證券市場(chǎng)波動(dòng)率分析的PSO-ICA-GARCH模型

周曉玲， 王小俠

(西安理工大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安710054)

對(duì)單個(gè)資產(chǎn)的收益波動(dòng)率和多個(gè)資產(chǎn)之間的條件協(xié)方差矩陣(通常也稱為多元波動(dòng)率)的研究[1-4]是當(dāng)前金融計(jì)量學(xué)領(lǐng)域的重要內(nèi)容。主要的多元波動(dòng)率模型有BEKK模型[5]、常值條件相關(guān)系數(shù)(CCC-GARCH)模型[6]、動(dòng)態(tài)條件相關(guān)系數(shù)(DCC-GARCH)[7]模型等。在資產(chǎn)組合維數(shù)較高的情況下，上述多元波動(dòng)率模型均存在待估參數(shù)數(shù)量巨大的問題。為了解決增加變量引起維數(shù)災(zāi)難的問題，在多元波動(dòng)率模型中引入了一系列降維思想。Alexander[8]將主成分分析引入了多元波動(dòng)率建模，提出了O-GARCH模型，該模型通過主成分分解將一組變量的條件協(xié)方差矩陣的問題轉(zhuǎn)化成了分別考慮它們主成分的一元波動(dòng)率的問題。但O-GARCH模型中采用的假設(shè)“主成分之間的條件協(xié)方差矩陣是對(duì)角陣”通常是不成立的，因?yàn)橹鞒煞种g的無(wú)條件不相關(guān)并不意味著條件不相關(guān)。2005年Wu等[9]將獨(dú)立分量分析(independent component analysis，ICA)引入多元波動(dòng)率建模，對(duì)紐約和香港的股票市場(chǎng)進(jìn)行實(shí)證分析時(shí)，將殘差序列用ICA進(jìn)行分解，然后對(duì)得到的獨(dú)立成分分別建立GARCH模型。結(jié)果表明該方法對(duì)多只股票的收益率波動(dòng)的估計(jì)方面比用PCA方法分解殘差更有效，該模型為資產(chǎn)組合的選擇和風(fēng)險(xiǎn)管理提供了新思路，且這種方法是基于獨(dú)立分量的單變量GARCH模型，故計(jì)算成本很低。2012年García-Ferrer等[10]提出了一個(gè)新的條件異方差因素模型GICA-GARCH模型，該模型結(jié)合了ICA和多元GARCH(MGARCH)模型。GICA-GARCH模型使用單變量ARMA-GARCH模型將獨(dú)立成分的估計(jì)與其擬合分開。并且通過馬德里股票市場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用評(píng)估得出GICA-GARCH比CUC-GARCH和O-GARCH模型有更強(qiáng)的一步波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力。2018年劉鑫[11]研究了基于ICA的多元波動(dòng)率模型，探討了ICA在證券市場(chǎng)的收益率序列波動(dòng)率建模中應(yīng)用的可行性及模型的擬合與估計(jì)效果的優(yōu)勢(shì)。2018年Lin[12]利用GARCH類型模型研究上證綜合指數(shù)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)特征,比較發(fā)現(xiàn)EGARCH(1,1)(非對(duì)稱)的擬合和預(yù)測(cè)性能總體上優(yōu)于GARCH(1,1)(對(duì)稱)和TARCH(1,1)模型。

但I(xiàn)CA多采用梯度算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化來(lái)確定最優(yōu)解，梯度算法具有收斂精度低、可能陷入局部最小點(diǎn)等缺點(diǎn)。而粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)因其建模簡(jiǎn)單、適用性廣、全局尋優(yōu)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)可用來(lái)解決以上問題。在構(gòu)造投資組合或進(jìn)行資產(chǎn)配置的時(shí)候，協(xié)方差矩陣是構(gòu)造有效邊界的主要參數(shù)，故提出了各類不同的關(guān)于波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)計(jì)量模型[13]和預(yù)測(cè)方法。

1 PSO-ICA算法

1.1 算法構(gòu)造及步驟

傳統(tǒng)的ICA是指從線性混合的數(shù)個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的源信號(hào)的混合信號(hào)中分離出源信號(hào)的一種技術(shù)。觀測(cè)信號(hào)x(t)是多個(gè)獨(dú)立信源s(t)經(jīng)混合矩陣A組合而成。ICA的任務(wù)是在s(t)與A均未知的條件下，求解一個(gè)解混矩陣W，使得x(t)通過它后的輸出y(t)是s(t)的最佳逼近。該算法確定解混矩陣的過程可以看作是對(duì)某一獨(dú)立性判據(jù)進(jìn)行尋優(yōu)，使各分量之間達(dá)到相互獨(dú)立的過程，等價(jià)于PSO算法的目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化算法，因此可以將PSO算法引入ICA算法中，將負(fù)熵

