復變函數法計算圓形盾構隧道周邊土體位移

楊 淼，戴武奎，王 穎

（中國建筑東北設計研究院有限公司 巖土公司，遼寧 沈陽 110006）

0 引言

隨著大中城市地下軌道交通建設發(fā)展，隧道開挖對周圍環(huán)境影響顯得日益重要.目前，計算圓形盾構隧道周圍土體變形的方法主要有：經驗法、解析解法和有限元法.而在解析解方面，主要有雙擊坐標法、鏡像法、Airy應力函數法和復變函數法.

復變函數求解隧道問題的優(yōu)點為，能夠把半無限空間映射為定值圓環(huán)，而不會影響解析函數求解，并且無窮遠端也被映射到圓弧上一點，通過位移差，可以保證無窮遠端位移為零.VERRUIJTT[1-2]應用復變函數推導出了隧道孔洞周圍在均布徑向位移和應力條件下的解析解.王立忠[3]、童磊[4]、張治國[5]均利用PARK[6]或相似的經驗邊界橢圓化變形形式完成了隧道土體變形復變函數求解.由于經驗邊界變形形式的引入，使得解析解變得有針對性.

本文在已有復變函數解析解基礎上，利用隧道邊界土體和混凝土襯砌相對空間位置及協(xié)調變形關系，推導出新的復變函數解析解邊界條件，不再采用指定的經驗邊界條件，求出圓形盾構隧道周圍土體變形復變函數解，使得計算結果更具有普遍性.采用計算機編程實現(xiàn)算法.

1 隧道位移函數

1.1 基本假設

為滿足平面應變要求，假定隧道在軸線上無限長；土體為半無限空間彈性體；土體和襯砌相互作用，滿足協(xié)調變形條件，但二者之間無摩擦力[7]；不考慮滲流對變形的影響，假設盾構過程中不排水.半空間單圓孔隧道平面簡圖見圖1，采用復數直角坐標系表示，h為隧道中心埋置深度，0r為隧道半徑，A為坐標原點，B為無窮遠端，C為隧道頂，D為隧道底，R區(qū)域為隧道孔洞外區(qū)域.

圖1 單孔半無限空間Fig.1 half plane with a circular cavity

1.2 位移函數

根據Muskhelishvili[7]平面問題復變函數解法，可以用R區(qū)域內的解析函數φ(z)和ψ(z)來表示土體應力和位移分量.應力公式為

位移公式為

式中，G為土體剪切模量，kPa，G=E/2(1+υ)；E為土體彈性模量，kPa；υ為土體泊松比；Ux為土體水平位移，m；Uy為土體豎向位移，m；參數κ=3 -4υ.

在z平面，地表處，土體應力為零；在圓形隧道孔洞處有已知變形，則有

2 復變函數理論

2.1 共形映射

通過Mobius共形映射公式變換，z平面半無限空間中單孔圓形隧道可以轉換為ζ平面中定直徑圓環(huán)，圖2為映射后區(qū)域.共形映射表達式為

R區(qū)域中孔洞邊界，地表，點A，點B，點C，點D分別映射到r區(qū)域中的，，點A"，點B"，點C"，點D".

圖2 mobius共形映射區(qū)域Fig.2 plane of mobius conformal transformation

2.2 Laurent級數展開

φ(z)和ψ(z)在R區(qū)域內是解析函數，根據復變函數理論中解析函數定理，φζ()和ψζ()在r區(qū)域內也是解析函數.φζ()和ψζ()的Laurent雙邊冪級數展開形式為

式中，0a，ka，kb，0c，kc，dk可由位移函數確定.

2.3 確定級數系數

地表應力邊界條件，即式（6）改寫為

將式（9）～式（11）代入式（12），得到

隧道洞口位移邊界條件，即式（7）改寫為

令f*(ασ)=(-ασ).f(ασ)=，將式（9）～式（11）、式（13）～式（15）代入式（16）中，得

3 隧道土體變形復變函數解

3.1 隧道土體變形計算模型

盾構隧道開挖面與襯砌之間存在間隙，為反映隧道開挖推進過程和隧道施工造成的地層損失，LEE[8]提出了間隙參數g，其表達式為

式中，Gp為物理空隙，m，Gp=2Δ+δ；Δ為盾構機盾尾厚度，m；δ為拼裝襯砌所需的最小空間，m；為開挖面推進引起的等效三維徑向位移，m；ω為與施工質量有關的參數.

