高中立體幾何的入門學(xué)習(xí)

陳生

【摘要】高中立體幾何是學(xué)生感到困難的知識點之一.立體幾何是平面幾何的升華，是幾何從二維到三維的轉(zhuǎn)變.學(xué)生認為立體幾何比較難的原因是平面幾何我們可以直觀看到，而立體幾何我們不宜直觀看到，如房屋我們一般只能看到它的一個面，很難去觀察房屋的整體框架，并且平面幾何只有“點與點、點與線、線與線”這三種關(guān)系，但是立體幾何有“點與點、點與線、點與面、線與線、線與面、面與面”這六種關(guān)系.雖然立體幾何相對平面幾何較難，但是在高中數(shù)學(xué)中，立體幾何作為平面幾何的后續(xù)課程，歷年高考中也占有很大的比重，所以學(xué)好立體幾何是高中生提分的關(guān)鍵.故怎樣去學(xué)習(xí)立體幾何是高中數(shù)學(xué)教師所要探究的內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】高中;立體幾何

一、高中立體幾何認識分析

立體幾何有著悠久的歷史，從我國古代數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶《九章算術(shù)》，到古希臘數(shù)學(xué)家所著的《幾何原本》，我們可以感受到立體幾何問題是我們一直以來不斷研究的問題.立體幾何包括：空間線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系，常見的幾何形體的性質(zhì)等.而且立體幾何問題也應(yīng)該緊跟時代的發(fā)展，把理論與實踐結(jié)合，更充分地運用到生產(chǎn)生活中去.

學(xué)生認為立體幾何難，主要原因是其空間理解能力不足.因此，在出現(xiàn)此類問題時，教師應(yīng)注意解決空間立體幾何問題.在幾何學(xué)中，空間的使用變得越來越重要，所以在教學(xué)中教師需要予以重視.在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師只是將立體幾何問題視為簡單問題，但是立體幾何卻是高中課程的重點，而且立體幾何和向量相結(jié)合擴大了幾何問題的范圍，因此教師在立體幾何問題上更應(yīng)該花更多精力去探究.

二、立體幾何入門學(xué)習(xí)

1.重視基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)

基礎(chǔ)知識是立體幾何入門學(xué)習(xí)的根基.立體幾何的基礎(chǔ)知識包括立體幾何相關(guān)的概念、公理、定理和方法.這些基本概念、公理、定理和方法在我們生活中經(jīng)常遇到，但是用數(shù)學(xué)的符號和概念表示出來，學(xué)生在理解上就會有一定困難.例如在學(xué)習(xí)中心投影和平行投影時，它的定義非常長，對想象力不好的學(xué)生會有一定困難.所以教師應(yīng)該讓學(xué)生在了解知識點的基礎(chǔ)上觀察直尺在長LED燈下的成像，并觀察直尺在燈泡下的成像，使立體幾何知識盡量與學(xué)生的認知過程靠近，借助實物幫助學(xué)生更直觀地理解立體幾何的基礎(chǔ)知識.另外，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)定理證明.定理證明包括線與線、線與面、面與面的平行和垂直六種關(guān)系的證明，定理證明的訣竅就是用簡單的證明復(fù)雜的.例如證明面面平行時，我們可以先證明線線平行再證明線面平行，最后證面面平行.

2.逐漸提高邏輯論證能力

立體幾何不能被數(shù)學(xué)中的任何章節(jié)取代，因此，多年來高考中一直有立體幾何的題目.在證明時，我們必須首先保持嚴謹態(tài)度，對任何定義、定理和推理的理解都必須準確，不要對不確定的條件下結(jié)論.其次，在解決問題時，應(yīng)使用分析方法，即逐步找到要建立結(jié)論的充分條件，靠近已知條件，然后以綜合的形式寫出.

