求聯(lián)驅(qū)動(dòng)：催化數(shù)學(xué)理解的自然進(jìn)階

陸泉萍

【摘要】數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)理解，即對(duì)“經(jīng)驗(yàn)性理解”“形式化理解”“結(jié)構(gòu)化理解”和“文化感悟理解”層層深入發(fā)展.在數(shù)學(xué)理解的過程中，要在學(xué)習(xí)內(nèi)容、表征方式、思維層次和學(xué)科特征中求聯(lián)，依托回歸策略，在生活經(jīng)驗(yàn)、基本模型、知識(shí)結(jié)構(gòu)中驅(qū)動(dòng)教學(xué)，使數(shù)學(xué)理解有“力”.借助多元表征方式，利用實(shí)驗(yàn)表征、圖形表征、符號(hào)表征驅(qū)動(dòng)教學(xué)，使數(shù)學(xué)理解有“徑”.基于“聯(lián)”，催化學(xué)生數(shù)學(xué)理解的自然進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)，使數(shù)學(xué)精神轉(zhuǎn)化成學(xué)生終身發(fā)展的不竭動(dòng)力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解;求聯(lián);驅(qū)動(dòng)式;教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識(shí)的應(yīng)用中不斷鞏固和深化.[1]因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.唯物主義哲學(xué)觀認(rèn)為，任何事物都處于普遍的聯(lián)系之中，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外.因此，我們要以求“聯(lián)”的眼光促進(jìn)學(xué)科內(nèi)部、數(shù)學(xué)與其他方面之間的聯(lián)結(jié)、聯(lián)通，在求聯(lián)驅(qū)動(dòng)下催化小學(xué)生數(shù)學(xué)理解的自然進(jìn)階，探尋數(shù)學(xué)的本質(zhì)意義.

一、探繹：從“數(shù)學(xué)理解”到“求聯(lián)驅(qū)動(dòng)”的內(nèi)涵闡釋

（一）數(shù)學(xué)理解

“理解”一詞字面上的意思指順著條理或者脈絡(luò)進(jìn)行剖析.數(shù)學(xué)理解，從名詞的角度分析，主要指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)技能、思想方法的理解;從動(dòng)詞的角度分析，主要描述一種“數(shù)學(xué)化地理解”.數(shù)學(xué)理解是一個(gè)層級(jí)躍遷的過程，誠如我國學(xué)者呂林海教授根據(jù)學(xué)習(xí)者理解水平層級(jí)，依次劃分出“經(jīng)驗(yàn)性理解”“形式化理解”“結(jié)構(gòu)化理解”和“文化感悟與理解”四個(gè)層級(jí).這些理解與學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生雙向作用，互相影響，促使學(xué)習(xí)者的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不斷規(guī)整與擴(kuò)充.

（二）求聯(lián)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)

顧名思義，“求聯(lián)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)”即以“聯(lián)”來推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的深入展開.深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為對(duì)知識(shí)點(diǎn)的解釋只是表層的理解，讓學(xué)生明白知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)才是真正的理解.同時(shí)，基于教育心理學(xué)家比格斯和科利斯的“SOLO”理論，可以發(fā)現(xiàn)在由低到高的五個(gè)層次中，處于無學(xué)習(xí)或者淺層次學(xué)習(xí)的“前結(jié)構(gòu)”和“單一結(jié)構(gòu)”中，并沒有發(fā)現(xiàn)“聯(lián)”的身影.而在“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”和“抽象拓展結(jié)構(gòu)”這兩個(gè)層次中，學(xué)習(xí)者正在進(jìn)行整合信息，建立聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)，解決問題以及抽象拓展，顯然這兩個(gè)層次已經(jīng)達(dá)到了深度學(xué)習(xí)的范疇.因此，提出求聯(lián)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)，能助推學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行全面思考，在數(shù)學(xué)化的過程中加深數(shù)學(xué)理解，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

（三）意義與價(jià)值

在大量的課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前學(xué)生的數(shù)學(xué)理解普遍存在缺失.學(xué)生的理解停留在淺層次，對(duì)新知的詮釋往往浮于表面，在解決綜合性問題時(shí)顯現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解方式的單一化，因而無法靈活調(diào)取適切的方法解決實(shí)際問題.此外，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解呈現(xiàn)零散狀，缺乏由點(diǎn)成線再成面的結(jié)構(gòu)化理解.以上種種現(xiàn)象，無不透露出求聯(lián)對(duì)于數(shù)學(xué)理解具有重要意義.

