淺析可逆矩陣的作用及其逆矩陣的反作用

孟慶云 王玉雷

【摘要】可逆矩陣是矩陣家族中最重要的一類.可逆矩陣由于其可逆的性質(zhì)（可以在研究對(duì)象的一側(cè)乘上可逆矩陣，并可以通過在同一側(cè)繼續(xù)乘上其逆矩陣而將其消去），使得可逆矩陣的作用來去自如，其應(yīng)用靈活、有效.本文從作用的角度，以實(shí)例分析的方式解析可逆矩陣的作用及其逆矩陣的反作用，進(jìn)一步解析矩陣實(shí)現(xiàn)線性變換的機(jī)理，從而幫助我們了解矩陣的運(yùn)動(dòng)變換屬性.

【關(guān)鍵詞】可逆矩陣;線性變換;作用;反作用

引 言

從矩陣的定義來看，矩陣是一個(gè)數(shù)表，是信息的載體，這體現(xiàn)的是矩陣的靜態(tài)作用.然而更多的時(shí)候，矩陣是通過運(yùn)算，特別是矩陣乘法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)其對(duì)研究對(duì)象的動(dòng)態(tài)作用.我們以“榜樣”這個(gè)詞作為類比：當(dāng)我們說張三是我們學(xué)習(xí)的榜樣，那么這里“榜樣”是一個(gè)名詞，但其反映更多的是張三所起到的是能對(duì)我們產(chǎn)生積極影響的作用.可逆矩陣由于其可逆性，使得其成為刻畫和描述可逆過程的得力工具.本文中，我們以實(shí)例分析的方式探析可逆矩陣的運(yùn)動(dòng)變換屬性，從而拓展對(duì)可逆矩陣及其逆矩陣的理解與運(yùn)用.

1 實(shí)例

通常，信息用二元域上的n維向量表示.在發(fā)送端，明文信息α經(jīng)過加密矩陣K（n階可逆方陣）的作用（K左乘α）得到密文信息β=Kα，這是加密的過程.加密過的信息β經(jīng)過傳輸?shù)竭_(dá)信息的接收端，還需要解密還原成明文信息才能被識(shí)別.這一過程需要解密矩陣X（即加密矩陣K的逆矩陣）的作用.具體為解密矩陣X左乘作用在密文β上，即Xβ=XKα=K-1Kα=α，

從而將明文信息α還原.

由此可看出：任意n階可逆矩陣可充當(dāng)加密矩陣對(duì)明文信息進(jìn)行加密，而其逆矩陣則為解密矩陣，可將加密過的信息進(jìn)行解密還原，兩者所起到的作用是相反的.事實(shí)上，可逆矩陣在保密通信中有著深入廣泛的應(yīng)用.[1]

由此可看出：A左乘α的效果是將α逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，從而得到，如圖2所示.由此，我們稱A=cos θ-sin θsin θcos θ（其中θ為任意給定的角度）為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩陣.

反之，注意到矩陣A可逆，且A-1=cos θsin θ-sin θcos θ.將A-1左乘繼續(xù)作用在α上，可得A-1將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角變回α，如圖3所示.即A-1為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩陣，其能夠?qū)⑵矫嫔线^原點(diǎn)的向量作順時(shí)針旋轉(zhuǎn).在此例中，我們看到旋轉(zhuǎn)矩陣能使向量旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)作用.

值得注意的是，例2中的旋轉(zhuǎn)矩陣與例3中的沿線反射矩陣都是正交矩陣，這是一類特殊的可逆矩陣.這類矩陣所引起的變換稱為正交變換，它們是保內(nèi)積的變換，從而是保距也是保夾角的變換.因此，這類變換將一個(gè)圖形變成與之全等的圖形.