3.培養(yǎng)空間想象力

高中教師應(yīng)該對學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力進行培養(yǎng).那該如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力呢？首先，教師可以讓學(xué)生模仿課本畫圖.數(shù)學(xué)課本上有許多立體幾何相關(guān)的圖畫，對比著模仿主要是讓學(xué)生提前了解自己可以畫到哪一步，讓學(xué)生帶著問題有針對性地去聽講，這樣學(xué)生對立體幾何的空間想象能力會更好.其次，教師在黑板上畫圖向?qū)W生講解.教師講解時要有順序，講清先畫哪一步再畫哪一步，使學(xué)生掌握畫圖的規(guī)律.教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去理解空間圖形，有的時候角度不同，最終表達的結(jié)果也不同.最后，教師須要培養(yǎng)學(xué)生會看圖說話的能力，讓學(xué)生通過直觀圖挖掘其中的有用信息.例如讓學(xué)生用語言文字形容構(gòu)成直觀圖的基本圖都有哪些、相等關(guān)系如何等，也可以讓學(xué)生根據(jù)圖形自己編出一些問題去解答，這樣不僅可以復(fù)習(xí)幾何知識，還可以幫助學(xué)生形成空間想象能力和思維發(fā)散能力.

4.“轉(zhuǎn)化”思想的應(yīng)用

在立體幾何的證明中，“轉(zhuǎn)化”是經(jīng)常用到的一種思想.轉(zhuǎn)化思想也就是把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力.所以運用轉(zhuǎn)化思想的關(guān)鍵是要清楚這兩種形式分別是什么，兩種形式之間的關(guān)系是什么.

（1）點、線和面之間的位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換.線和線、線和面、面和面的平行和垂直關(guān)系是相互依賴的，可以在某些條件下相互轉(zhuǎn)換.例如在線面垂直判定定理中，可由線和線的垂直推斷出線和面的垂直，在面面垂直定理中，可由線和面的垂直推斷出面和面的垂直等.數(shù)學(xué)思想的滲透和轉(zhuǎn)化可以加深學(xué)生對點、線、面之間位置關(guān)系的理解，提高教學(xué)效率.

（2）體積問題的轉(zhuǎn)換.在推導(dǎo)金字塔體積公式的過程中，“補體法”和“切割法”是常用的方法.可利用四面體和平行六面體之間的關(guān)系，以體積為媒介來傳達相關(guān)元素之間的聯(lián)系，從而解決問題.

（3）空間幾何問題向平面幾何問題的轉(zhuǎn)變.將空間問題轉(zhuǎn)換為平面幾何問題是學(xué)習(xí)立體幾何最重要的問題解決方法之一.例如，將線和面垂直的判定轉(zhuǎn)化為線和線垂直的平面幾何問題，將關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的問題轉(zhuǎn)變成關(guān)于軸截面的平面幾何問題等.

5.善于總結(jié)規(guī)律和規(guī)范作答

立體幾何相關(guān)的定理多、亂、雜，因此需要教師去探索總結(jié)其中的規(guī)律，從而更好地幫助學(xué)生記憶和運用這些規(guī)律.但是立體幾何相關(guān)的知識有其內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律，例如線和線平行（或垂直）、線和面平行（或垂直）、面和面平行（或垂直）.在學(xué)習(xí)過程中，我們必須繼續(xù)總結(jié)并且不斷提高.筆者認為可以從以下兩個方面進行總結(jié).

（1）數(shù)學(xué)知識方面.高考試題對能力要求越來越明顯，比如垂直和平行的判定和性質(zhì)（即線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直）在各類試卷中頻繁出現(xiàn).而向量又是高中數(shù)學(xué)的新增重要內(nèi)容，故向量和垂直、平行的判定和性質(zhì)就更受命題者的青睞.在學(xué)習(xí)過程中，如果能夠巧妙地解決該知識點的核心問題，將會取得事半功倍的效果.