LOGANATHAN[9]等研究發(fā)現(xiàn)，圓形隧道地層變形呈橢圓化變形，由此得出地層損失率經驗公式；SAGASETA[10]提出隧道邊界最終變形由造成地層損失的洞口徑向均勻收縮和不引起體積變化的襯砌橢圓化變形及隧道面豎向沉降組成；Park[6]根據工程經驗提出4種橢圓化邊界變形形式，BC-3和BC-4條件較符合實際；王立忠[3]、童磊[4]、張治國[5]等采用PARK[6]或相似的經驗變形形式作為邊界條件來推導解析解，在一定程度上小弱了解析解的優(yōu)勢.

本文根據混凝土襯砌與隧道孔洞土體相對位置以及位移協(xié)調關系，建立函數關系并完成求解.

襯砌與隧道孔洞空間位置見圖3，實線表示未變形前襯砌和孔洞空間位置，虛線所示的橢圓形為變形后土體與襯砌邊界線.

圖3 隧道土體變形計算模型Fig.3 deformation modes of tunnel cavity

二者位移關系采用極坐標表示為

式中，Ur為土體以o"中心的徑向位移，m；為徑，m；u0為隧道與襯砌半徑差，m，u0=g/2.混凝土襯砌以o"中心的徑向位移，m；r0為隧道半

根據FLüEGGE[11]襯砌位移-應力關系（滿足假設襯砌厚度遠小于隧道半徑），得到

式中，sE為襯砌的彈性模量，kPa；sν為襯砌的泊松比；sA為每延米襯砌圓環(huán)的截面面積，m2；Is為每延米襯砌圓環(huán)對圓心的慣性矩，m4/m.

由襯砌與土體之間無摩擦假定可知，二者接觸面上的應力關系為

式中，rσ為土體的徑向應力，kPa；r"θτ為土體的切應力，kPa；為襯砌的徑向應力，kPa；為襯砌的切應力，kPa.

當r=0r時，由式（21）～式（23）、式（26）、式（27）可得

求解式（28）微分方程并取特解

式中，σr為襯砌與土體接觸面上襯砌對土體的應力，kPa，淺埋隧道σr=γ(h-r0sinθ")；γ為土體重度，kN/m3.令m=1+F/C，

得到

3.2 復變函數解

由于復變函數建立的xoy坐標系與上述x"o"y坐標系不同，需對隧道周邊的位移條件進行變換，如圖4所示.二者之間的關系為

隧道周圍土體中任一點M，在xoy和x"o"y坐標系點位分別表示為zc和，可以建立如下關系

由式（31）～式（33）可得到

圖4 極坐標轉換Fig.4 transformation of polar coordinate

將式（30）轉化到z平面上，得到

將式（36）轉化到ζ平面上，得到

將式（37）代入式（16），得到

式中，

3.3 算法實現(xiàn)程序

采用Matlab軟件實現(xiàn)解析函數求解過程，最終完成隧道周圍土體變形計算.編制的運算程序包括9個參數，分別為隧道埋置深度、隧道半徑、襯砌內半徑、空隙參數、土體彈性模量、土體泊松比、襯砌彈性模量、襯砌泊松比和土體重度.

圖5 程序流程Fig.5 flow chart of program

求解步驟如下：

（1）假定初始a0為任意某一虛數，代入式（17）～式（20），求得ak，kb；

（2）由于對稱性，當k循環(huán)到一定次數時，也趨向一固定值C，將C與a0相加之和作為新的0a重新代入式（17）～式（20）計算.由于解析函數φ(z)和ψ(z)是收斂級數，，經過若干次迭代后，C趨向0（本文控制精度為C≤10-8），可以求得初始a0，及ak，kb；

（3）將0a、ak、kb代入式（13）～式（15），求得kc，dk，即求出解析函數φζ( )和ψζ( )，根據z與ζ關系，確定解析函數φ(z)和ψ(z)；

（4）根據式（3）（位移公式），確定其實部和虛部數值，即為土體的水平位移和豎向位移（在計算時需注意，各點位移需減去無窮遠處位移，才與無窮遠端位移為零的設定相符合）.

4 計算結果分析

4.1 計算結果與實測數據對比

應用Matlab復變函數解程序計算文獻[9]的Heathrow隧道、Thunder Bay隧道、Green Park隧道、Barcelona隧道和Bangkok下水道地表沉降量，并將計算結果與各隧道實測地表沉降量對比.5條隧道的工程參數見表1，其他參數E=Eu，ν=0.2，Es= 25 000 MPa ，νs=0.2.

