股票隨機(jī)模型及其衍生品期權(quán)定價(jià)理論研究

崔占豪　王雷雷　劉曉俊

摘 要：基于相關(guān)理論研究，并結(jié)合近幾年在金融衍生品特別是期權(quán)定價(jià)方面的研究成果，利用隨機(jī)分析理論，在股票混合過程的隨機(jī)模型下，給出帶有特殊股票紅利支付的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式，進(jìn)而對金融衍生品定價(jià)的前景進(jìn)行展望。

關(guān) 鍵 詞：股票隨機(jī)模型；期權(quán)定價(jià)；金融衍生品

中圖分類號： F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-3544（2014）01-0058-05

股票模型及期權(quán)定價(jià)問題是金融市場中一個(gè)重要的研究課題，也是金融創(chuàng)新的一個(gè)重要方向。特別是1973年Black-Scholcs期權(quán)定價(jià)公式[1] 的問世，在金融衍生品定價(jià)研究中具有里程碑的意義。 之后1979年Harrison & Kreps在論文 [2] 中對風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法進(jìn)行了系統(tǒng)闡述，為期權(quán)定價(jià)研究提供了新方法。再后來鞅理論的發(fā)展，極大地推動并發(fā)展了期權(quán)定價(jià)理論的研究方法。本文在上述理論研究基礎(chǔ)之上，結(jié)合近幾年在金融衍生品，特別是期權(quán)定價(jià)方面的研究成果，利用隨機(jī)分析理論，在股票混合過程的隨機(jī)模型下，給出帶有特殊股票紅利支付的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式，進(jìn)而對金融衍生品定價(jià)的前景進(jìn)行展望。

一、理論基礎(chǔ)

（一）泊松（Possion）過程是到達(dá)時(shí)間間隔為獨(dú)立且同時(shí)服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量

在實(shí)際生活中，如果假設(shè)顧客到達(dá)商場的時(shí)間間隔是獨(dú)立隨機(jī)變量的話，那么顧客到達(dá)商場的時(shí)間分布就是一個(gè)隨機(jī)過程。由于該隨機(jī)變量概率分布的不同，決定著隨機(jī)過程不同。但是廣泛地說，分布為任意分布時(shí)得到的過程為計(jì)數(shù)過程， 也稱為更新過程。 Possion過程是特殊的更新過程， 是我們模擬股票瞬時(shí)跳躍的較為理想的過程， 也是進(jìn)一步研究股票衍生產(chǎn)品定價(jià)的基礎(chǔ)。

定義（Ti）i≥0是獨(dú)立同服從？祝（a，？姿）（a>0，？姿>0）的隨機(jī)變量序列，令？子n=■Ti，則計(jì)數(shù)過程N(yùn)i=sup{n|？子n≤t}，t≥0為時(shí)間間隔服從伽馬分布的更新過程，稱之為伽馬更新過程。 伽馬更新過程在實(shí)證分析中更能真實(shí)地模擬股票跳躍， 而其特殊情況即為Possion過程。

如果（Nt）t≥0是伽馬更新過程，則P（Nt=n）=■■xna-1e-？姿xdx-■■x（n+1）a-1e-？姿xdx，n=0，1，2，…，當(dāng)a為正整數(shù)時(shí)，p（Nt=n）=■■e-？姿t，n=0，1，2，…。

特別地，當(dāng)a=1時(shí)，p（Nt=n）=■e-？姿t，n=0， 1，2，…，此時(shí)為泊松過程。由于更新過程的強(qiáng)度 [1] 為■，這里E（T1）=■，故此更新過程的強(qiáng)度為■，其中？祝（s）=■xs-1e-xdx，s>0，。所以對于Possion過程，比如客戶到達(dá)的時(shí)間間隔Tn的分布：

F■=p（Tn≤t）=1-e-？姿t，t≥00， t<0

其密度函數(shù)為：f■（t）=？姿e-？姿t，t≥00， t<0。

（二）Wiener過程 [4]

股票價(jià)格波動過程中，除了股票價(jià)格跳躍時(shí)刻，還有連續(xù)上升或下跌時(shí)段。后者在隨機(jī)分析理論中經(jīng)常用布朗運(yùn)動模擬。

當(dāng)隨機(jī)過程Bt，t∈[0，T]滿足下列條件時(shí)，我們稱隨機(jī)過程Bt，t∈[0，T]為布朗運(yùn)動。

1. 該過程初始值為0，即B0=0；

2. Bt具有固定的連續(xù)增量；

3. Bt在時(shí)間t內(nèi)連續(xù)；

4. 增量Bt-Bs服從均值為0，方差為|t-s|的正態(tài)分布，即：（Bt-Bs）～N（0，|t-s|）。

布朗運(yùn)動模擬股票連續(xù)時(shí)段是一種理想狀態(tài)模擬，多數(shù)情況下是用一般的帶有漂移項(xiàng)和波動項(xiàng)的隨機(jī)過程去模擬，即伊藤過程。