（2）數(shù)學(xué)題型和解題技巧方面.在高考中經(jīng)常會出現(xiàn)有關(guān)立體幾何的平行、垂直位置關(guān)系的論證題型，這就須要我們先由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找思路，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當添加輔助線.

① 求點到直線的距離：可以先作點到直線的垂線，再在三角形中求解.

② 求兩條異面直線間的距離：一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長.

③ 求點到平面的距離：一般找出過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過該點作出平面的垂線，進而計算.如果利用已知點求解距離困難時，我們可以把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而轉(zhuǎn)移到另一點上去求點到平面的距離.求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來求解.高考是按照步驟和關(guān)鍵點給分，因此教師在引導(dǎo)學(xué)生做題時要步驟清楚，書寫規(guī)范.

三、教師引導(dǎo)學(xué)生入門學(xué)習(xí)的方法

1.重視圖形語言和符號語言的教學(xué)

教師有必要從最基本的平面圖形和幾何圖形開始，做好示范和嚴格的要求，引導(dǎo)學(xué)生制作出精美的三維直觀圖片，幫助學(xué)生建立空間的想象力和直覺.

（1）在幾何教學(xué)中，教師逐步總結(jié)空間圖形的繪制方法.教師應(yīng)盡量利用空間圖形進行現(xiàn)場繪圖，讓學(xué)生看到畫圖的全過程.

（2）在解決問題的實踐中，讓學(xué)生以練習(xí)和運用為主.在證明幾何試題時，學(xué)生應(yīng)盡量自己畫出圖形.當學(xué)生遇到困難時，教師應(yīng)該及時幫助學(xué)生糾正錯誤，告訴學(xué)生正確的方法.

（3）觀察是立體幾何學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一步，因此教師應(yīng)該讓學(xué)生多觀察，多模仿.觀察是一種有目的且循序漸進的感知活動.在教學(xué)中，教師在講授概念、公理和定理時，可讓學(xué)生觀察周圍的環(huán)境，回憶生活經(jīng)驗并獲得事物的感知，這能幫助學(xué)生更好地理解圖形.在此基礎(chǔ)上，教師還要善于指導(dǎo)和幫助學(xué)生使用鋼筆、尺子、書桌、書籍等理解平面的概念以及空間中線與面之間的位置關(guān)系.在幾何教學(xué)中，用直觀的實物解釋抽象概念非常有用，有助于學(xué)生理解和記住抽象概念.

2.建立和諧的師生關(guān)系

良好的師生關(guān)系不僅能提高課堂的教學(xué)效率，還能增強學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣.教師不僅僅是學(xué)生的教導(dǎo)者，還應(yīng)該是學(xué)生的指引者，指引學(xué)生入門立體幾何，指引學(xué)生提高邏輯論證能力和空間想象力，指引學(xué)生掌握學(xué)習(xí)立體幾何的規(guī)律和立體幾何典型題目的解題方法.

3.開展合作討論教學(xué)

首先，制造問題.問題情境的設(shè)置可以激發(fā)學(xué)生的競爭意識，并激發(fā)他們的思維差異.利用問題的多種解決方案的特點，在解釋“你能想出多少方法來解決這個問題”之前，先提出問題讓學(xué)生的探究熱情迸發(fā)出來.其次，小組討論.鑒于一些學(xué)生對學(xué)習(xí)立體幾何缺乏信心，因此筆者更喜歡使用小組討論的形式來探索問題.在這個過程中，教師要尊重學(xué)生的個體差異，提出和討論個性化的觀點可以同時實現(xiàn)對他人的教育和自我教育.每個學(xué)生都可以在現(xiàn)有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上獲得一定程度的提高，并得到全面發(fā)展.

四、總結(jié)

通過以上學(xué)習(xí)方法和教學(xué)方法的探討，希望能引導(dǎo)學(xué)生認識到立體幾何問題既有靈活性又有規(guī)律性，幫助學(xué)生更好更快地進入立體幾何的入門學(xué)習(xí)中.

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