二維FM系統(tǒng)的有限頻故障檢測(cè)

吳小雪，劉賀平，吳慧明

（1. 北京科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100083；2. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

現(xiàn)代工程領(lǐng)域的許多問(wèn)題都與二維系統(tǒng)密切相關(guān)，如圖像處理[1]、多維信號(hào)處理[2]、多維數(shù)字濾波[3]、重復(fù)過(guò)程等[4]. 近幾十年來(lái)，二維系統(tǒng)理論一直受到廣泛關(guān)注，至今仍然是控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[5-6]. 二維系統(tǒng)的故障檢測(cè)問(wèn)題更是受到廣大學(xué)者的關(guān)注：文獻(xiàn)[7]～文獻(xiàn)[9]提出用全頻方法處理二維系統(tǒng)的故障檢測(cè)問(wèn)題，然而，事實(shí)上故障一般都處在有限頻域內(nèi)[10]，在全頻域內(nèi)研究故障檢測(cè)問(wèn)題存在一定的保守性.近年來(lái)，有些學(xué)者考慮到這一特點(diǎn)研究了一系列二維系統(tǒng)有限頻域內(nèi)的故障檢測(cè)問(wèn)題[11-13].

由傳感器掉電引起的“卡死型”故障是系統(tǒng)運(yùn)行中常見(jiàn)的故障，但關(guān)于該問(wèn)題的研究成果鮮見(jiàn)報(bào)端，且都集中在一維系統(tǒng)：文獻(xiàn)[14]、文獻(xiàn)[15]分別研究線性不確定系統(tǒng)和隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的傳感器故障檢測(cè)問(wèn)題，文獻(xiàn)[16]研究帶有傳感器故障的同時(shí)故障檢測(cè)與控制問(wèn)題，而二維系統(tǒng)中具有代表意義的FM系統(tǒng)，其有限頻域內(nèi)的傳感器故障檢測(cè)問(wèn)題并沒(méi)有相關(guān)報(bào)道.

本文采用有限頻H_指標(biāo)和有限頻H∞指標(biāo)分別描述殘差對(duì)故障的敏感性以及殘差對(duì)擾動(dòng)的魯棒性.利用廣義KYP引理，直接處理干擾和故障的有限頻信息，將有限頻性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為矩陣不等式條件.在處理有限頻H_指標(biāo)時(shí)，首先給定耦合項(xiàng)的上界，可以使目標(biāo)變量的解集位于半徑為常數(shù)的球的外部，再通過(guò)施加新的約束條件來(lái)解決該難題.本文將評(píng)估窗口定義為兩個(gè)方向來(lái)反映二維向量，選擇矩形區(qū)域內(nèi)殘差的平均值作為評(píng)價(jià)函數(shù)，可降低故障誤報(bào)率.

1 系統(tǒng)模型

考慮如下二維離散FM模型[17]

式中，x(i,j)∈Rn為狀態(tài)向量，d(i,j)∈Rnd為外部擾動(dòng)輸入，y(i,j)∈Rny為測(cè)量輸出，A1，A2，Bd1，Bd2，C，Dd為已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.

考慮傳感器故障中常見(jiàn)的“卡死型”故障, 本文定義為

fpk(k=1,2,…,ny)可以是零或者某些未知的非零常數(shù)，表示第k個(gè)傳感器的卡死值.定義

Fpk=0或者1(k=1,2,…,ny)，F(xiàn)pk=0表示第k個(gè)傳感器有故障，F(xiàn)pk=1表示第k個(gè)傳感器沒(méi)有故障.

考慮式（4）中定義的傳感器“卡死型”故障，可用下面模型描述系統(tǒng)未發(fā)生故障和系統(tǒng)發(fā)生故障兩種情況

式中，f(i,j)=(I-Fp)fp(i,j).

