2021年高考不等式命題探析

王佩其

《不等式》是高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，也是歷年高考的必考內(nèi)容. 不等式的性質(zhì)應(yīng)用、不等式的解法、簡單的線性規(guī)劃和基本不等式的應(yīng)用，歷來是高考命題的重點. 從近三年的新課標(biāo)高考真題來看，不等式高考命題主要有以下三個特點：（1）選擇、填空題中的考查以簡單的線性規(guī)劃與不等式性質(zhì)為主，重點求目標(biāo)函數(shù)的最值，有時也與其它知識交匯考查;（2）在填空題中主要考查利用基本不等式求多元的最值和不等式的實際應(yīng)用;（3）不等式的解法多與集合、函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)交匯考查. 以史為鑒看高考命題走向，那么2021年高考不等式考什么？本文加以預(yù)測，供同學(xué)們參考.

考向一：不等式的性質(zhì)

高考對不等式性質(zhì)的考查一般以選擇題的形式出現(xiàn)，難度一般.

預(yù)測題1 （1）已知實數(shù)a，b滿足a>b，則下列不等式中恒成立的是（ ）

A. a2>b2B.■<■C. |a|>|b|D.πa>πb

（2）（多選題）下列四個命題中正確命題有（ ）

A.若a>|b|，則a2>b2

B.若a>b，c>d，則a-c>b-d

C.若a>b，c>d，則ac>bd

D.若a>b>0，c<0，則■>■

答案（1）D;? （2）AD.

解析（1）A選項不正確，當(dāng)a=1，b=-2時，不等式就不成立;

B選項不正確，因為a=1，b=-2時，不等式就不成立;

C選項不正確，因為a=1，b=-2時，不等式就不成立;

D選項正確，因為y=πx是一個增函數(shù)，故當(dāng)a>b時一定有πa>πb.

（2）①∵ a>|b|，∴ a2>b2，故正確;

②∵ a>b，c>d，∴ a+c>b+d，因此a-c>b-d不正確;

③取a=2，b=1，c=-2，d=-3，滿足a>b，c>d，但是ac=-4

④∵a>b>0，c<0，∴■>■>0，-c>0，∴■>■，∴■>■，故正確.

點評（1）數(shù)與式的大小比較主要有作差法和函數(shù)單調(diào)性法;（2）不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴(yán)格依照性質(zhì)進(jìn)行，千萬不可想當(dāng)然.

預(yù)測訓(xùn)練1 （1）已知a，b，c∈R，3a=2，4b=5，5c=4，則下列不等關(guān)系中正確的是（ ）

A. a

（2）（多選題）已知0

A. ab>acB.■>■C. logba>logcaD.■>■

考向二：解不等式

高考對解不等式的考查不會單獨命題，往往與其它知識綜合在一起，考查解不等式的綜合應(yīng)用，題型以選擇題與填空題為主，難度中等.

預(yù)測題2 （1）集合P={x|■>0}，Q={y|y=■}，則P∩Q=（ ）

A.（1，2]B. [1，2]C.（-∞，-3）∪（1，+∞）D. [1，2）

（2）函數(shù)f（x）=2sinx+3x，若f（6-a2）+f（a）>0，則滿足不等式的實數(shù)a的取值范圍是______________.

答案（1）A;（2）（-2，3）.

解析（1）解■>0得x<-3或x>1，即P=（-∞，-3）∪（1，+∞）;令4-x2≥0，解得-2≤x≤2，所以0≤■≤2，即Q=[0， 2]，所以P∩Q=（1， 2].

（2）因為函數(shù)f（x）=2sinx+3x的定義域為R，且滿足f（-x）= -f（x），所以它為奇函數(shù). 又f ′（x）=2cosx+3>0，所以這個函數(shù)又是增函數(shù)，于是由f（6-a2）+f（a）>0得6-a2+a>0.解得-2

點評（1）解一元二次不等式，可先化為一般形式ax2+bx+c>0（a>0），再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖像確定一元二次不等式的解集.而分式不等式一般可轉(zhuǎn)化為整式不等式來解;

（2）對于含指數(shù)、對數(shù)的不等式，可利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解;

（3）對于有函數(shù)與導(dǎo)數(shù)背景的不等式，則可靈活利用函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對稱性等）與圖像求解.

預(yù)測訓(xùn)練2 （1）已知集合A={x∈Z|x2-2x-3≤0}，B={y|22y-1≥■}，則A∩B中的元素之和是（）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

（2）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f ′（x），當(dāng)x≥0時，恒有■f ′（x）-f（-x）≤0，則不等式x3f（x）-（1+2x）3 f（1+2x）<0的解集為_________.

考向三：簡單的線性規(guī)劃

高考對簡單的線性規(guī)劃的考查主要涉及兩類問題：一是求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值;二是求解含有參數(shù)的線性規(guī)劃問題.以選擇題與填空題為主，難度上看為中檔題.

