數(shù)學(xué)教學(xué)不要過度形式化

吳玉華

[摘 要]數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生記住重要的結(jié)論是十分必要的，數(shù)學(xué)學(xué)科本身也具有形式化的特征，數(shù)學(xué)公式和定理是高度凝練的科學(xué)語言，應(yīng)用這些公式可以對(duì)號(hào)入座迅速研判問題性質(zhì)，作出最正確的決策。但是，過度形式化的教學(xué)會(huì)掩蓋數(shù)學(xué)知識(shí)生成的深刻原理，危害深遠(yuǎn)。

[關(guān)鍵詞]面積;矩形;成因;形式化;生成;經(jīng)歷

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）08-0033-02

在一次數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考中，人教版教材第六冊(cè)考卷中出現(xiàn)這樣一道填空題：有四個(gè)邊長均為26cm的小正方形，若要將它們拼裝成一個(gè)大一點(diǎn)的正方形，這個(gè)大一點(diǎn)的新正方形的周長是（ ）cm，面積是（ ）cm[2];若要把它們拼接成一個(gè)新長方形，這個(gè)新長方形的周長是（ ）cm，面積是（ ）cm[2]。

測試結(jié)果顯示，前面三個(gè)空學(xué)生的正確率為80%以上，而最后一個(gè)空不同班級(jí)的正確率相差很大，有的班級(jí)正確率高達(dá)90%以上，有的班級(jí)正確率低于50%，有的甚至更低，只有30%。部分正確率偏低的班級(jí)的教師辯稱：要想答出最后一空，需要計(jì)算出104[×]26，學(xué)生尚未學(xué)習(xí)三位數(shù)與兩位數(shù)相乘三年級(jí)，題目明顯“超綱”了。

一、問題和現(xiàn)象成因分析

學(xué)生緣何大面積出錯(cuò)？挖空設(shè)計(jì)真的“超綱”嗎？

乍一看，把“四個(gè)邊長都是26 cm的小正方形”拼接成一個(gè)新的長方形，拼接而成的新長方形的長為104 cm，寬為26 cm，學(xué)生用104[×]26來計(jì)算面積理所當(dāng)然。但三位數(shù)與兩位數(shù)相乘系四年級(jí)知識(shí)，題目確實(shí)超綱了，部分學(xué)生因不會(huì)計(jì)算而出錯(cuò)也情有可原。但如果認(rèn)真作圖，就會(huì)發(fā)現(xiàn)事情似有轉(zhuǎn)圜的余地，學(xué)生完全可以另辟蹊徑，先求出一個(gè)正方形的面積，再乘4就能求出拼接成的長方形的面積。如此一來，根本無須用到三位數(shù)與兩位數(shù)相乘的知識(shí)，有兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘以及多位數(shù)與一位數(shù)相乘的知識(shí)就足以應(yīng)付這一空，“超綱”之說不攻自破。

再者，無論把“四個(gè)邊長都是26 cm的小正方形”拼成正方形還是長方形，形狀雖不同，面積卻不會(huì)改變。許多學(xué)生盡管能夠通過52[×]52=2704（cm[2]）成功算出大正方形的面積，卻不會(huì)借用這個(gè)現(xiàn)成的結(jié)果，推及長方形的面積，可見其思維呆板僵化。

通過以上分析可發(fā)現(xiàn)，解決最后一空的思路和策略是豐富多樣的。那為什么有些學(xué)生會(huì)死死糾纏在“104[×]26”的計(jì)算上，而不知變通呢？出現(xiàn)這種僵局，教師的教學(xué)理念和方法又該承擔(dān)什么責(zé)任呢？

二、過度形式化的危害

經(jīng)過調(diào)研，筆者認(rèn)為造成這種僵局的“元兇”就是部分教師在教學(xué)時(shí)無視知識(shí)的生成性操作而執(zhí)迷于數(shù)學(xué)知識(shí)的形式化。

所謂“數(shù)學(xué)形式”，就是用特定的數(shù)學(xué)語言，包括符號(hào)、圖像和文字等，揭示某種現(xiàn)象中蘊(yùn)含的幾何形態(tài)和數(shù)量關(guān)系。因此，“數(shù)學(xué)形式化”就是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)表達(dá)。這種表達(dá)方式需要將客觀現(xiàn)象進(jìn)行概括、編碼、加工和轉(zhuǎn)譯，其本質(zhì)只是記錄數(shù)學(xué)理論信息的一種符號(hào)化載體。數(shù)學(xué)知識(shí)一旦形式化，其內(nèi)容具有牢固性、結(jié)果具有歸納性、格式具有簡練性、運(yùn)用具有廣闊性、轉(zhuǎn)化模式具有實(shí)驗(yàn)性。

形式化是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，這一點(diǎn)很多教師都有深刻認(rèn)識(shí)，也沒有任何質(zhì)疑。但不少教師卻在教學(xué)中深陷于形式化的泥潭，過度追求和依賴這種形式化，反受其害，給學(xué)生的發(fā)展造成不良后果，其主要表現(xiàn)為以下三點(diǎn)：

1.唯教材是從

部分教師在備課時(shí)常常照本宣科，奉教材為圭臬，亦步亦趨地按照教材的組織結(jié)構(gòu)來編排知識(shí)呈現(xiàn)順序，新舊知識(shí)的連接點(diǎn)和生長點(diǎn)全部按照教材的邏輯來設(shè)定，乃至到設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)仍然延續(xù)這種程序，枉顧學(xué)生的知識(shí)存量和技能儲(chǔ)量，以及實(shí)際認(rèn)識(shí)水平。如此設(shè)計(jì)教學(xué)，忽視學(xué)生的“經(jīng)驗(yàn)作用”“自學(xué)能力”“操作能力”，極易造成經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)的脫離，學(xué)生學(xué)起來也費(fèi)時(shí)費(fèi)力。

