理，則ξ∈（0，c），η∈（c，1），

[WB]f′（ξ）=f（c）-f（0）c-0=f（c）c，

f′（η）=f（1）-f（c）1-c=1-f（c）1-c，

要使f′（ξ）f′（η）=f（c）c·1-f（c）1-c=1，

即使f（c）=c或f（c）=1-c.

經(jīng)檢驗，f（c）=1-c符合題意.

故可構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-1+x，容易得到F（0）F（1）<0，由介值定理，可知c∈（0，1），F(xiàn)（c）=0，證畢！

通過以上分析，教輔答案構(gòu)造的原函數(shù)看上去才是水到渠成的.不僅如此，還可以由此歸納出這類問題的尋找分段點c的一般方法：

①將區(qū)間[a，b]從c處分開;

②在區(qū)間[a，c]與區(qū)間[c，b]上分別使用拉格朗日中值定理，由此得到f′（ξ）與f′（η）關(guān)于c的函數(shù)表達式;

③將f′（ξ）與f′（η）關(guān)于c的函數(shù)表達式代入題目所給的關(guān)系式中，整理求解得到f（c）的表達式，即可得到所要設(shè)的原函數(shù);

④原函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)通過介值定理找到分段點c.

以下面這道例題為例，我們可以根據(jù)以上提出的四個步驟找到要構(gòu)造的原函數(shù).

例題設(shè)f（x）∈C[0，1]∩D（0，1），f（0）=0，f（1）=1，證明：對任意給定的正數(shù)a，b，ξ，η∈（0，1），ξ≠η，使得

af′（ξ）+bf′（η）=a+b.

證明步驟一：

為保證ξ≠η，故考慮不同的區(qū)間[0，c]，[c，1].

步驟二：

對函數(shù)f（x）使用拉格朗日中值定理，有ξ∈（0，c），η∈（c，1），

f′（ξ）=f（c）-f（0）c-0=f（c）c，

f′（η）=f（1）-f（c）1-c=1-f（c）1-c.

步驟三：

將上述得到的表達式代入題目給出的關(guān)系式中，可以得到

af′（ξ）+bf′（η）=af（c）c+b1-f（c）1-c=a+b，

對左式進行變形后可以得到

af（c）c+b1-f（c）1-c

=acf（c）+b（1-c）1-f（c）

=ac[1-f（c）]+b（1-c）f（c）f（c）[1-f（c）]，

即（a+b）f2（c）-[c（a+b）+a]f（c）+ac=0.

對此關(guān)于f（c）的一元二次方程進行求解，可以得到

f（c）=c（a+b）+a±[c（a+b）+a]2-4（a+b）ac2（a+b），

對根號內(nèi)的表達式進行化簡，容易得到

[c（a+b）+a]2-4（a+b）ac

=[c（a+b）]2+2（a+b）ac+a2-4（a+b）ac

=[c（a+b）]2-2（a+b）ac+a2

=[c（a+b）-a]2，

因此

f（c）=c（a+b）+a±[c（a+b）-a]2（a+b），

可以得到f（c）的表達式為

f（c）=c（a+b）+a+[c（a+b）-a]2（a+b）=c，

f（c）=c（a+b）+a-[c（a+b）-a]2（a+b）=aa+b.

因此我們可以構(gòu)造原函數(shù)為

F（x）=f（x）-x

或F（x）=f（x）-aa+b.

經(jīng)檢驗，F(xiàn)（x）=f（x）-x不符合題意，

故可構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-aa+b.

步驟四：

容易得到

F（0）=f（0）-aa+b=-aa+b<0，

F（1）=f（1）-aa+b=1-aa+b>0，

由介值定理，可知c∈（0，1），F(xiàn)（c）=0，即

f（c）=aa+b，

在[0，c]和[c，1]上對f（x）分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點ξ∈（0，c），η∈（c，1），使得

f′（ξ）=fc-f（0）c-0=fcc，

f′（η）=1-fc1-c，

于是

af′（ξ）+bf′（η）

=af（c）c+b1-f（c）1-c

=acaa+b+b（1-c）1-aa+b

=a+b.

證畢！

此類習(xí)題還有很多，下面列舉其中幾道典型例題，讀者可以根據(jù)本文提供的方法自行求解.

同類例題1：

設(shè)f（x）∈C[0，2]∩D（0，2），f（0）=0，f（2）=2，證明：η1，η2∈（0，2），使得

f′（η1）+f′（η2）=η1+η2.

同類例題2：

設(shè)f（x）∈C[0，1]∩D（0，1），f（0）=0，f（1）=1，k1，k2，…，kn為n個正數(shù)，證明：在區(qū)間[0，1]內(nèi)存在一組互不相等的數(shù)x1，x2，…，xn，使得

∑ni=1kif′xi=∑ni=1ki.

同類例題3：

設(shè)f（x）在區(qū)間[0，1]上可微，f（0）=0，f（1）=1，λ1，λ2，…，λn是n個正數(shù)，且λ1+λ2+…+λn=1.證明：存在n個不同的數(shù)x1，x2，…，xn∈（0，1），使得

λ1f′（x1）+λ2f′（x2）+…+λnf′（xn）=1.

三、結(jié)論

本文通過對一道習(xí)題的深入探討，總結(jié)了一類習(xí)題尋找分段點的一般解決方法，此后讀者在遇到類似題目時，思路將更加清晰明了.

【參考文獻】

[1]電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.微積分（上冊）：第三版[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2]滕興虎，李靜，寇冰煜，等.微分中值定理及多介值問題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016，9（5）：12-14.