J(y)∝[E{G(y)}-E{G(v)}]

(1)

最大化作為目標(biāo)函數(shù)，其中v是與y具有相同方差的零均值Gauss變量，E為均值運(yùn)算，G為非線性函數(shù)。利用PSO算法粒子全局尋優(yōu)的方法替代ICA的梯度算法，將滿足目標(biāo)函數(shù)和最大迭代次數(shù)得到的全局最優(yōu)位置向量作為解混矩陣W的一行，依次更新循環(huán)得到解混矩陣W。

PSO-ICA算法步驟為如下。

Step1.對(duì)觀測(cè)信號(hào)X′中心化得到均值為0的信號(hào)X：

X=X′-E(X′)

(2)

白化信號(hào)X使其具有單位方差且不相關(guān)：

Z=D-1/2PTX

(3)

其中D和P分別是X的協(xié)方差矩陣的特征值矩陣和特征向量矩陣.

Step2.設(shè)定初始隨機(jī)解混矩陣W=[W1,W2,…,Wm]T。

Step3.當(dāng)p=1時(shí)，以初始隨機(jī)解混矩陣W的行數(shù)m和列數(shù)d分別作為PSO算法中粒子的個(gè)數(shù)和維數(shù),以Wi=[wi1,wi2,…,wid]作為粒子的位置向量，隨機(jī)初始化每個(gè)粒子的速度Vi=[vi1,vi2,…,vid]，其中i=1,…,m。

Step4.給出最大迭代次數(shù)T及評(píng)價(jià)的適應(yīng)度函數(shù)為:

(4)

其中Yi=WiZ，存儲(chǔ)每個(gè)粒子的最大適應(yīng)度值和位置pi，并從群體中選取最大的適應(yīng)度值及其位置pg。

Step5. 進(jìn)行每一代粒子速度和位置的更新：

(5)

式中：c1和c2為學(xué)習(xí)因子，本文均取2；rand1和rand2為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

Step6.判斷是否達(dá)到預(yù)定的迭代次數(shù)，如果沒有達(dá)到，返回Step 4；如果達(dá)到，停止迭代，輸出最優(yōu)的位置向量Wp。

Step7.對(duì)解混矩陣W進(jìn)行正交和歸一化處理，避免分離同一信號(hào)以及保證分離的穩(wěn)定性。

Step8.判斷W是否所有行向量完成運(yùn)算。令p=p+1，若p≤m，返回Step 3；反之，停止循環(huán)，確定分離矩陣W。

Step9.輸出分離信號(hào)Y=WZ。

1.2 實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)中分別選取信號(hào)點(diǎn)數(shù)為200的正弦信號(hào)s1、方波信號(hào)s2、鋸齒形信號(hào)s3、隨機(jī)信號(hào)s4作為檢測(cè)信號(hào)，檢驗(yàn)PSO-ICA算法的有效性。圖1是FastICA算法和PSO-ICA算法的分離結(jié)果。表1是分離結(jié)果的信噪比，表2是兩種方法分離結(jié)果的相關(guān)系數(shù)。

圖1 FastICA和PSO-ICA實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖Fig.1 Experimental results of FastICA and PSO-ICA

表1 FastICA和PSO-ICA算法的信噪比Tab.1 SNR of FastICA and PSO-ICA algorithms

表2 原始信號(hào)與分離信號(hào)的相關(guān)系數(shù)Tab.2 Correlation coefficient of originalsignal and separated signal

由圖1可以看出，與FastICA相比PSO-ICA具有較好的分離效果,尤其在方波形信號(hào)中效果更加明顯。需要指出的是分離結(jié)果顯示分離信號(hào)順序與原始信號(hào)順序出現(xiàn)不同，并且某些信號(hào)與原始信號(hào)反相，這是由ICA算法所固有的分離信號(hào)的排列次序和波形的幅度與相位的不確定性引起的，并不影響信號(hào)的提取。