1.聯(lián)動(dòng)“數(shù)”與“形”，提升知識(shí)層面修養(yǎng).以數(shù)解形，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合作為小學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法，它們的聯(lián)動(dòng)促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)多元化的表征，獲得知識(shí)本質(zhì)的理解.

2.聯(lián)通“同”與“異”，發(fā)展認(rèn)知能力.通過比較數(shù)學(xué)知識(shí)概念、方法策略的異同，異中求同，尋找其中的“變”與“不變”，有助于學(xué)生建構(gòu)合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體會(huì)思維策略的現(xiàn)實(shí)價(jià)值，形成良好的思維品質(zhì).

3.聯(lián)結(jié)“理”與“境”，建立學(xué)科精神.從數(shù)學(xué)教學(xué)情境的體驗(yàn)到數(shù)學(xué)道理的感悟，從數(shù)學(xué)學(xué)科走向其他學(xué)科，走向生活，直接推動(dòng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)理性精神，提高核心素養(yǎng).

二、尋繹：求聯(lián)驅(qū)動(dòng)的基本類型

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，所指的“聯(lián)”就是對(duì)影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的諸多因素進(jìn)行聯(lián)通，由點(diǎn)成線，由線成面，最后編織出網(wǎng)狀認(rèn)知結(jié)構(gòu).求聯(lián)是促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的重要方式，求聯(lián)的過程更是一個(gè)探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)追逐意義的過程.從不同學(xué)習(xí)因素的角度出發(fā)，求聯(lián)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)主要包括以下四個(gè)方面.

（一）學(xué)習(xí)內(nèi)容中的求聯(lián)

數(shù)學(xué)各大領(lǐng)域內(nèi)的教學(xué)知識(shí)都環(huán)環(huán)相扣、緊密聯(lián)系在一起，猶如一條螺旋上升的線，不斷攀爬生長.從一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容出發(fā)，通過演變升華為與此內(nèi)容相關(guān)的新學(xué)習(xí)內(nèi)容，這些新舊內(nèi)容之間存在一種衍生關(guān)系.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生探尋當(dāng)下學(xué)習(xí)內(nèi)容的前因后續(xù)，唯有找到“源頭”方能品嘗到“活水”.

從教師“教”的角度來說，教師本身要在教學(xué)中建立求聯(lián)意識(shí)，理清對(duì)應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)技能或思想方法的脈絡(luò).“T”字形備課便能較好地呈現(xiàn)這種求聯(lián).課題左邊箭頭指向與此教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的學(xué)生已有知識(shí)儲(chǔ)備，右邊箭頭指向該教學(xué)內(nèi)容的后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容.此時(shí)教學(xué)內(nèi)容不是孤立的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是由碎片走向整體的橫向發(fā)展.接著，著眼于本課教學(xué)內(nèi)容，由核心問題串層層深入教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，使教學(xué)向縱深發(fā)展.從外觀上，這樣的備課形似一個(gè)英文字母“T”，“T”字形備課能夠引導(dǎo)教師有效地尋找教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，橫縱聯(lián)結(jié)共同勾勒出優(yōu)效的數(shù)學(xué)課堂.

從學(xué)生“學(xué)”的角度而言，不同學(xué)習(xí)階段對(duì)于相似學(xué)習(xí)內(nèi)容要有主動(dòng)串聯(lián)的眼光.例如，在教學(xué)“和差問題”時(shí)，無論學(xué)生選擇“加”“減”或“移多補(bǔ)少”任何一種方法，其根本目的都在想辦法使兩個(gè)量變得“同樣多”，再進(jìn)行平均分，學(xué)生的學(xué)習(xí)依據(jù)直指低年段的平均分.

