色散補(bǔ)償光纖中振幅對雙孤子相互作用及傳輸?shù)挠绊?/h1>
2021-03-29 02:50:14靳海芹陶軍暉楊順風(fēng)郝勝男龔小宇
湖北第二師范學(xué)院學(xué)報 2021年2期
靳海芹，陶軍暉，李 杰，楊順風(fēng)，郝勝男，張 科，龔小宇
(湖北第二師范學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院 ,武漢 430205)
孤子，又稱孤立波，是一種在傳播過程中形狀、幅度和速度都維持不變的脈沖狀行波,是一種特殊形式的超短脈沖，利用光孤子特性可以實現(xiàn)超長距離、超大容量的光通信，光孤子在全光控制、全光網(wǎng)絡(luò)及量子測量方面也有廣泛的應(yīng)用前景。光孤子進(jìn)行非簡諧運(yùn)動，極化形成電偶極子，其極化強(qiáng)度對光場強(qiáng)度存在一定的非線性依賴關(guān)系。激光器輸出功率較低時，極化強(qiáng)度較弱，非線性效應(yīng)的影響較小，而隨著激光器的輸出功率不斷加大，光脈沖不斷變窄，電偶極子的極化強(qiáng)度就不斷加大，非線性效應(yīng)的作用就變得明顯起來。而色散補(bǔ)償光纖的出現(xiàn)不僅克服了非線性效應(yīng)，還克服了光纖中的色散。 色散補(bǔ)償光纖[1]是一種具有較大負(fù)色散系數(shù)和負(fù)色散斜率的特殊光纖，色散補(bǔ)償技術(shù)[2][3]的概念可用薛定諤方程中的脈沖傳輸方程來理解。關(guān)于脈沖傳輸方程的求解問題，大體上可分為解析解法和數(shù)值解法兩類，本文主要運(yùn)用對稱分布傅里葉方法[4]，從數(shù)值模擬的角度來初步探討在色散補(bǔ)充光纖中孤子對在不同振幅調(diào)制下的相互作用及傳輸特性。這將為后續(xù)進(jìn)一步研究各調(diào)制參數(shù)對雙孤子相互作用及多孤子相互作用[5][6]及傳輸特性的影響提供一定的理論及數(shù)值參考。
1 理論模型
光孤子的形成緣于自相位調(diào)制和群速度色散的相互作用，其行為可以用非線性薛定諤方程[7][8]進(jìn)行描述，當(dāng)考慮三階色散效應(yīng)和損耗時，孤子脈沖的描述可以用下式來進(jìn)行：
(1)
其中，u(ξ，τ)是光脈沖包絡(luò)函數(shù)，α代表光纖損耗系數(shù)，β2為群速度色散參量，β3為三階色散參量。
其中：分別是代表線性介質(zhì)的色散和損耗的線性算子以及代表非線性效應(yīng)的非線性算子。
色散補(bǔ)償光纖中，三階色散效應(yīng)的影響很小，可以忽略不計，此時可令β3=0；如果不考慮光纖損耗則可令α=0。此時(1)式可以化簡為：
(2)
2 研究方法
目前對光孤子傳輸?shù)难芯渴侄味喾N多樣，數(shù)值模擬是其中的重要組成部分。由于非線性薛定諤方程是個非線性偏微分方程，一般情況下很難求出解析解，而它的數(shù)值解相對容易得到。常用的數(shù)值分析方法包括分步傅里葉法、差分法、微擾法、逆散射法、迭代算法等。其中，對稱分步傅里葉法，由于其簡便、易于運(yùn)算和編程而被廣泛使用。