在同一混合矩陣下，分離信號(hào)與原始信號(hào)的信噪比參數(shù)越大表明分離的效果越好。由表1可以看出，s1和s3相近，但PSO-ICA算法的s2和s4均遠(yuǎn)大于FastICA算法的信噪比,說明PSO-ICA分離結(jié)果的信噪比更高。

由表2可以看出，兩種方法關(guān)于正弦信號(hào)和鋸齒信號(hào)的相關(guān)系數(shù)相近，但對(duì)方波信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)，PSO-ICA算法對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)明顯大于ICA算法的相關(guān)系數(shù)，更接近于1，說明PSO-ICA算法具有更高的分離精度，分離效果更好。

綜合圖1、表1和表2，不難看出，無(wú)論從視覺直觀還是數(shù)據(jù)客觀角度，都顯示出PSO-ICA比FastICA有更好的分離效果，因此在接下來(lái)的工作中我們選擇PSO-ICA算法進(jìn)行股票收益的多元波動(dòng)率建模。

2 PSO-ICA-GARCH模型

2.1 模型原理

對(duì)股票收益進(jìn)行多元波動(dòng)率建模時(shí)，O-GARCH模型假設(shè)各主成分之間弱相關(guān)，在實(shí)證分析時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生預(yù)測(cè)效果和實(shí)際情況不相符的問題。

ICA-GARCH模型中ICA算法存在收斂精度低及容易陷入局部最優(yōu)的問題。本文將PSO-ICA算法與GARCH模型結(jié)合構(gòu)造PSO-ICA-GARCH模型，可以有效克服如上問題。

PSO-ICA-GARCH模型首先通過PSO-ICA算法將股票收益率序列rt分解為相互獨(dú)立的成分st，即如果存在矩陣A以及d維向量st=(s1t,s2t,…,sdt)，其中對(duì)每個(gè)時(shí)刻t,sit和sjt(i≠j)都是相互獨(dú)立的，使得(1)成立，則稱st是rt的d個(gè)獨(dú)立成分，此時(shí)條件協(xié)方差矩陣Vt是一個(gè)對(duì)角陣，且PSO-ICA算法假設(shè)獨(dú)立成分是服從非Gauss分布的，這更符合金融時(shí)間收益率序列數(shù)據(jù)的特性，然后對(duì)每個(gè)獨(dú)立成分sit進(jìn)行單元GARCH建模，最后表出收益率序列rt的條件協(xié)方差矩陣Ht。

PSO-ICA-GARCH(1,1)模型如下：

rt=Ast

(6)

sit=vitαit,αit～i.i.d(0,1)

(7)

(8)

式中：A為混合矩陣；{sit}為獨(dú)立成分；vit為獨(dú)立成分{sit}的方差；Vt是由vit組成的對(duì)角矩陣。則收益率序列rt的條件協(xié)方差矩陣為Ht=AVtAT。

式(6)將收益率序列由PSO-ICA算法轉(zhuǎn)換為獨(dú)立成分，式(7)～(8)是對(duì)獨(dú)立成分的一元GARCH模型估計(jì)。

2.2 模型算法步驟

Step1.對(duì)各股收盤價(jià)格進(jìn)行取對(duì)數(shù)差分處理后得到對(duì)應(yīng)的收益率序列。

Step2.作各股收益率序列圖，觀察其是否表現(xiàn)出尖峰厚尾和聚集性等特征。

Step3.對(duì)各股收益率序列的相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分析，如峰度、偏度、正態(tài)分布檢驗(yàn)(J-B檢驗(yàn))和平穩(wěn)性驗(yàn)(ADF檢驗(yàn))。

Step4.判斷各收益率序列是否具有自相關(guān)性，若有采用AR模型去除其自相關(guān)性。

Step5.判斷各股殘差序列是否具有ARCH效應(yīng)。

Step6.剔除掉沒ARCH效應(yīng)的收益率序列，對(duì)滿足條件的對(duì)數(shù)收益率序列采用PSO-ICA算法，對(duì)得到的獨(dú)立成分分別進(jìn)行單元GARCH模型擬合和預(yù)測(cè)。

Step7.對(duì)PSO-ICA-GARCH模型進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)效果檢驗(yàn)。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)選取

