實驗探究二次函數(shù)實際問題中的最值

袁錦新

【摘要】利用實驗探究分析二次函數(shù)實際問題中的最值題型，是初三數(shù)學二次函數(shù)中的常見題型，也是學生比較難理解的二次函數(shù)實際問題，在中考出現(xiàn)概率也比較大。本文對學生做這類題型時常見的錯誤進行分析，讓學生進行實驗探究，尋找出正確的解題方法。

【關鍵詞】實驗探究;二次函數(shù)實際問題;初中數(shù)學

在最近幾年的廣東省中考試題中，有關二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像是必考的知識點之一。這么重要的一個知識點，恰好又是很多學生難以跨過去的一道題型。在每次的作業(yè)或測試中，學生在解二次函數(shù)實際問題的題型時，會出現(xiàn)很多錯誤。而班上出現(xiàn)這些錯誤的學生，也不在少數(shù)，得分率比較低。面對學生這種情況，身為數(shù)學教師的我們，都很想為學生做點什么，希望能幫助他們走進理想的高中。在這種思想的驅(qū)動下，筆者經(jīng)常利用課余時間，把學生的錯例放在一起分析且發(fā)現(xiàn)了相當一部分學生的錯誤都有很多相同的地方。筆者在課余時間里，與部分學生一起進行探究問題所在。此外，筆者也與其他教師交流，嘗試帶著學生一起進行實驗探究，總結經(jīng)驗，一起尋找出正確的解題方法。

在二次函數(shù)實際問題的日常教學中，教師通常會選擇典型例題，以二次函數(shù)性質(zhì)作為切入點，詳細講解后讓學生再嘗試解一些相同類型的題目，加強相同題型的訓練，看似相當不錯，但題型有點變化，靈活一點點，學生的問題還是會出現(xiàn)在試卷上，還是沒有達到預期的效果，學生還是沒有很好地解決二次函數(shù)實際問題。在這個過程中不難發(fā)現(xiàn)，學生還有很大的提升空間。因此，要想幫助學生解決問題的關鍵，還是要通過實驗探究，幫學生深度分析清楚問題的重點，理解二次函數(shù)實際問題，理清解題時的錯誤思路，掌握解決問題的真正方法。即使題型再變換，學生也能用正確的方法處理。有前面的錯誤作為標本，學生在實驗探究的過程中，更能留下深刻的印象，在解題方法上更靈活多變。在初三的習題本或試卷里，經(jīng)常有這樣的一道題目，下面就讓我們一起探討分析學生在解這道題時通常出現(xiàn)的錯誤。

例：某農(nóng)場主打算在一個足夠大的農(nóng)場里面養(yǎng)雞，農(nóng)場里面剛好有一堵長為24米的墻和總長度為120米的圍欄，農(nóng)場主現(xiàn)準備圍成面積最大的矩形養(yǎng)殖場，那么農(nóng)場主應該怎樣設計這個養(yǎng)殖場呢？

當學生看到這道二次函數(shù)實際問題時，一定很開心，因為做過，但問題也會跟著來了，據(jù)分析，學生一般有下面幾種解題錯誤方法：

案例一：如圖1，設矩形養(yǎng)殖場的一邊AB為x米，則BC為米，養(yǎng)殖場面積。所以，當x=60時，養(yǎng)殖場取得最大面積為1800平方米。

學生在解決這個問題時，沒有注意到題目中給出的條件，圍欄只有24米，也就是x大于0而小于或等于24，因而最后確定最大面積時，出狀況了。

案例二：按照題目的要求，很容易發(fā)現(xiàn)自變量的取值范圍是：x大于0而小于或等于24。所以求到函數(shù)解析式：，在這個范圍里，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可以得到：當x=24時，得到養(yǎng)殖場最大面積為1152平方米。

從學生的答案上發(fā)現(xiàn)，他利用了二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，又注意到了自變量x在實際情況下的取值范圍，好像沒什么問題，做得很好。但是，學生在小學學習了長方形和正方形，得知周長相等時，正方形的面積最大。所以在這個時候，筆者讓學生拿出準備好的24厘米長的繩子，在課桌上，以課桌一邊為墻，在桌面上，嘗試擺一個面積最大的矩形出來。學生在實驗中很快就可以得出，周長相的情況下，正方形面積最大。再回到案例二中，設計矩形養(yǎng)殖場ABCD時，墻DE的長為24米，設AB為x米，則BC為米。這樣設計養(yǎng)殖場的最大面積與圖1相比，誰更大？有了上面學生通過實驗探究得到的結論，再細心分析這道二次函數(shù)實際問題的最值問題，提醒學生，自己再通過畫圖實驗探究一下這道題。筆者相信，學生很快就可以發(fā)現(xiàn)案例二中錯誤的原因。

正確解答：根據(jù)題目的要求，養(yǎng)殖場是正方形時，面積才是最大的，圖2的設計，x+（x-24）<120，得x<120，所以x∈[24，72）。養(yǎng)殖場面積S=x·（72-x）=-（x-36）2+1296，當x=36時，得到養(yǎng)殖場最大面積為1296平方米。

通過案例一，我們可以發(fā)現(xiàn)學生在處理二次函數(shù)最值問題時，還不錯。但當遇到實際問題時，往往沒注意到自變量的取值范圍，對最值的影響。所以學生需要結合實際情況進行思考，最終確定自變量的值。在案例二中，題目中的圖，誤導了學生的思維方向，讓學生腦里只有矩形，所以學生在解題時，對養(yǎng)殖場的概念也停留在一般矩形上，沒注意到矩形和正方形周長相等時，正方形的面積最大這一結論，所以在進行設計養(yǎng)殖場時，只是設計成矩形，只考慮AB大于0米而小于或等于24米，在第二種的設計則考慮到實際問題中的實際情況，從而確定養(yǎng)殖場最大面積。通過實驗探究，讓學生從實際操作中，更好地理論二次函數(shù)實際問題的最值問題，讓數(shù)學思維更形象，達到提高解決問題的能力的目的。

科學是人類知識積累的結果，而數(shù)學又是重要基礎學科之一。不僅僅要讓學生在學習數(shù)學中認識生活，還要讓他們在生活中體會數(shù)學。加上中考也十分注重考查學生運用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力，如，在二次函數(shù)實際問題的題型上，不但要求學生對二次函數(shù)的性質(zhì)、應用和知識點的掌握要好，還強調(diào)運用知識去解決問題的能力。因此，在日常教學中多設計小實驗，讓學生在快樂的探究中找到解決問題的方法，讓學生在快樂中學習數(shù)學，從而提高學生學習數(shù)學的興趣和積極性。在實際探究中，提高學生解決實際問題的各種能力，讓學生注意到生活可以幫助他們解決數(shù)學上的問題，也讓學生學習好數(shù)學，更好地服務于他們的生活。