對稱分步傅里葉法的主要思想是：將光纖分為許多小段進(jìn)行研究，在每一小段依次考慮線性效應(yīng)和非線性效應(yīng)，并依次類推下去，最后計算出結(jié)果。
則其數(shù)學(xué)表示為：
(3)
圖1 分步傅里葉方法示例
(4)
(Ⅰ)非線性步：u1=exp(hi|u|2)u(ξ，τ)
(5)
(Ⅱ)對u1求傅里葉變換：u2=Fu1
(6)
(7)
(Ⅳ)對u3求傅里葉逆變換：u(ξ+h，τ)=F-1u3
(8)
按照步驟(5)-(8)式對(2)式中的孤子脈沖進(jìn)行振幅參數(shù)調(diào)制及數(shù)值分析。
3 數(shù)值分析
3.1 基態(tài)孤子傳輸情況
首先，我們先來看只有單一的輸入信號時基態(tài)光孤子的傳輸情形。
設(shè)定輸入信號波形為：u(0，τ)=sech(τ)
(9)
輸入輸出結(jié)果如圖2。
圖2 色散補(bǔ)償光纖中基態(tài)孤子傳輸
圖2 為基態(tài)孤子在色散補(bǔ)償光纖中的傳輸情況，圖中自左至右分別表示輸入波形的二維平面圖、輸出波的三維立體圖以及輸出波形的二維俯視圖。由圖2我們可以看出，對于基態(tài)孤子，其強(qiáng)度和波形在傳輸過程中將一直是基本保持不變進(jìn)行傳輸?shù)模蔷€性效應(yīng)和色散效應(yīng)一直是平衡的，這正是光孤子適合用作信息傳輸載體的原因之一。
在色散補(bǔ)償光纖中，信息傳播時不可能是以單個孤子載體的形式傳播的，而必須是以孤子串進(jìn)行傳播。在這種情況下，孤子與孤子之間也會發(fā)生作用，從而可能影響傳輸帶寬。因而研究傳輸過程中多孤子的相互作用情形很有必要。
4.2 色散補(bǔ)償光纖中振幅對雙孤子相互作用的影響
4.2.1 同幅同相的雙孤子間的相互作用
為了了解驗證雙孤子(或孤子對)間的相互作用，首先對兩個同幅同相的孤子間的相互作用進(jìn)行模擬。
輸入波形為
u(0，τ)=sech(τ-q0)+r1sech(r1(τ+q0))exp(iθ)
(10)
其中：q0表示兩個孤子的半間距，r1表示相對振幅，θ表示相對相位。
按如下方式設(shè)置參數(shù)：q0=3，θ=0，r1=2.
圖3 色散補(bǔ)償光纖中同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1)
圖3是色散補(bǔ)償光纖中同幅同相孤子對傳輸情況，其中，圖中自左至右分別表示輸入波形的二維平面圖、輸出波的三維立體圖以及輸出波形的二維俯視圖。由圖3可以看出，孤子與孤子間的距離發(fā)生了變化，孤子對之間的相互作用表現(xiàn)為吸引—碰撞—排斥。
4.2.2 不同幅同相的孤子對間的相互作用
由于同幅度同相的孤子對波形發(fā)生變化影響到相鄰的脈沖波形，所以要想將光孤子作為信息載體投入實用就必須設(shè)法減小這種相互作用。如果能通過控制輸入信號來達(dá)到減小孤子間的相互作用的目的那無疑之最直接、最簡單的方式。
對式(10)進(jìn)行觀察，影響相鄰兩個孤子的參數(shù)主要有3個：相對振幅r1，相θ，對相位間距q0。不妨從這三個方面進(jìn)行考慮。
首先觀察相鄰兩個孤子的不同幅度對其相互作用的影響。
將輸入式(10)中的參數(shù)設(shè)置如下：q0=3，θ=0，r1分別取1.1，1.2，1.3，1.5，1.7.