概念股作為一類共同特征股票的總稱它們收益率的波動(dòng)往往受市場(chǎng)同一因素的影響，其價(jià)格波動(dòng)也存在著一定的共性，故本文隨機(jī)選取5支阿里巴巴概念股進(jìn)行實(shí)證研究。分別是萬(wàn)隆光電、海爾智家、視覺中國(guó)、分眾傳媒和華勝天成股票，從2018年1月2日到2019年12月31日為期487天收盤價(jià)交易數(shù)據(jù)，對(duì)各股收盤價(jià)格進(jìn)行取對(duì)數(shù)差分處理后得到對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)收益率序列：

ri,t=lnpi,t-lnpi,t-1

(9)

式中：pi,t為第i只股票t時(shí)刻的收盤價(jià)格；ri,t表示第i只股票t時(shí)刻的對(duì)數(shù)收益率，并做百分比處理。

3.2 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

表3給出了五支股票收益率數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。可以看出，海爾智家的收益率均值為正值，說明這支股票當(dāng)期收益處于盈利狀態(tài)，其它四支股票的收益率均值都為負(fù)值，說明當(dāng)期股票處于虧損狀態(tài)。

表3 對(duì)數(shù)收益率序列統(tǒng)計(jì)性質(zhì)Tab.3 Statistical properties of logarithmic return series

標(biāo)準(zhǔn)差代表各支股票收益率的風(fēng)險(xiǎn)大小，海爾智家當(dāng)期盈利較多且相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)最小，分眾傳媒當(dāng)期虧損最大，但風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較小，萬(wàn)隆光電當(dāng)期虧損最小，但是風(fēng)險(xiǎn)最大。

其中各股對(duì)數(shù)收益率序列的偏度不為0，海爾智家、視覺中國(guó)和分眾傳媒對(duì)數(shù)收益率序列的偏度都大于0為右偏，剩余兩支股票的對(duì)數(shù)收益率序列表現(xiàn)出一定程度的左偏。

各股對(duì)數(shù)收益率序列的超額峰度均大于0，表現(xiàn)一定程度的厚尾性，其中海爾智家對(duì)數(shù)收益率序列的厚尾性最為明顯，且J-B統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)p值接近于0，故拒絕收益率序列為正態(tài)分布的原假設(shè)，即各股對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)都表現(xiàn)出尖峰厚尾的背離正態(tài)分布的性質(zhì)。

ADF檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的p值均小于顯著性水平0.01，故拒絕各支股票的對(duì)數(shù)收益率有單位根(非平穩(wěn)序列)的原假設(shè)，故這5支股票的對(duì)數(shù)收益率序列皆是平穩(wěn)序列，可以直接進(jìn)行模型估計(jì)。

3.3 自相關(guān)性檢驗(yàn)

自相關(guān)就是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的各個(gè)值之間存在著相關(guān)關(guān)系。自相關(guān)性會(huì)致使模型的參數(shù)估計(jì)發(fā)生偏差，得不到有效無(wú)偏的最優(yōu)估計(jì)。對(duì)選取的五支股票的對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn)，結(jié)果顯示各支股票的日收益率序列在高階滯后階時(shí)恰好均無(wú)自相關(guān)性。

需要說明的是：若收益率序列具有自相關(guān)性，需用AR模型去除其自相關(guān)性。

3.4 ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

圖2 各股收益率殘差平方序列的自相關(guān)檢驗(yàn)圖Fig.2 Autocorrelation test chart of the square series of the return of each stock

從圖2可以看出，海爾智家和分眾傳媒的對(duì)數(shù)收益率殘差平方序列在各滯后階下，均在0.05的顯著性水平下接受原假設(shè)，即收益率殘差平方序列不具有自相關(guān)性，也即不具有ARCH效應(yīng)；萬(wàn)隆光電、視覺中國(guó)和華勝天成的對(duì)數(shù)收益率殘差平方序列在各滯后階下存在自相關(guān)性，則這三支股票具有很強(qiáng)的ARCH效應(yīng)，可以進(jìn)行GARCH建模。

3.5 模型參數(shù)估計(jì)與模型檢驗(yàn)

由表3可知，所選取的這三支阿里巴巴概念股的對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)均不服從正態(tài)分布，因此在對(duì)收益率序列進(jìn)行O-GARCH、ICA-GARCH和PSO-ICA-GARCH建模時(shí)，采用t分布可以更好地刻畫序列的特性。用PCA、ICA和PSO-ICA算法對(duì)三組收益率序列提取主成分和獨(dú)立成分，然后分別對(duì)三組主成分和獨(dú)立成分進(jìn)行GARCH(1,1)模型擬合，結(jié)果見表4，表5和表6,其中***，**，*分別表示在顯著性水平1%、5%和10%下顯著。