本文目標(biāo)是構(gòu)造如下故障濾波器

結(jié)合式（5）、式（6）可得增廣系統(tǒng)

式中，

2 問(wèn)題描述與預(yù)備知識(shí)

本文任務(wù)描述如下：對(duì)于式（1）中所表達(dá)的二維FM系統(tǒng)，設(shè)計(jì)式（6）的濾波器，在滿足下面性能指標(biāo)的情況下，且可使增廣系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

式中，1γ，2γ為給定的參數(shù)，為故障的有限頻信息，增廣系統(tǒng)從故障f(i,j)，干擾d(i,j)到殘差r(i,j)的傳遞函數(shù)分別為

注1 為在干擾中準(zhǔn)確地鑒別出故障，引入有限頻性能指標(biāo)式（9）使故障對(duì)殘差的影響最大，即殘差對(duì)故障敏感，參數(shù)β越大，殘差對(duì)故障越敏感.同時(shí)引入性能指標(biāo)式（10）和式（11），即殘差對(duì)干擾有一定的魯棒性.性能指標(biāo)式（10）、式（11）分別為系統(tǒng)正常運(yùn)行和發(fā)生故障時(shí)的魯棒性能指標(biāo).

3 本文需用到的引理

引理1給定對(duì)稱矩陣Ψ和兩個(gè)矩陣Γ,Λ，存在矩陣X，滿足Ψ+ΓXΛT+ΛXTΓ＜0，當(dāng)且僅當(dāng)以下兩個(gè)等式成立

引理2假設(shè)

ξ∈Rn，P=PT∈Rn×n，H∈Rm×n，rank(H)=r＜n，則下面命題等價(jià)：

引理3對(duì)于系統(tǒng)1，假設(shè)對(duì)于所有(z1,z2)∈{(z1,z2)∈C×C:z1≥1,z2≥1}，都有

式中，

式中，

引理4若存在對(duì)稱矩陣Ps＞0，使得

成立，則增廣系統(tǒng)式（7）漸近穩(wěn)定[21]，式中，

4 主要結(jié)果

4.1 故障敏感性條件

定理1給定標(biāo)量γ1＞0，如果存在赫爾米特矩陣Pfk1、Pfk3、Qfk1、Qfk3，k=1,2，矩陣Pfk2、Qfk2、X1、X2、X3、Y1、Y2、Y3、Y4、Z1、Z2、AF1、AF2、BF1、BF2、CF滿足以下各式，則增廣系統(tǒng)式（7）滿足性能指標(biāo)式（9）.

式中，

證明考慮“卡死型”故障，即，取

可知，若下式成立

式中，

由引理3，則

增廣系統(tǒng)式（7）滿足性能指標(biāo)式（9），式（21）可改寫(xiě)為

式中，

令η=Λ1ξ，其中ξ為任意非零向量，則ηTΩ1η＜0，令，則有ΓTη=ΓTΛ1ξ=0.利用引理1，式（22）等價(jià)為

式中，

令

半徑為α的球的一個(gè)切平面可由表示，則式（25）的解的凸子集可以通過(guò)式（18）求出.

4.2 干擾抑制條件

為使干擾對(duì)殘差的影響最小，引入H∞性能指標(biāo)式（10）、式（11）.下面給出滿足性能指標(biāo)式（10）、式（11）的充分條件.

定理2對(duì)于標(biāo)量，假設(shè)不存在傳感器故障，即Fp=1時(shí)，如果存在赫爾米特矩陣Pdk1，Pdk3，Qdk1,Qdk3，矩陣Pdk2，Qdk2，1F，2F，X3，AF1，AF2，BF1，BF2，CF滿足以下各式成立，則增廣系統(tǒng)（7）滿足性能指標(biāo)（10）.

式中，

Σ810=DdT.

證明由引理3，若下式成立

則增廣系統(tǒng)式（7）滿足性能指標(biāo)式（10）.上式可寫(xiě)為

式中，

式中，

則式（28）成立.選擇

利用Schur補(bǔ)引理，取Fp=1，將相應(yīng)矩陣代入，則為式（26）.

定理3對(duì)于標(biāo)量γ2＞0，,假設(shè)存在傳感器故障，即Fp=0時(shí)，如果存在赫爾米特矩陣Pmk1，Pmk3，Qmk1,Qmk3，矩陣Pmk2，Qmk2，M1，M2，X3，AF1，AF2，BF1，BF2，CF滿足式（29）、式（30），則增廣系統(tǒng)式（7）滿足性能指標(biāo)式（11）.

證明參考定理2證明過(guò)程.