（三）伊藤過程

隨機(jī)過程xt，如果其微分形式可以表示為：dx= a（x，t）dt+b（x，t）dz，其中dz是Wiener過程，我們稱xt表示一個(gè)伊藤過程。而伊藤引理表明，如果隨機(jī)變量x遵循伊藤過程，dx=a（x，t）dt+b（x，t）dz，設(shè)G=G（x，t）是x和t的二階連續(xù)可微函數(shù)，則G（x，t）遵循如下過程：

dG=■a+■+■■b2dt+■bdz

如果股票價(jià)值過程遵循伊藤過程，即忽略股票的瞬時(shí)跳躍，而股票衍生產(chǎn)品的價(jià)值變化過程可用G（x，t）去模擬，于是股票衍生品的價(jià)格可通過解形如dG=■a+■+■■b2dt+■bdz的隨機(jī)微分方程得到。該理論是我們在風(fēng)險(xiǎn)中性市場，對股票衍生產(chǎn)品無套利定價(jià)的基礎(chǔ)。

（四）鞅和等價(jià)鞅測度

鞅理論使定價(jià)理論研究方便了很多，在金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)當(dāng)中起到舉足輕重的作用，因此研究鞅的定義和等價(jià)鞅測度十分必要。

如果隨機(jī)過程[Zn，n≥0]滿足以下兩個(gè)條件：

（1）對于n≥0的任何n，E|Zn|<∞；

（2）E{Zn+1|Z0，…，Zn}=Zn

我們稱隨機(jī)過程[Zn，n≥0]為鞅。在鞅理論中，關(guān)鍵問題就是找到鞅測度或者等價(jià)鞅測度，找到鞅測度或者等價(jià)鞅測度也就找到了金融衍生品的理論價(jià)格。

等價(jià)鞅測度：定義在概率空間（？贅， ，（ ）0≤t≤T，P）上的隨機(jī)過程{S（t），t∈（0，+∞）}對于信息結(jié)構(gòu)

和條件概率（ ）0≤t≤T是一個(gè)鞅。如果對任意t>0，滿足以下三個(gè)條件：（1）S（t）在信息結(jié)構(gòu) 下已知；（2）E|S（t）|<+∞；（3）Et[S（t）]=S（t），t

在期權(quán)定價(jià)中，等價(jià)鞅測度的理論定價(jià)，表達(dá)的正是風(fēng)險(xiǎn)中性市場上的無套利定價(jià)原則， 即利用各階段信息結(jié)構(gòu) 決定的條件概率P*，所求的平均價(jià)值的現(xiàn)值總等于初始階段的價(jià)值，這樣就是運(yùn)用鞅方法對期權(quán)在風(fēng)險(xiǎn)中性市場上進(jìn)行定價(jià)的理論基礎(chǔ)。

二、市場假設(shè)

在給定的市場及帶流概率空間（？贅， ，（ ）0≤t≤T，P），假設(shè)：

（1）市場為有效的無摩擦市場，即市場信息是公開的，各市場主體獲得信息都是相對公平的。市場上有兩類資產(chǎn)：一類是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)如股票，另一類無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)如債券；

（2）股票交易連續(xù)進(jìn)行，且不存在交易費(fèi)用和交易稅；

（3）無風(fēng)險(xiǎn)類資產(chǎn)利率按連續(xù)復(fù)利r（r>0）計(jì)算；

（4）股票特殊的連續(xù)分紅利率q（r>q>0）。

在上述市場假設(shè)下， 市場上其他任何資產(chǎn)都可以用這兩類資產(chǎn)進(jìn)行無套利復(fù)制。如果我們得到該市場假設(shè)下的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程，那么其他資產(chǎn)的價(jià)格過程就可以用其進(jìn)行無套利復(fù)制。 如何模擬這兩類資產(chǎn)的價(jià)格過程成為我們進(jìn)一步定價(jià)研究的前提。對于無風(fēng)險(xiǎn)證券債券，是具有固定收益的無風(fēng)險(xiǎn)過程。其價(jià)格過程用S■■表示，則滿足微分方程：

■=rdt， S■■=1 （1）

其中，0時(shí)刻債券價(jià)格為1單位，t（t>0）時(shí)刻的債券價(jià)格即為：S■■=ert。

另外一類資產(chǎn)為風(fēng)險(xiǎn)證券，如股票。股票價(jià)格波動的數(shù)學(xué)模擬是一個(gè)復(fù)雜的課題。在隨機(jī)分析理論中通常把股票的價(jià)格波動視為一個(gè)隨機(jī)過程。如果可以表示成一個(gè)隨機(jī)過程的隨機(jī)微分方程，那么股票的價(jià)格可以通過解微分方程得到。下面分三步去完善帶有紅利支付的股票模型。

