圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題的求解方法

鄒素文

[摘? ?要]通過研究圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題的求解方法，不僅能簡化此類題型的運(yùn)算，而且能提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]圓錐曲線;直線;定點(diǎn)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20-0021-02

圓錐曲線中直線過定點(diǎn)的問題在各地模擬考試以及高考中經(jīng)常出現(xiàn). 這一類問題，一般由過定點(diǎn)的幾條動直線與圓錐曲線相交，產(chǎn)生一條動直線，最后研究該動直線是否過定點(diǎn).通常做法是把直線方程與圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，得到關(guān)于[x]（或[y]）的一元二次方程，直接求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)），或運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.這是解決圓錐曲線問題的通法，但計算繁雜，學(xué)生在有限的時間內(nèi)很難得到正確結(jié)果.我們采用逆向思維，將圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程代入直線方程，即將兩條直線的一般式方程[l1]：[A1x+B1y+C1=0]和[l2]：[A2x+B2y+C2=0]相乘得到[（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0]，將圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程變形后代入上述直線系方程，消去[x2]（或[y2]項），采用因式分解的技巧得到所要求的直線方程，從而達(dá)到減少運(yùn)算量的目的.

[例1]已知橢圓[x29+y2=1]的左頂點(diǎn)[A]，不過點(diǎn)[A]的直線[l：y=kx+m]與橢圓交于不同的兩點(diǎn)[P]、[Q]，當(dāng)[AP?AQ=0]，求證：直線[l]過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).

分析：這是一道典型的定點(diǎn)問題，常規(guī)處理思路：方程化、坐標(biāo)化和函數(shù)化，得到[k]與[m]的等量關(guān)系，從而得出直線過定點(diǎn)的結(jié)論.

解法1：設(shè)[P（x1， y1）]，[Q（x2， y2）]，則直線[l]的方程與橢圓方程聯(lián)立得[（9k2+1）x2+18kmx+9m2-9=0]，

[Δ=（18km）2-4（1+9k2）（9m2-9）>0?m2<9k2+1].

[x1+x2=-18km1+9k2，x1x2=9m2-91+9k2.] ? ? ?①

由[AP?AQ=0]得

[x1x2+3（x1+x2）+y1y2=0]，即

[x1x2+3（x1+x2）+9+（kx1+m）（kx2+m）=0].整理得[（k2+1）x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9=0].將①代入上式得[（m-3k）（5m-12k）=0].

（1）當(dāng)[m=3k]時，直線[l：y=kx-3k]，過右頂點(diǎn)[（3， 0）]，不合題意.

（2）當(dāng)[m=125k]時，直線[l：y=kx+125k].

因此直線[l]過定點(diǎn)[-125， 0].

點(diǎn)評：這一思路的獲得極為自然，但其運(yùn)算量特別大，非常容易出錯.為了減少復(fù)雜的運(yùn)算，能否不把直線與橢圓聯(lián)立，采用坐標(biāo)化，函數(shù)化求解呢？由于直線[AP]和[AQ]的方程相乘后得到過點(diǎn)[A]、[P]、[Q]的直線系，把橢圓方程代入直線系后進(jìn)行因式分解得到另外的兩條直線的方程即直線[PQ]和[x=-3]，從而減少運(yùn)算量.

解法2：依題意，[AP]直線方程為[y=k1（x+3）]，即[k1（x+3）-y=0] ①，[AQ]直線方程為[y=k2（x+3）]，

即[k2（x+3）-y=0] ②.

將①與②左右兩邊分別相乘有[k1k2（x+3）2-（k1+k2）（x+3）y+y2=0] ③.

由于[y2=1-x29]及[k1k2=-1]，代入③，

化簡即有[k1-1k1y+109x+83=0] ④，

④式即為直線[l]的方程，從而直線[l]過定點(diǎn)[-125， 0].

點(diǎn)評：顯然，解法2的運(yùn)算量比解法1的明顯減少.解題的思想是由一個過曲線頂點(diǎn)的兩條直線構(gòu)成曲線系，通過把曲線方程代入直線方程后所得的式子進(jìn)行因式分解得到另外兩條直線（本題有一條直線退化成曲線的切線）.若這種逆向代換的解題方法在另外一些題中若能應(yīng)用自如，也能幫助我們開闊視野.

[例2]已知[A]，[B]分別為橢圓[E]：[x2a2+y2=1（a>1）]的左、右頂點(diǎn)，[G]為[E]上頂點(diǎn)，[AG?GB=8].[P]為直線[x=6]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D].

（1）求[E]的方程;

（2）證明：直線[CD]過定點(diǎn).