（二）表征方式中的求聯(lián)

數(shù)學(xué)表征主要分為語言、符號(hào)、圖像三種方式，多元化的表征方式豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生往往能用自己擅長的表征方式進(jìn)行理解.但在教學(xué)實(shí)踐中也存在這樣的現(xiàn)象，學(xué)生把對(duì)于同一內(nèi)容的不同表征方式互相割裂，當(dāng)作不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得晦澀難懂.舉個(gè)簡單的例子，學(xué)生會(huì)用語言闡述乘法分配律，也能用字母去表征，但當(dāng)乘法分配律與圖形結(jié)合時(shí)，學(xué)生便不能建立起它們之間的聯(lián)系.

因此，在不同的表征中尋找內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，是教學(xué)任務(wù)中一項(xiàng)重要的部分.唯有如此，才能使表征多樣化真正服務(wù)于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，而不是變成了額外的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).例如，教學(xué)乘法口訣“三四十二”，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，在多元表征中求得知識(shí)的聯(lián)結(jié).在不同的表征中，學(xué)生將直觀形象的方式嫁接到抽象的符號(hào)理解，在可視化的過程中不斷推進(jìn)口訣的意義建構(gòu)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入更高的層級(jí).

（三）思維層級(jí)中的求聯(lián)

由于學(xué)生思維水平的差異化，對(duì)于同一數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)生的理解水平也是不同的.正因?yàn)樗季S的層級(jí)性，教師在教學(xué)中更要注重聯(lián)動(dòng)不同思維的產(chǎn)物，利用不同形式的表達(dá)來構(gòu)建同一問題的方法多樣化，使學(xué)生多角度、多層次地融通知識(shí).例如，在解決“甲、乙、丙、丁4人每兩人之間握一次手，一共需要握幾次手”這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生呈現(xiàn)多種策略.

①列舉法：甲—乙

甲—丙 乙—丙

甲—丁 乙—丁 丙—丁

②連線法： ③列表法：

④ 加法算式：3+2+1=6（次）

⑤ 乘法算式：3×4÷2=6（次）

以上五種方法呈現(xiàn)出不同的表達(dá)形式，從思維層級(jí)角度來看，學(xué)生經(jīng)歷了從直觀化描述分析到抽象化關(guān)聯(lián)推理的發(fā)展過程.在這里，無論是直觀形象的方法，抑或抽象概括的方式，沒有優(yōu)劣之分，并不以此來區(qū)分高層次思維和低層次思維.學(xué)生在對(duì)比關(guān)聯(lián)中可以感悟：“形”與“式”是相互相通、互相成全的.同一意義的表達(dá)，通過教師的引導(dǎo)求聯(lián)能使學(xué)生意識(shí)到解法的多重性與發(fā)展性，思維的層級(jí)正是由于這些不同卻又豐富的策略逐漸由淺層到深層漫溯.

（四）學(xué)科特征中的求聯(lián)

日本學(xué)者米山國藏認(rèn)為，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)很快便會(huì)忘卻，但是那些數(shù)學(xué)思想方法、精神價(jià)值以及研究問題的著眼點(diǎn)會(huì)深深貯存在腦海中，使人終身受益.數(shù)學(xué)作為對(duì)客觀世界的表達(dá)，閃耀著理性的光輝.數(shù)學(xué)的世界藏著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)美、絕妙的邏輯美、簡潔的形式美、辯證的哲理美、悠久的歷史美，這一切勾勒出其獨(dú)特的學(xué)科特性.把握學(xué)科的特性，將它們進(jìn)行關(guān)聯(lián)，也是求聯(lián)驅(qū)動(dòng)的來源之一.除了可以從數(shù)學(xué)學(xué)科本身出發(fā)，還可以超越數(shù)學(xué)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同學(xué)科特性進(jìn)行求聯(lián).海闊憑魚躍，憑借求聯(lián)讓學(xué)生在更廣闊的天地間演化創(chuàng)造，這也許也是一種哲學(xué)啟蒙的形式.