隧道地表沉降量理論計算值與實測數據對比結果見圖6，x軸和y軸分別表示地表水平距離（m）和地表沉降值（mm），可以看出，采用本文復變函數方法計算所得沉降量曲線與實測數據分布特征一致，符合Peck正態(tài)曲線特征.在隧道中心線附近沉降量最大，隨著水平距離增大，沉降量快速減小.同時發(fā)現(xiàn)，理論沉降量和實測沉降量存在一定偏差，相對差值約為15%～20%，理論沉槽寬度比實測寬度略大，需要進一步研究.

4.2 隧道地表沉降量影響因素分析

在應用復變函數求解隧道周圍土體變形理論中，涉及到較多參數，而每個參數對最終結果的影響程度需要進行對比研究，在今后的隧道設計中重視這些參數的選取.

根據式（30），最終位移不受土體模量影響.同時考慮到實際工程中，襯砌混凝土標號為固定型號，因此襯砌混凝土彈性模量和泊松比為常值.

因此，本文假定了7種情況，后6種情況相較第1種情況分別改變一個參數數值，見表2.形成3組對比，分別就隧道埋置深度、隧道半徑、土體泊松比和土體模量對地表沉降量的影響程度進行討論.Es=25 000 MPa，νs=0.2.計算結果見圖7.

表1 隧道工程參數Tab.1 parameters of tunnels

表2 7種工況隧道工程參數Tab.2 parameters of tunnels in different cases

圖6 各隧道地表沉降量對比Fig.6 comparison of ground surface settlements of tunnels

圖7 不同工況地表沉降對比Fig.7 comparison of ground surface settlements of different cases

隧道埋置深度.在土質等其他參數相同情況下，隧道埋置深度越小，沉降曲線越陡，地表沉降量越大，沉槽寬度越窄.在隧道中心線附近，地表沉降量受隧道埋置深度影響較大，而遠端則影響不明顯.埋深減小1/4，中心沉降量增大近0.4倍，可見隧道埋置深度是隧道周圍土體變形重要影響因素之一.

隧道半徑.在土質其它參數相同情況下，隧道半徑越大，沉降曲線越陡，但沒有隧道埋置深度影響大，地表沉降量越大，沉槽寬度越大.在隧道中心線附近，地表沉降量受隧道半徑影響較大，而遠端影響較小.隧道半徑增大1/8，中心沉降量增大近1/7，可見隧道半徑是隧道周圍土體變形的重要影響因素之一，但對沉降曲線形狀影響一般.

土體泊松比.在隧道幾何等參數相同情況下，土體泊松比越小，地表沉降量越大，沉槽寬度越大.在隧道中心線附近，地表沉積量受土體泊松比影響較大，而遠端影響較小.土體泊松比減小1/5，中心沉積量增大近1/5，可見土體泊松比也是隧道周圍土體變形的重要影響因素之一，但對沉降曲線形狀影響較小.

上述參數對土體位移的影響，也一定程度的解釋了上節(jié)中計算結果與實測結果存在偏差的現(xiàn)象.實際工程中，地層中土層分布復雜，與半無限空間彈性體的理想假設不同.不同層土質模量不同，而根據巴克洛夫斯基當層理論，上層模量大的土層被下層模量小的土層替換，則土層厚度增加，則影響隧道埋置深度，影響理論值大小.

5 結論

（1）結合襯砌和土體之間位置及變形協(xié)調關系，推導出復變函數解析解新的邊界條件，提出圓形盾構隧道土體變形的復變函數解法.本文襯砌和土體徑向位移差等于二者間位置差，由此推導邊界變形函數，改變了之前相似算法采用經驗邊界變形函數，更具有普遍性.考慮到無窮遠端變形為零的情況，使計算結果更符合實際.

（2）本文計算方法涉及的參數較少，且容易測定，并且具有較強的通用性，計算結果比較貼近工程實際，將對盾構隧道的設計方案具有比較大的指導意義.

（3）隨著隧道埋置深度的減小，隧道中心附近土體變形增大顯著，而遠端略有減小，沉槽寬度明顯變窄；隨著隧道半徑的增大，隧道中心附近土體變形增大顯著，沉槽寬度變寬；隨著土體泊松比變小，隧道中心附近土體沉降增大，沉槽寬度變寬.即隧道埋置深度、隧道半徑、土體泊松比均是隧道土體變形重要影響因素，而土體模量在本計算方法中對結果影響較小.