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    線性代數(shù)在理工科專業(yè)課中的應(yīng)用

    2014-04-29 13:10:53李艷曉邵玉麗
    數(shù)學學習與研究 2014年1期
    關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)力學線性代數(shù)自動控制

    李艷曉 邵玉麗

    【摘要】線性代數(shù)是理工科專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一,但學生對線性代數(shù)在專業(yè)課中的應(yīng)用卻知之甚少.以機械設(shè)計、結(jié)構(gòu)力學、自動控制等課程為例,分析線性代數(shù)知識在專業(yè)課學習中的具體應(yīng)用,提高學生學習線性代數(shù)的興趣以及應(yīng)用知識的能力.

    【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);機械設(shè)計;結(jié)構(gòu)力學;自動控制

    線性代數(shù)作為理工科院校普遍開設(shè)的公共基礎(chǔ)課程之一,這門課程不僅是繼續(xù)學習其他數(shù)學課程的基礎(chǔ),更是學生學習相關(guān)專業(yè)課程的重要語言和工具.特別是由于計算機技術(shù)對工程問題線性化建模與離散數(shù)據(jù)處理方面的廣泛應(yīng)用,使得本課程的作用顯得更為重要,通過對它的學習,可以培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)值計算能力和空間想象能力等.

    目前,理工科院校使用的線性代數(shù)教材中,普遍以理論知識為主,從理論到理論,很少能有與實際生活或?qū)I(yè)知識相聯(lián)系的例子.對初接觸線性代數(shù)的學生而言,很難從單調(diào)晦澀的專業(yè)術(shù)語中看到線性代數(shù)的實際應(yīng)用價值,更體會不到數(shù)學中的美.而事實上線性代數(shù)這門課程的發(fā)展,概念和定理的產(chǎn)生,并非是抽象、枯燥的,而是伴隨著一系列問題的產(chǎn)生和解決才形成的.本文主要以機械設(shè)計、結(jié)構(gòu)力學、自動控制等課程為例,分析線性代數(shù)知識在專業(yè)學習中的應(yīng)用,說明線性代數(shù)知識的現(xiàn)實意義.

    一、線性代數(shù)在機械設(shè)計中的應(yīng)用

    在現(xiàn)代生產(chǎn)和日常生活中,機器已成為代替和減輕人類勞動、提高勞動生產(chǎn)率的主要手段.機器的主體部分是有許多運動構(gòu)件組成的.一般被用來傳遞運動和力,有一個構(gòu)件為機架,用構(gòu)件間能夠相對運動的連接方式組成的構(gòu)件系統(tǒng)稱為機構(gòu),而凸輪機構(gòu)是機器中最常用的機構(gòu)之一.凸輪機構(gòu)設(shè)計的主要任務(wù)是凸輪輪廓曲線的設(shè)計.輪廓曲線的設(shè)計方法有幾何法和解析法.用解析法求凸輪輪廓曲線上直角坐標的過程中要用到如下變換:

    xB

    yB=R-φxB1

    yB1

    其中[R-φ]=cosφsinφ

    -sinφcosφ為平面旋轉(zhuǎn)矩陣,這步變換將點B1(xB1,yB1)反轉(zhuǎn)一個角度(-φ)得到點B(xB,yB),這說明矩陣乘法有特殊的意義,可以根據(jù)實際探求特殊矩陣.

    二、線性代數(shù)在結(jié)構(gòu)力學中的應(yīng)用

    《結(jié)構(gòu)力學》是普通高等院校土木工程專業(yè)土建、路橋、水利類的一門專業(yè)基礎(chǔ)課,結(jié)構(gòu)力學課程在整個課程體系中處于承上啟下的核心地位.結(jié)構(gòu)矩陣分析方法以傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)里學最為基礎(chǔ)理論、以矩陣作為數(shù)學表述形式、以電子計算機作為計算手段,三位一體的方法.結(jié)構(gòu)矩陣分析方法著眼于“電算”,而矩陣數(shù)學表達力強,運算簡潔方便并且適于計算機組織運算,是用計算機進行結(jié)構(gòu)數(shù)值分析的最強有力的數(shù)學工具.下面介紹線性代數(shù)知識在用矩陣位移法計算平面鋼架中的應(yīng)用.

    在結(jié)構(gòu)力學的計算中,通過采用對結(jié)點位移作為基本未知量,進而通過矩陣的形式堆各基本參數(shù)進行組織、編排,求出未知量的方法,稱為矩陣位移法.用矩陣位移法計算平面鋼架的步驟中:形成局部坐標系中的單元剛度矩陣k-e、形成整體坐標系中的單元剛度矩陣ke、用單元集成形成整體剛度矩陣K、用單元集成法形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載P等用到矩陣及矩陣的運算知識;根據(jù)方程組KΔ=P,求出結(jié)點位移Δ的過程中用到了矩陣的運算和非齊次線性方程組的求解.

    三、線性代數(shù)在自動控制中的應(yīng)用

    《自動控制原理》課程是電氣工程及其自動化專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課.在現(xiàn)代控制理論的發(fā)展中,線性系統(tǒng)理論已成為較為完整成熟的理論.線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法的主要數(shù)學基礎(chǔ)是線性代數(shù),用到矩陣、矩陣運算、矩陣秩、向量、二次型、方陣特征值和特征向量等.在狀態(tài)空間法中,廣泛應(yīng)用向量來表示系統(tǒng)的各種變量組,其中包括狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量.變量的個數(shù)規(guī)定為相應(yīng)向量的維數(shù).用x表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量,用u和y分別表示系統(tǒng)的輸入向量和輸出向量,則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為如下的一般形式:

    x·(t)=f[x(t),u(t),t],

    式中,f[x,u,t]為自變量x、u的線性函數(shù),t為時間變量.對于線性連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的一般形式為:

    x·(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

    通常A(t)、B(t)、C(t)、D(t)分別為系統(tǒng)、輸入、輸出、輸入輸出矩陣.若A(t)、B(t)、C(t)、D(t)中的各元素為常數(shù),該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng),否則為線性時變系統(tǒng).線性定常連續(xù)系統(tǒng)的完全可控性(完全可測性)判定用的是矩陣秩或PBH特征向量判據(jù);李雅普諾夫提出的線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判定的直接法(第二法)用到的李雅普諾夫函數(shù)是二次型函數(shù).

    四、結(jié)束語

    線性代數(shù)為理工科院校的基礎(chǔ)課程之一,它在理工科專業(yè)中的重要性毋庸置疑,但學生對于線性代數(shù)的學習還是停留在純粹數(shù)學的認知上,因此,在線性代數(shù)的教學中,盡量和專業(yè)課結(jié)合,以解決專業(yè)知識的角度引入線性代數(shù)知識,使線性代數(shù)更通俗易懂,提高學生學習的積極性和興趣.

    【參考文獻】

    [1]楊家軍,張衛(wèi)國.機械設(shè)計基礎(chǔ)[M].武漢:華中科技大學出版社,2002.

    [2]龍馭球,包世華.結(jié)構(gòu)力學Ⅰ-基本教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

    [3]胡壽松.自動控制原理(第四版) [M].北京:科學出版社,2001.

    [4]同濟大學數(shù)學系.線性代數(shù)[M].高等教育出版社,2007.

    [5]胡躍進,方輝.高等代數(shù)與線性代數(shù)的教學研究[J].黃山學院學報,2007,(5):163-165.

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