三、踐行：催化數(shù)學(xué)理解的求聯(lián)策略

在意識(shí)層面上，求聯(lián)是教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的一種主動(dòng)思想傾向，帶著這種意識(shí)探尋教學(xué)中求聯(lián)的實(shí)施方法，在求聯(lián)驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)中使教學(xué)達(dá)到自然融合，催化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解的自然進(jìn)階，向著深度學(xué)習(xí)進(jìn)發(fā)的同時(shí)落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo).

（一）倒退聯(lián)結(jié)：讓數(shù)學(xué)理解有“力”

人之所以對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥乏味、晦澀難懂的印象，原因之一便是脫離了實(shí)際.這里的“實(shí)際”不僅僅指向?qū)W生的原有知識(shí)、生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知發(fā)展水平，也包括數(shù)學(xué)基本概念、知識(shí)結(jié)構(gòu)等方面.華羅庚曾說：復(fù)雜的問題要善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.因此，要敢于在倒退中求聯(lián).

1.退回生活經(jīng)驗(yàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)作為初等數(shù)學(xué)內(nèi)容，每一個(gè)基本概念都來源于生活中的現(xiàn)實(shí)原型.概念的形成就是對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的抽象與概括.因此，教師要以生活原型為抓手，從學(xué)生最熟悉的日常生活經(jīng)驗(yàn)著手設(shè)計(jì)教學(xué)過程，通過聯(lián)系原型讓數(shù)學(xué)理解更有活力.以《認(rèn)識(shí)千米》為例，基于學(xué)生思維正由前運(yùn)算階段向具體運(yùn)算階段發(fā)展，因此，教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生到生活中感受千米.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如下：

感受千米，體驗(yàn)生活

踩著春光去游玩！交通工具可選擇步行、自行車、電動(dòng)車、汽車等.

我從學(xué)校門口出發(fā)到 ，路程大約是1千米.選擇的交通工具是 ，所花的時(shí)間是 ，平均速度是 .

我對(duì)1千米的感受是 .

我從 到 游玩，路程大約是 ，選擇的交通工具是 ，所花的時(shí)間是 ，平均速度是 .

基于以上認(rèn)識(shí)，我推測 到 ，如果采用 的方式，所花的時(shí)間是 ，平均速度是 .

在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情被充分調(diào)動(dòng)，結(jié)合自身感受與同伴經(jīng)驗(yàn)相互交匯，共同對(duì)千米有了更深層次的概念建構(gòu).1千米有多長？選擇步行的學(xué)生認(rèn)為：“1千米是挺長的一段路，和爺爺一起走了15分鐘左右.”“慢跑了約10分鐘才到達(dá)，有些微微出汗了！”選擇電動(dòng)車、平衡車的同學(xué)覺得：“1千米沒自己原來想象中的那么長，大約5分鐘就到了呢！”選擇乘車出行的同學(xué)感受到：“花了兩三分鐘就到了，中間還遇到一個(gè)紅燈呢！”在交流中拓寬了教學(xué)的時(shí)間和空間，真正建構(gòu)起“千米”的概念.

2.退到基本模型

隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的增加、能力的增長，需要針對(duì)數(shù)學(xué)問題靈活調(diào)取已有方法策略正確解決.此時(shí)，學(xué)生應(yīng)該讓錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題回歸到它的起點(diǎn)，從基本模型出發(fā)尋求線索與答案.例如，在《相遇問題》中，學(xué)生通過學(xué)習(xí)、思考感悟到，無論是“從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行最終相遇”，還是“從同地出發(fā)相背而行最后相距一段距離”，都能用相同的數(shù)量關(guān)系分析，因而算式結(jié)果是相同的.通過動(dòng)態(tài)演示變直為曲，隨即過渡到環(huán)形跑道問題，引導(dǎo)學(xué)生在變式中感悟本質(zhì).基于前面兩種基本模型，學(xué)生受到啟發(fā)：只要將環(huán)形跑道沿著起點(diǎn)或終點(diǎn)位置“剪開”，化曲為直，就能還原到之前兩種最基本的相遇問題模型.