(a)q0=3，θ=0，r1=1.1時
圖4 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.1)
(b)q0=3，θ=0，r1=1.2時
圖5 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.2)
(c)q0=3，θ=0，r1=1.3時
圖6 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.3)
(d)q0=3，θ=0，r1=1.5時
圖7 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.5)
(e)q0=3，θ=0，r1=1.7時
圖8 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.7)
圖4-圖8分別為相對振幅取1.1、1.2、1.3、1.5、1.7時的情況，自左至右分別為輸入波形的二維平面圖、輸出波的三維立體圖以及輸出波形的二維俯視圖，將圖4-圖8中相應(yīng)的圖進(jìn)行對比，可以看出，隨著相鄰孤子對之間相對幅度的增大，孤子與孤子表現(xiàn)出吸引—碰撞—排斥的模式更強(qiáng)，其中相對幅度較大的孤子的波形變化較大，且在孤子間振幅差相對較大的情況下，孤子波形運(yùn)動軌跡發(fā)生了交叉現(xiàn)象，如圖7，甚至孤子間碰撞后發(fā)生毀滅的現(xiàn)象，如圖8。所以孤子間的相對幅度越大，它們的波形受到相互作用越強(qiáng)，特別是歸一化振幅較大的孤子，其波形的波動與歸一化振幅較小的孤子相比顯得更加明顯。但是，隨著幅度差異減小，相鄰孤子間的相互影響也逐漸減小。
5 結(jié)論
本節(jié)主要討論色散補(bǔ)償光纖中兩個孤子間的相互作用，分析了輸入信號相對振幅的變化對孤波的相互作用及傳輸?shù)挠绊?。發(fā)現(xiàn)減小孤子對之間的相對振幅(但不是等幅，因為孤子等幅時，孤子間相互影響比較大，如圖3)時，孤子間的相互作用明顯減弱，而其中振幅較小的孤子較振幅較大的孤子而言，波形更穩(wěn)定。由此可見，減小孤子間的相對幅度是抑制孤子間相互作用非常有效的手段。這些均將為進(jìn)一步研究雙孤子在其他調(diào)制參數(shù)下的相互作用及傳輸、多孤子的相互作用及傳輸提供一定的理論參考。
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1 理論模型
光孤子的形成緣于自相位調(diào)制和群速度色散的相互作用，其行為可以用非線性薛定諤方程[7][8]進(jìn)行描述，當(dāng)考慮三階色散效應(yīng)和損耗時，孤子脈沖的描述可以用下式來進(jìn)行：
(1)
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其中：分別是代表線性介質(zhì)的色散和損耗的線性算子以及代表非線性效應(yīng)的非線性算子。
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(2)
2 研究方法
目前對光孤子傳輸?shù)难芯渴侄味喾N多樣，數(shù)值模擬是其中的重要組成部分。由于非線性薛定諤方程是個非線性偏微分方程，一般情況下很難求出解析解，而它的數(shù)值解相對容易得到。常用的數(shù)值分析方法包括分步傅里葉法、差分法、微擾法、逆散射法、迭代算法等。其中，對稱分步傅里葉法，由于其簡便、易于運(yùn)算和編程而被廣泛使用。
對稱分步傅里葉法的主要思想是：將光纖分為許多小段進(jìn)行研究，在每一小段依次考慮線性效應(yīng)和非線性效應(yīng)，并依次類推下去，最后計算出結(jié)果。
則其數(shù)學(xué)表示為：
(3)
圖1 分步傅里葉方法示例
(4)
(Ⅰ)非線性步：u1=exp(hi|u|2)u(ξ，τ)
(5)
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(6)
(7)
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(8)
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設(shè)定輸入信號波形為：u(0，τ)=sech(τ)
(9)
輸入輸出結(jié)果如圖2。
圖2 色散補(bǔ)償光纖中基態(tài)孤子傳輸
圖2 為基態(tài)孤子在色散補(bǔ)償光纖中的傳輸情況，圖中自左至右分別表示輸入波形的二維平面圖、輸出波的三維立體圖以及輸出波形的二維俯視圖。由圖2我們可以看出，對于基態(tài)孤子，其強(qiáng)度和波形在傳輸過程中將一直是基本保持不變進(jìn)行傳輸?shù)模蔷€性效應(yīng)和色散效應(yīng)一直是平衡的，這正是光孤子適合用作信息傳輸載體的原因之一。
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4.2 色散補(bǔ)償光纖中振幅對雙孤子相互作用的影響
4.2.1 同幅同相的雙孤子間的相互作用
為了了解驗證雙孤子(或孤子對)間的相互作用，首先對兩個同幅同相的孤子間的相互作用進(jìn)行模擬。
輸入波形為
u(0，τ)=sech(τ-q0)+r1sech(r1(τ+q0))exp(iθ)
(10)
其中：q0表示兩個孤子的半間距，r1表示相對振幅，θ表示相對相位。
按如下方式設(shè)置參數(shù)：q0=3，θ=0，r1=2.
