周期函數(shù)的原函數(shù)問(wèn)題剖析*

蔡水英 李德新

(福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院,福建 福州 350002)

0 引言

1 周期函數(shù)的原函數(shù)的分解

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)于任一x∈D有(x±T)∈D，且f(t+T)=f(t)恒成立，那么稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為f(x)的周期,通常我們說(shuō)周期函數(shù)的周期是指最小正周期[2]。

所以G(x)是周期為T(mén)的連續(xù)函數(shù)。從而有：

2 連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的周期性

引理1設(shè)f(x)是R上一個(gè)連續(xù)周期函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)要么都是周期函數(shù)，要么都不是周期函數(shù)。

任取一個(gè)常數(shù)c，Φ(x)+c為f(x)的一個(gè)原函數(shù)。

若Φ(x)為周期函數(shù)，不妨設(shè)其周期為T(mén)(>0)，那么有：

Φ(x+T)+c-[Φ(x)+c]=Φ(x+T)-Φ(x)=0

因而根據(jù)周期函數(shù)的定義以及c的任意性可得，f(x)的所有原函數(shù)都是周期函數(shù)。

若Φ(x)不為周期函數(shù)，Φ(x)+c也不是周期函數(shù)。因而,由c的任意性可知，f(x)的所有原函數(shù)都不是周期函數(shù)，證畢。

故f(t+T)-f(t)的所有原函數(shù)都是常數(shù)，所以f(t+T)-f(t)=0，即f(x)是周期為T(mén)的函數(shù),證畢。

推論1:f(x)是周期為T(mén)(>0)的奇函數(shù)的充分必要條件是f(x)的所有原函數(shù)是周期為T(mén)(>0)的偶函數(shù)。

3 應(yīng)用

由定理1可得以下推論：

由于連續(xù)周期函數(shù)G(x)有界，所以可得：

推論2說(shuō)明了:當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)在[0,x]上的平均值的極限為f(x)在[0,T]上的平均值。

由于

解:[法一]由推論2可得：

[法二]由推論3可得：

當(dāng)x→+∞時(shí)，含有周期函數(shù)的變限積分的商式求極限問(wèn)題，一般不能用洛必達(dá)法則，常見(jiàn)用夾逼準(zhǔn)則求解，利用本文方法不失為一種簡(jiǎn)捷高效的途徑。

4 結(jié)論