3.退接知識(shí)結(jié)構(gòu)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程，也是學(xué)生自己不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程.學(xué)生的學(xué)習(xí)不應(yīng)是散點(diǎn)式的，因此，對(duì)于教學(xué)應(yīng)從散點(diǎn)研究開始，逐漸走向線性研究，再形成結(jié)構(gòu)性研究.唯有將一棵棵知識(shí)樹培植于一片片知識(shí)林，數(shù)學(xué)知識(shí)才能真正對(duì)學(xué)生產(chǎn)生積極作用與影響.在退回知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程中，教師的引導(dǎo)作用必不可少，教師需要引領(lǐng)學(xué)生在建構(gòu)過程中不斷發(fā)展和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).例如，在學(xué)習(xí)體積和容積單位之后組織學(xué)生對(duì)以下問題進(jìn)行深度探討.

（1）你學(xué)過哪些長度單位、面積單位以及體積單位？請(qǐng)分別舉例分析你是如何測量長度、面積和體積.

（2）你認(rèn)為長度、面積和體積單位之間有怎樣的聯(lián)系？

（3）把兩點(diǎn)間的距離作為單位長度，請(qǐng)你表示出與之對(duì)應(yīng)的面積單位和體積單位.

長度、面積、體積對(duì)應(yīng)著線、面、體三個(gè)不同的概念，根據(jù)學(xué)生的空間思維發(fā)展水平和認(rèn)知水平，這些教學(xué)內(nèi)容被分布在不同年段逐一認(rèn)識(shí)，被割裂成三個(gè)獨(dú)立的板塊.多數(shù)學(xué)生僅僅是學(xué)什么就認(rèn)識(shí)什么，對(duì)這三部分無法建立起聯(lián)系，無法從它們內(nèi)在的關(guān)聯(lián)出發(fā)靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題，發(fā)展空間觀念.因此，教師要抓住教學(xué)中的核心問題，將知識(shí)梳理成線，形成知識(shí)網(wǎng)，引導(dǎo)學(xué)生不斷自主建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，感受數(shù)學(xué)的本質(zhì).

（二）多元表征聯(lián)通：讓數(shù)學(xué)理解有“徑”

布魯納認(rèn)為外在刺激的程度決定兒童思維，促進(jìn)兒童心智的發(fā)展.他將兒童的思維活動(dòng)按不同的程度分為三種表征，即動(dòng)作表征、形象表征以及符號(hào)表征.基于此，多元化的表征以及各種表征之間的聯(lián)通讓兒童的數(shù)學(xué)理解有跡可循，有路可走.

1.實(shí)驗(yàn)操作表征

兒童的思維發(fā)展必須借助實(shí)物的操作活動(dòng)來完成，因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)提供形象的、可觸摸的實(shí)物來幫助學(xué)生進(jìn)行操作，表征自己的思維.在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)不斷開發(fā)實(shí)驗(yàn)材料、實(shí)驗(yàn)素材和實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在教學(xué)中的作用，使學(xué)生的動(dòng)手操作和思維發(fā)展達(dá)到融合統(tǒng)一.

例如，探尋三角形的三邊關(guān)系，教師提供給學(xué)生兩根長度精心設(shè)計(jì)過的吸管進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

實(shí)驗(yàn)一：剪一根.

通過把其中一根吸管剪成兩根，有的學(xué)生成功地圍成了三角形，有的則不行.學(xué)生認(rèn)為，“兩根短的加起來比最長的要短”或“兩條邊加起來正好等于第三條邊”不能圍成三角形，因此得出“任意兩邊長度的和大于第三邊”.此外，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行回顧反思：“要想任意兩邊長度的和大于第三邊，應(yīng)該剪哪一根？”從這個(gè)有深度的實(shí)驗(yàn)思考中內(nèi)化三邊關(guān)系.

實(shí)驗(yàn)二：添一根.

通過該實(shí)驗(yàn)，不同層次的學(xué)生得到了不同的發(fā)展.有的學(xué)生以8厘米為最長邊，確定第三邊要大于5厘米.有的學(xué)生則想到，倘若以未知邊為最長邊，則最長要小于11厘米.通過實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生得出：第三邊是5厘米和11厘米之間任意一個(gè)數(shù)值.