分析：本題屬于難題，主要考查轉(zhuǎn)化、化歸思想和學(xué)生的運(yùn)算求解能力.若設(shè)點(diǎn)[P]，用點(diǎn)斜式寫出直線[AP]的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過根與系數(shù)關(guān)系求得點(diǎn)[C]的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)[D]的坐標(biāo)，于是可表示出直線[CD]的方程，解題思路自然，但計算繁雜.若觀察到線段[AB]是橢圓的中心弦，利用中心弦公式[kPA?kPB=-19]破題，也會給解題帶來方便.當(dāng)然也可以用三點(diǎn)共線破題.但是三點(diǎn)共線兩個條件所得式子相除后得到一個非對稱的式子，也是學(xué)生處理的難點(diǎn).上述處理策略遠(yuǎn)沒有采用逆向代換的方法處理簡單.

解：（1）E的方程式為[x29+y2=1];

（2）設(shè)直線[AP]的方程為

[y=k1（x+3）]，即[k1（x+3）-y=0] ①，

設(shè)直線[PB]的方程為[y=k2（x-3）]，即

[k2（x-3）-y=0] ②，

將①與②左右兩邊分別相乘得

[k1k2x2-9-k1+k2x+3k1-k2y+y2=0]，

把[x2=9-9y2]代入上式，化簡得[y=0，] 或

[（1-k1k2）y-（k1+k2）x-3（k1-k2）=0] ③，

③式即為直線[CD]的方程.

又①與②式均過點(diǎn)[P]，則有[yP=9k1=3k2]，即

[k2=3k1]，代入③，得

[1-3k21y-4k1x-32=0].

所以直線[CD]過定點(diǎn)[32，0].

點(diǎn)評：此題通過妙用逆向代換，運(yùn)算相當(dāng)簡潔，達(dá)到了化繁為簡的目的，大大減少了運(yùn)算量，令人驚嘆！

[例 3]如圖2所示，已知圓[G]：[（x-2）2+y2=49]是橢圓[T]：[x216+y2b2=1（0

圖2

（1）求橢圓[T]的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過點(diǎn)[M（0， 1）]分別作圓[G]的兩條切線交橢圓于[E，F(xiàn)]兩點(diǎn)，試判斷直線[EF]與圓[G]的位置關(guān)系，并說明理由.

分析：題中有多條直線與橢圓相交，我們抓住直線[ME]、[MF]與橢圓相交，通過逆向代換就會得到直線[EF]方程，從而采用圓心到直線的距離判斷直線與圓[G]的位置關(guān)系.

解： （1）可求得橢圓[T]的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x216+y2=1]，過程略.

（2）設(shè)直線[ME]的方程為[y=k1x+1]，即[k1x+1-y=0] ①，

設(shè)直線[MF]的方程為[y=k2x+1]，即[k2x+1-y=0] ②，

將 ①與 ②左右兩邊相乘 有[k1k2x2+（k1+k2）x（1-y）+（1-y）2=0]，將[x2=16（1-y2）]代入上式，化簡即有[16k1k2（1+y）+（k1+k2）x+1-y=0]③，③式即為直線[EF]的方程.由題意知直線[ME]均與圓[G]相切，則[2k1+11+k21=23]，即[32k21+36k1+5=0].

同理有[32k22+36k2+5=0]，則[k1， k2]是方程[32k2+36k+5=0]的兩根，則[k1+k2=-98， k1k2=532]④，把④式代入③式得直線[EF]的直線方程[12y-9x+28=0]，則圓心[（2， 0）]到直線[EF]的距離為[d=-9×2+28122+92=23.]故直線[EF]與圓[G]相切.

點(diǎn)評：該題看上去并不是求直線過定點(diǎn)問題，逆向代換的方法主要是通過因式分解求出另外兩條直線，故可以用來解決直線過定點(diǎn)問題.該題用此法快速求出了直線[EF]的方程，本質(zhì)上就是例1的一種變式.

從以上例題可以看出，在解決圓錐曲線直線過定點(diǎn)問題時，逆向代換的方法顯得特別有效，使煩瑣的運(yùn)算變得簡單，從而提高解題效率.

但是逆向代換的方法嚴(yán)重依賴把圓錐曲線方程變形后代入兩條直線一般式方程相乘得到的關(guān)于[x，y]的二次方程，并能進(jìn)行因式分解.而一般的二元二次方程的因式分解是困難的，因此要求直線過圓錐曲線上的特殊位置（一般是頂點(diǎn)）.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 王成杰，劉新春.解析幾何問題的創(chuàng)新解法從哪里來[J].數(shù)學(xué)通報， 2018（11）：57-61+63.

[2]? 李水艷.直線和圓的方程 [J] .數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（22）：89-96.

[3]? 楊旭.圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用[J].科技資訊，2013.（25）：236-239.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）