2.重視結(jié)論輕視經(jīng)歷

一是引入新知時(shí)，對(duì)實(shí)際情境運(yùn)用失當(dāng)。有的教師生怕實(shí)際情境會(huì)轉(zhuǎn)移分散學(xué)生注意力，常常在實(shí)際情境尚未轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情境時(shí)，就急忙讓學(xué)生去分析探究，硬生生地切入形式化教學(xué)。此舉無異于殺雞取卵，學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)尚未融入數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生還沒有從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的思維流程還沒有有序展開，實(shí)際情境就結(jié)束了。誠然，實(shí)際情境不一定非用不可，如果用了而沒有用盡，則不如不用。

二是探究新知時(shí)，過分吝惜學(xué)生的理解時(shí)間。教學(xué)中有的教師妄圖以最迅猛的節(jié)奏，最短促的步調(diào)來推出形式化的數(shù)學(xué)結(jié)論，嚴(yán)防學(xué)生“節(jié)外生枝”，因而其教學(xué)方法蒼白無力。學(xué)生沒有充分思考揣摩，學(xué)習(xí)缺乏主動(dòng)性、參與性和完整性，學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解是淺薄、模糊的。如教學(xué)長方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)時(shí)，不少教師輕視直觀操作，只是將幾個(gè)長方形的面積數(shù)據(jù)羅列出來，讓學(xué)生走馬觀花地觀察瀏覽一遍數(shù)據(jù)，火速得出結(jié)論。這種急功近利式的教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生囫圇吞棗，對(duì)幾何意義不求甚解，只是盲目模仿。

三是深化認(rèn)知時(shí)，沒有引導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)和辨析知識(shí)。如在引導(dǎo)學(xué)生探究長方形面積的算法時(shí)，一些教師沒有利用“圖形面積大小就是圖形包含單位面積的個(gè)數(shù)”這一地基式原理，使得不少學(xué)生仍然質(zhì)疑“探究長方形面積的算法”的必要性，“長方形的面積=長[×]寬”的合理性也受到動(dòng)搖，學(xué)完之后，不少學(xué)生將長方形面積公式與周長公式弄混，這都是過度追求形式化惹的禍。

3.應(yīng)用時(shí)重經(jīng)驗(yàn)輕思考

數(shù)學(xué)知識(shí)形式化后，其應(yīng)用操作就是行為模式。人的行為模式有兩種，一種是深度腦力支配的行為模式，一種是淺表腦力支配的行為模式。一般情況下，學(xué)生解題時(shí)應(yīng)用的是后一種行為模式。該模式的優(yōu)勢是，學(xué)生精力容易聚集于問題核心，然后憑借經(jīng)驗(yàn)在形式化的條件反射下開始運(yùn)算，按照慣性思維完成解答。甚至有的題學(xué)生可以不假思索就答出。因此，不少教師都傾向于對(duì)學(xué)生進(jìn)行形式化結(jié)論的培訓(xùn)，提高教學(xué)效率。但這一舉措也有危害，知識(shí)的過度形式化會(huì)讓學(xué)生養(yǎng)成思考上的惰性，久而久之就會(huì)造成思維上的遲鈍、理解上的麻木，習(xí)慣于“熟能生巧”，經(jīng)驗(yàn)驅(qū)使解題，當(dāng)面對(duì)新情況新題型時(shí)，學(xué)生就會(huì)束手無策。這從前文測試題最后一空的答題情況可以看出端倪。

三、問題的解決策略

那么，教學(xué)實(shí)踐中，該如何避免知識(shí)的過度形式化呢？筆者以為，教師應(yīng)建立以下兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)。

1.形式化要以深刻理解為前提

首先，任何教學(xué)情境的創(chuàng)建，都應(yīng)與新知掛鉤，且應(yīng)該具有思考性、啟發(fā)性、誘導(dǎo)性。其次，應(yīng)讓學(xué)生盡情探究，讓學(xué)生“暢游”知識(shí)的生成過程，在直觀的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象，概括出數(shù)學(xué)結(jié)論。再次，在知識(shí)應(yīng)用時(shí)，必要時(shí)教師可瞬時(shí)重現(xiàn)知識(shí)推導(dǎo)過程，強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知。最后，要注重知識(shí)體系的建構(gòu)，輔助學(xué)生實(shí)施知識(shí)系統(tǒng)的構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知遷移與實(shí)踐應(yīng)用能力。

2.數(shù)學(xué)形式化程度要分層次

學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成理論的過程，理論仍需實(shí)踐來檢驗(yàn)和坐實(shí)。因此數(shù)學(xué)形式化要分層次，要符合學(xué)生的身心特征，應(yīng)循序漸進(jìn)。如分?jǐn)?shù)的形式化程度，中學(xué)階段與小學(xué)階段的要求就大不相同，即便同是小學(xué)階段，三年級(jí)與五年級(jí)的要求也不盡相同，即使對(duì)于同一年級(jí)，對(duì)不同學(xué)生的要求也不一樣。若搞“一刀切”，則會(huì)層次錯(cuò)亂，顯然是違背學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的。

數(shù)學(xué)知識(shí)一般以數(shù)學(xué)符號(hào)或術(shù)語來讀寫，形式化是其本質(zhì)特征也是學(xué)習(xí)的基本要求。但對(duì)于某些數(shù)學(xué)結(jié)論的形式化，教師也要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平靈活處理，不可過激。

（責(zé)編 吳美玲）