更多的圖形變換如：縮放變換、平移變換均可由相應(yīng)的矩陣來實(shí)現(xiàn)，并且這些變換是可逆變換，相應(yīng)的矩陣也均是可逆矩陣.我們需要注意的是投影變換也可以由相應(yīng)的矩陣來實(shí)現(xiàn)，只是投影變換不是可逆變換，相應(yīng)的矩陣不再是可逆矩陣.[2]

2 理論基礎(chǔ)

從以上幾個(gè)例子可以看出：如若說可逆矩陣A提供一種作用，而A的逆矩陣提供的則是與A相反的一種反作用，且矩陣對(duì)向量的作用可通過矩陣左乘相應(yīng)向量來實(shí)現(xiàn).運(yùn)用矩陣乘法結(jié)合律，對(duì)向量多個(gè)連續(xù)作用，可通過相應(yīng)的多個(gè)矩陣的乘積來實(shí)現(xiàn)，從而使得可逆矩陣的應(yīng)用靈活有效.

定理 對(duì)矩陣做一次初等行變換，其結(jié)果等于在原矩陣的左端乘上相應(yīng)的初等矩陣;對(duì)矩陣做一次初等列變換，其結(jié)果等于在原矩陣的右端乘上相應(yīng)的初等矩陣.

由于可逆矩陣是初等矩陣的乘積，因此對(duì)矩陣做初等變換就是通過可逆矩陣實(shí)現(xiàn)的.從這個(gè)理論層面，我們也可以理解矩陣的運(yùn)動(dòng)變換屬性.

更廣泛地，對(duì)于給定數(shù)域F上的n維線性空間V，記V上的所有線性變換構(gòu)成的F上的線性空間為L(zhǎng)（V）.在取定V的一組基下，我們知道：

這里，F(xiàn)n為數(shù)域F上的n維向量空間，Mn（F）為F上所有n階方陣構(gòu)成的n2維線性空間.＼[3＼] 我們借助以上兩個(gè)線性同構(gòu)，再通過矩陣作用于向量的坐標(biāo)，可以實(shí)現(xiàn)所有線性變換對(duì)線性空間的作用.比如：例2中的2階旋轉(zhuǎn)矩陣實(shí)現(xiàn)的是對(duì)2維向量空間中向量的旋轉(zhuǎn)變換.由此，從動(dòng)態(tài)的角度來看，矩陣的本質(zhì)是作用、是運(yùn)動(dòng)、是變換.而其中可逆矩陣提供可逆變換.

特別地，將Mn（F）中的可逆矩陣拿出來，按矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱之為域F上的一般線性群，記為GLn（F）.對(duì)于一般的抽象群G，通過建立G到群GLn（F）的同態(tài)映射，則可以賦予抽象群G中每個(gè)元素一個(gè)作用，即其同態(tài)像也就是其所對(duì)應(yīng)的矩陣的作用，從而使得G有更廣泛、豐富的內(nèi)涵，由此進(jìn)一步研究抽象群G的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，這便是群的表示理論.

3 總結(jié)

本文通過幾個(gè)例子從實(shí)用性和幾何直觀兩個(gè)方面來說明和闡述可逆矩陣的動(dòng)態(tài)作用以及其逆矩陣的反作用，并進(jìn)一步解釋可逆矩陣實(shí)現(xiàn)矩陣的初等變換以及矩陣實(shí)現(xiàn)向量的線性變換機(jī)理，從而幫助我們了解矩陣的作用、運(yùn)動(dòng)與變換的動(dòng)態(tài)屬性，最后，借助矩陣的動(dòng)態(tài)作用，引出群表示理論的思想方法.

【參考文獻(xiàn)】[1]熊小兵.可逆矩陣在保密通信中的應(yīng)用＼[J＼].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（3）：108-112.

[2]王志俊，姜詠梅，田記.矩陣在圖形學(xué)幾何變換中的應(yīng)用＼[J＼].高等數(shù)學(xué)研究，2014（1）：87-88，99.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)（第三版）＼[M＼].北京：高等教育出版社，2003.