圖3 色散補(bǔ)償光纖中同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1)
圖3是色散補(bǔ)償光纖中同幅同相孤子對傳輸情況，其中，圖中自左至右分別表示輸入波形的二維平面圖、輸出波的三維立體圖以及輸出波形的二維俯視圖。由圖3可以看出，孤子與孤子間的距離發(fā)生了變化，孤子對之間的相互作用表現(xiàn)為吸引—碰撞—排斥。
4.2.2 不同幅同相的孤子對間的相互作用
由于同幅度同相的孤子對波形發(fā)生變化影響到相鄰的脈沖波形，所以要想將光孤子作為信息載體投入實用就必須設(shè)法減小這種相互作用。如果能通過控制輸入信號來達(dá)到減小孤子間的相互作用的目的那無疑之最直接、最簡單的方式。
對式(10)進(jìn)行觀察，影響相鄰兩個孤子的參數(shù)主要有3個：相對振幅r1，相θ，對相位間距q0。不妨從這三個方面進(jìn)行考慮。
首先觀察相鄰兩個孤子的不同幅度對其相互作用的影響。
將輸入式(10)中的參數(shù)設(shè)置如下：q0=3，θ=0，r1分別取1.1，1.2，1.3，1.5，1.7.
(a)q0=3，θ=0，r1=1.1時
圖4 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.1)
(b)q0=3，θ=0，r1=1.2時
圖5 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.2)
(c)q0=3，θ=0，r1=1.3時
圖6 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.3)
(d)q0=3，θ=0，r1=1.5時
圖7 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.5)
(e)q0=3，θ=0，r1=1.7時
圖8 色散補(bǔ)償光纖中不同幅同相孤子對相互作用情況(q0=3，θ=0，r1=1.7)
圖4-圖8分別為相對振幅取1.1、1.2、1.3、1.5、1.7時的情況，自左至右分別為輸入波形的二維平面圖、輸出波的三維立體圖以及輸出波形的二維俯視圖，將圖4-圖8中相應(yīng)的圖進(jìn)行對比，可以看出，隨著相鄰孤子對之間相對幅度的增大，孤子與孤子表現(xiàn)出吸引—碰撞—排斥的模式更強(qiáng)，其中相對幅度較大的孤子的波形變化較大，且在孤子間振幅差相對較大的情況下，孤子波形運(yùn)動軌跡發(fā)生了交叉現(xiàn)象，如圖7，甚至孤子間碰撞后發(fā)生毀滅的現(xiàn)象，如圖8。所以孤子間的相對幅度越大，它們的波形受到相互作用越強(qiáng)，特別是歸一化振幅較大的孤子，其波形的波動與歸一化振幅較小的孤子相比顯得更加明顯。但是，隨著幅度差異減小，相鄰孤子間的相互影響也逐漸減小。
5 結(jié)論
本節(jié)主要討論色散補(bǔ)償光纖中兩個孤子間的相互作用，分析了輸入信號相對振幅的變化對孤波的相互作用及傳輸?shù)挠绊?。發(fā)現(xiàn)減小孤子對之間的相對振幅(但不是等幅，因為孤子等幅時，孤子間相互影響比較大，如圖3)時，孤子間的相互作用明顯減弱，而其中振幅較小的孤子較振幅較大的孤子而言，波形更穩(wěn)定。由此可見，減小孤子間的相對幅度是抑制孤子間相互作用非常有效的手段。這些均將為進(jìn)一步研究雙孤子在其他調(diào)制參數(shù)下的相互作用及傳輸、多孤子的相互作用及傳輸提供一定的理論參考。
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