由于廣義KYP引理不包含系統(tǒng)的穩(wěn)定性，下面分別給出當(dāng)Fp=1和Fp=0時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件：

定理4假設(shè)系統(tǒng)不存在傳感器故障，即Fp=1時(shí)，如果存在對(duì)稱矩陣Ps1，Ps2，矩陣Ps3，H1，H2，X3，AF1，AF2，BF1，BF2滿足下式成立，則增廣系統(tǒng)式（7）漸近穩(wěn)定.

式中，

證明令，可得

則引理4中

可以寫(xiě)為

又有

由引理1，可得式（33）、式（34）等價(jià)于

取

并將相關(guān)矩陣代入，可得定理：

定理5假設(shè)存在傳感器故障，即Fp=0時(shí)，如果存在對(duì)稱矩陣Pk1、Pk2，矩陣Pk3、K1、K2、X3、AF1、AF2、BF1、BF2滿足下式成立，則增廣系統(tǒng)式（7）漸近穩(wěn)定.

證明參考定理4證明過(guò)程.

5 解決方案

下面給出求解濾波器的算法：給定實(shí)參數(shù)a，b，求解如下的優(yōu)化問(wèn)題

約束條件為式（17）、式（18）、式（19）、式（26）、式（27）、式（29）、式（30）、式（31）、式（32）、式（36）、式（37）.

采用文獻(xiàn)[23]方法

式中，Jr(i,j)和Jth分別為殘差函數(shù)及閾值，其中閾值的數(shù)值利用文獻(xiàn)[24]算法求出.而對(duì)于是否發(fā)生故障，則依據(jù)如下的邏輯關(guān)系

J(i,j)＞Jth系統(tǒng)存在故障報(bào)警；

J(i,j)＜Jth系統(tǒng)無(wú)故障不報(bào)警.

6 數(shù)值仿真

考慮系統(tǒng)矩陣為

假設(shè)上述系統(tǒng)中發(fā)生了傳感器“卡死型”故障，設(shè)計(jì)故障檢測(cè)濾波器，在有干擾存在的狀況下可有效檢測(cè)系統(tǒng)故障.由第5節(jié)算法得到濾波器參數(shù)，

為了驗(yàn)證本文提出的故障檢測(cè)方法的有效性，仿真結(jié)果見(jiàn)圖1～圖4，仿真中假設(shè)系統(tǒng)故障為

以及系統(tǒng)干擾

d(i,j)=0.15sin(0.5i)+0.15cos(0.5j).

系統(tǒng)初始狀態(tài)為xi(k,1)=0，，xi(1,k)=0，，假設(shè)故障發(fā)生在低頻域內(nèi)，頻率約束為，由文獻(xiàn)[22]算法，可得閾值Jth=0.319 8，圖1表示系統(tǒng)故障，圖2表示系統(tǒng)的干擾，圖3和圖4分別給出了三維空間和二維空間的故障檢測(cè)效果，當(dāng)i等于16、24時(shí)，可以看出，J(i,j)＜Jth依據(jù)邏輯關(guān)系，系統(tǒng)沒(méi)有發(fā)生故障，當(dāng)i=34,40≤j≤150時(shí)，J(i,j)＞Jth，依據(jù)邏輯關(guān)系，系統(tǒng)沒(méi)有發(fā)生故障.

圖1 系統(tǒng)運(yùn)行中發(fā)生的故障f(i,j)Fig.1 faults f(i,j) in system operation

圖2 系統(tǒng)運(yùn)行中的干擾d(i,j)Fig.2 disturbance d(i,j) in system operation

圖3 三維空間中的Jr(i,j)和JthFig.3 residual evalution function Jr(i,j) and threshold Jth in three-dimensional space

圖4 二維空間中的Jr(i,j)和JthFig.4 residual evalution function Jr(i,j) and Jth in two-dimensional space

7 結(jié)論

研究具有傳感器故障的二維FM系統(tǒng)的故障檢測(cè)問(wèn)題.

（1）對(duì)于系統(tǒng)需要滿足的有限頻性能指標(biāo)，利用二維FM系統(tǒng)的廣義KYP引理進(jìn)行處理.

（2）該方法與頻率加權(quán)方法相比，可減少運(yùn)算的復(fù)雜性.

（3）利用線性矩陣不等式給出了濾波器的設(shè)計(jì)條件.

（4）數(shù)值仿真證明本文采用方法的有效性.