2.圖形表征

根據(jù)學(xué)生的思維發(fā)展水平，能力的培養(yǎng)要逐漸從具體形象過渡到抽象概括階段.圖形表征是聯(lián)結(jié)具體與抽象最好的表征方式，它源于具體形象的實(shí)物，而又具有抽象化.因此，依托圖形求聯(lián)加深數(shù)學(xué)理解是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的必由之路.在圖形表征求聯(lián)中，“數(shù)”與“形”的結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法被重視.例如，在加法運(yùn)算律中，試圖讓學(xué)生驗(yàn)證36+15=15+36，除了依托教材情境圖中的具體情景分析，還可以用多種方法表示.有的通過計(jì)算驗(yàn)證，有的用結(jié)合加法的含義來解釋，有的則借助圖形或者線段圖表征進(jìn)行合理分析.

又如，在小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的方式表示出0.1元.學(xué)生根據(jù)元與角的十進(jìn)制關(guān)系，立刻聯(lián)想到可以將圖形平均分成10份，這樣的1份就是0.1.在這里，學(xué)生無論選擇圓形紙片還是方形紙片，選擇大一點(diǎn)的還是小一點(diǎn)的紙片，都不影響對(duì)0.1在圖形上的意義表征.因勢利導(dǎo)，由具體圖形上的表征再引導(dǎo)到數(shù)線圖上的表征，學(xué)生利用圖形進(jìn)一步建構(gòu)一位小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系.

3.符號(hào)表征

符號(hào)表征是高層次思維的表達(dá)，學(xué)生能從實(shí)物或圖形中分離并進(jìn)行抽象概括.數(shù)學(xué)符號(hào)的形成過程浸潤著歷史與文化因素.因此，在數(shù)學(xué)符號(hào)的表征中求得聯(lián)絡(luò)，能使學(xué)生感悟到超越數(shù)學(xué)知識(shí)以外的學(xué)科文化啟示，感悟到數(shù)學(xué)的簡約美、形式美、文化美.

關(guān)于等號(hào)，列·科爾德在《智慧的磨刀石》書中提道：“……世界上再也沒有比兩條等長而又平行的線段意義更相同了.”試想，教師在教學(xué)中始終本著一顆虔誠之心，珍視每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，分享由符號(hào)引申出的數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)內(nèi)涵，還會(huì)怕有學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生陌生感與障礙感嗎？動(dòng)態(tài)演示

運(yùn)算符號(hào)“+”“-”“×”“÷”生成的過程，比如：“+”的形成，每一筆畫代表一部分，即把兩部分合起來;“-”表示在“+”的基礎(chǔ)上去掉一部分，得到剩下的另一部分;“×”由“+”旋轉(zhuǎn)而來，表示幾個(gè)相同加數(shù)的和;“÷”由“-”演化而來，去掉相同的一份，兩個(gè)點(diǎn)表示每份同樣多.

例如，在度量單位的教學(xué)中，無論是長度單位、面積單位，還是體積單位，都要通過具體的活動(dòng)引發(fā)學(xué)生對(duì)統(tǒng)一單位的需求，將非標(biāo)準(zhǔn)單位順利聯(lián)結(jié)到標(biāo)準(zhǔn)單位的建立.要使學(xué)生感知到：任何單位的產(chǎn)生和確立都是偉大而漫長的過程.學(xué)生在經(jīng)歷由粗略到精確、由多樣到統(tǒng)一的過程中，不僅理解了度量單位的現(xiàn)實(shí)意義，感悟度量的數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵，也似乎“快進(jìn)”經(jīng)歷了一次次數(shù)學(xué)文化價(jià)值的歷程.

未來的教育應(yīng)該是聯(lián)系的教育.我們通過求聯(lián)催化學(xué)生數(shù)學(xué)理解的自然進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的課程目標(biāo)，使數(shù)學(xué)精神轉(zhuǎn)化為學(xué)生終身發(fā)展的不竭動(dòng)力，創(chuàng)造更加美好的生活.

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