表4 O-GARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)Tab.4 Parameter estimation of O-GARCH (1,1) model

表5 ICA-GARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)Tab.5 Parameter estimation of ICA-GARCH (1,1) model

表6 PSO-ICA-GARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)Tab.6 Parameter estimation ofPSO-ICA-GARCH (1,1) model

用模型O-GARCH、ICA-GARCH和PSO-ICA-GARCH對(duì)收益率序列進(jìn)行主成分和獨(dú)立成分提取時(shí)，轉(zhuǎn)換矩陣分別為W1、W2和W3：

(10)

(11)

(12)

表7 O-GARCH、ICA-GARCH和PSO-ICA-GARCH模型檢驗(yàn)結(jié)果比較Tab.7 Comparison of test results of O-GARCH、ICA-GARCH and PSO-ICA-GARCH models

由表7可以看出，三種模型的F1統(tǒng)計(jì)量在0.01的顯著性水平下均顯著，三種模型擬合效果較一致。F3統(tǒng)計(jì)量中只有O-GARCH模型在0.1的顯著性水平下顯著，其它兩種模型均不顯著，說明ICA-GARCH模型和PSO-ICA-GARCH模型的擬合效果均優(yōu)于O-GARCH模型。F2統(tǒng)計(jì)量中PSO-ICA-GARCH模型在t分布下是在0.05的顯著性水平下顯著，且PSO-ICA-GARCH模型中統(tǒng)計(jì)量的值明顯小于其它兩個(gè)模型，說明PSO-ICA-GARCH模型的擬合效果明顯優(yōu)于其它兩種模型。綜上所述，PSO-ICA-GARCH模型相較于O-GARCH和ICA-GARCH模型，具有更好的模型擬合效果。

3.6 模型預(yù)測(cè)效果比較

參照Pelletier[15]的做法，用自適應(yīng)平均絕對(duì)偏差(adaptive mean absolute deviation，AMAD)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)效果，其定義為：

(13)

式中m的作用是對(duì)隨機(jī)的誤差進(jìn)行平均處理。

當(dāng)m=0時(shí)，三種模型向后5步預(yù)測(cè)的AMAD值和預(yù)測(cè)效果分別見表8和圖3。

表8 O-GARCH、ICA-GARCH和PSO-ICA-GARCH模型的預(yù)測(cè)效果Tab.8 Prediction results of O-GARCH,ICA-GARCH and PSO-ICA-GARCH models

圖3 O-GARCH、ICA-GARCH和PSO-ICA-GARCH模型在t分布下的預(yù)測(cè)效果Fig.3 Prediction effect of O-GARCH, ICA-GARCH and PSO-ICA-GARCH models under t distributions

從圖3容易看出，ICA-GARCH和PSO-ICA-GARCH模型整體上明顯比O-GARCH模型的預(yù)測(cè)偏差小，說明ICA-GARCH和PSO-ICA-GARCH模型整體上明顯比O-GARCH模型的預(yù)測(cè)更準(zhǔn)確。更進(jìn)一步，從表8可以看出，除向后第3、4步PSO-ICA-GARCH和ICA-GARCH模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相當(dāng)外，向后第1、2和5步PSO-ICA-GARCH的預(yù)測(cè)偏差均明顯小于ICA-GARCH 模型。綜合圖3和表8的分析結(jié)果，說明三種模型中，PSO-ICA-GARCH模型預(yù)測(cè)的效果最準(zhǔn)確。

4 結(jié) 論

本文將PSO-ICA算法與GARCH模型相結(jié)合，提出了一種新的多元波動(dòng)率模型，即PSO-ICA-GARCH模型，該模型能夠和ICA-GARCH模型同樣解決O-GARCH模型中各主成分之間弱相關(guān)，使得所做實(shí)證往往與實(shí)際情況不相符的問題，且PSO-ICA算法相較于ICA算法具有更高的分離精度，并將該模型應(yīng)用到阿里巴巴概念股收益的多元波動(dòng)率建模中，結(jié)果表明PSO-ICA-GARCH模型相較于O-GARCH和ICA-GARCH模型具有更好的模型預(yù)測(cè)效果,為實(shí)現(xiàn)更精確的多元波動(dòng)率建模提供了有力的工具。