首先，假設(shè)股票價(jià)格過程遵循一般的維納過程，且具有不變的期望漂移率及波動率。顯然這樣不實(shí)際，因?yàn)檫@意味著股票的百分比收益與股票價(jià)格以及股票增發(fā)數(shù)量無關(guān)，實(shí)際則不同。所以股票價(jià)格過程就不可能是一般的維納過程。為此股票價(jià)格可用瞬時(shí)期望漂移率？滋S和波動率為？滓2S2的伊藤過程進(jìn)行描述，即：

dS=？滋Sdt+？滓Sdz或■=udt+？滓dz （2）

其次，考慮股票具有連續(xù)紅利支付的情況，那么該股票模型就等價(jià)于一個(gè)沒有紅利，且服從如下的幾何布朗運(yùn)動S■■：

dS't=（？滋+q）S'tdt+？滓S■■dWt （3）

S't（T）=S'texp（？滋+q-■）（T-t）+？滓（WT -Wt）

=eq（T-t）S'texp（？滋-■）（T-t）+？滓（WT -Wt）

其中，？滋，？滓為該股票的瞬時(shí)收益率和波動率，Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，q為其連續(xù)分紅利率。這樣支付紅利率q的股票S（T）在t時(shí)刻的價(jià)格為S（t）e-q（T-t）。有了這樣的帶紅利股票，我們就可以將其股票貼現(xiàn)價(jià)格■'t=e-rtS't轉(zhuǎn)化成一個(gè)鞅，即在鞅測度下■'t=e-rtS't滿足微分方程：

d■'t=■'t[？滓dWt+（？滋+q+■-r）dt] q（r>q>0）

構(gòu)造■t=Wt+？滓-1（？滋+q+■-r）t是一個(gè)Brown運(yùn)動，在等價(jià)鞅測度下，又可以仿造簡單的Black-Scholes模型 [3] ，將此鞅測度下微分方程（3）轉(zhuǎn)化為：

dSt=St[？滓dWt+（r-q-■）dt] （4）

從而有解：St=S0exp[？滓dWt+（r-q-■）t]。

最后，現(xiàn)在看來股票隨機(jī)模型已經(jīng)比較合理了，如果再考慮到股票在市場中帶有瞬時(shí)跳躍的情況就更完美了。那么此時(shí)的模型又是如何？能否用一個(gè)特殊的隨機(jī)微分方程模擬股票波動， 進(jìn)而通過解隨機(jī)微分方程得到股票價(jià)格？大量的實(shí)證研究表明，該數(shù)學(xué)思想在實(shí)證分析中是可行的。 下面我們給出一種混合過程的模型，把股票波動中的跳躍也加入其中。在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下，其價(jià)格混合過程St滿足隨機(jī)微分方程：

■=（r-q）dt-vd■nPn（t）+？滓dWt+UdNt

q（r>q>0） （5）

其中：r是無風(fēng)險(xiǎn)利率；？滓是股票沒有跳躍時(shí)的波動率；q（r>q>0）是標(biāo)的股票的紅利率；Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動；U（U>-1）（否則會出現(xiàn)負(fù)的價(jià)格）為股票價(jià)格發(fā)生跳躍時(shí)股票價(jià)格的相對跳躍高度，它是隨機(jī)變量；Pn（t）=■e-？姿t為與時(shí)間有關(guān)的Possion分布；vd■nPn（t）是由更新跳躍帶來的平均增長，v=E（U），其中E為期望算子。

由微分方程（3）的求解過程可進(jìn)一步推導(dǎo)方程（5）的解為：

St=S0■（1+Ui）exp

r-q-■t-v■nPn（t）+？滓Wt，q（r>q>0）

其中，Ui為？子i時(shí)刻股票價(jià)格的相對跳躍高度， [5] Pn（t）=■e-？姿t，U1，…，Un，…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。由于股票價(jià)格除了有大致的走勢以外，大量交易數(shù)據(jù)表明，股票價(jià)格走勢中存在跳躍。綜合眾多實(shí)踐表明視股票價(jià)格波動跳躍為Possion過程的指數(shù)布朗運(yùn)動的混合過程更符合實(shí)際。

三、混合過程下歐式看跌期權(quán)的定價(jià)

我們有了混合過程的股票價(jià)格過程以后， 股票資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品期權(quán)的定價(jià)問題隨之而來。 當(dāng)今期權(quán)產(chǎn)品定價(jià)理論比較成熟，然而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往會產(chǎn)生誤差。這就給市場上一些投機(jī)分子較多的套利機(jī)會，給金融市場帶來很大的風(fēng)險(xiǎn)。下面用隨機(jī)分析理論，給出股票資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式。

如果X為歐式看跌期權(quán)，其執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T，記看跌期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值為P（t，St），在等價(jià)鞅測度P*下，假定■t=e-rtSt為鞅，則可以提出命題：

設(shè)St為滿足隨機(jī)微分方程（5）的股票價(jià)格過程，則其到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看跌期權(quán)P（T，ST），在t時(shí)刻的價(jià)格P（t，St）為：

P（t，St）=■Pk（T-t）？著k[Ke■？椎（d2）-St■（1+Ui）e■？椎（d1）] （6）

其中，d1=■，d2=d1-？滓■。

證明：X為歐式看跌期權(quán)，則X=f（ST）=（K-ST）+，在等價(jià)鞅測度下endprint