預(yù)測題3 （1）若實數(shù)x，y滿足約束條件2x-3y+6≥0，y≥2|x-1|，則z=3x+y的最小值為（ ）

A. 13 B. 3 C. 2 D. 1

（2）若不等式組|x|+|y|≤2，y+2≤k（x+1）表示的平面區(qū)域是三角形，則實數(shù)k的取值范圍是_______.

答案（1）C;（2）k<-2或0

解析（1）∵ y=2|x-1|=2x-2，x≥12-2x，x<1∴該不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖1所示z=3x+y可化為y=-3x+z，平移直線y=-3x，當(dāng)直線過點A（0， 2）時，z取最小值，即zmin=3×0+2=2.

（2）如圖2所示，由于|x|+|y| ≤2表示正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域，包含邊界;而y+2=k（x+1）表示一條經(jīng)過點M（-1， -2），斜率等于k的直線，故當(dāng)斜率k滿足大于零且小于或等于MC的斜率、或者斜率k滿足小于MA的斜率時，表示的平面區(qū)域是三角形，則有kMC=■，kMA=-2，故應(yīng)有0

故答案為：k<-2或0

點評（1）解決線性規(guī)劃問題首先要畫出可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時可行域的頂點（或邊界上的點），但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點問題可通過驗證解決.

（2）確定二元一次不等式組表示的平面區(qū)域：①畫線，②定側(cè)，③確定公共部分;解線性規(guī)劃問題的步驟：①作圖，②平移目標(biāo)函數(shù)線，③解有關(guān)方程組求值，確定最優(yōu)解（或最值等）.

預(yù)測訓(xùn)練3 （1）已知實數(shù)x，y滿足約束條件x+2y-2≥0，x-2y+2≥0，x≤2，則x2+y2的取值范圍是（）

A. [■，2■] ? B. [■，8] ? C. [■，8] D. [1，8]

（2）已知實數(shù)x，y滿足不等式組x-y+1≥0，x-2y+1≤0，x+y-2≤0，若目標(biāo)函數(shù)z=x+ay僅在點（■，■）處取最大值，則實數(shù)a的取值范圍為______.

考向4：基本不等式的應(yīng)用

高考對基本不等式以及應(yīng)用是C級要求，主要考查利用基本不等式求最值，方法較為靈活，難度中等偏上，以二元變量的最值問題為主，主要出現(xiàn)在選擇題與解答題中.

預(yù)測題4 （1）若log3（2a+b）=1+log■■，則a+2b的最小值為（ ）

A. 6 B.■ C. 3 D.■

（2）已知a>0，b>0，且a+12b+6≤■+■，則■的最大值為______.

答案（1）C;（2）■.

解析（1）∵ log3（2a+b）=1+log■■，

∴ log3（2a+b）=1+log3ab=log3（3ab），∴2a+b=3ab，且a>0，b>0，

∴■+■=3，∴ a+2b=■（a+2b）（■+■）=■（1+■+■+4）=■+■（■+■）≥■+■·2■=3，當(dāng)且僅當(dāng)■=■且■+■=3即a=b=1時，等號成立.

（2）∵ a>0，b>0，且a+12b+6≤■+■，∴（a+12b+6）（■+■）≤（■+■）2.

∵（a+12b+6）（■+■）=3+■+■+■+12+■=15+（■+■）+6（■+■），

∴（a+12b+6）（■+■）≥15+2■+6（■+■）=27+6（■+■），當(dāng)且僅當(dāng)a=6b時取等號. 令■+■=t（t>0），原不等式轉(zhuǎn)化為27+6t≤t2，解得t≥9.

∴■=■=■≤■.

點評（1）用基本不等式■≥■求最值時，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明確什么時候等號成立，要注意“代入消元”“拆、拼、湊”“1的代換”等技巧的應(yīng)用.

（2）利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：一是對條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解;二是條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值.

預(yù)測訓(xùn)練4 （1）設(shè)實數(shù)a、b滿足b>0，且a+b=2. 則■+■的最小值是（ ）

A.■ B.■ C.■ D.■

（2）設(shè)x>0，y>0，x+2y=4，則■的最小值為

__________.

考向5：不等式恒成立或有解問題

含參數(shù)不等式的恒成立或有解的問題，是近幾年高考的熱點. 它往往以函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何為載體具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 含參數(shù)不等式的恒成立或有解問題常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論. 這類問題一般以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中等偏上.

預(yù)測題5 （1）已知a>0，b>0，若不等式■+■≥■恒成立，則m的最大值為（ ）

A. 10 B. 12 C. 16 D. 9

（2）設(shè)函數(shù)f（x）=x2-3x+a，已知？堝t0∈（1，3]，使得當(dāng)x∈[1， t0] 時，f（x）≤0有解，則實數(shù)a的取值范圍是______.

答案（1）D;（2）（-∞，■] .

解析（1）由已知a>0，b>0，若不等式■+■≥■恒成立，所以m≤（■+■）（a+b）恒成立，轉(zhuǎn)化成求y=（■+■）（a+b）的最小值，y=（■+■）（a+b）=5+■+■≥5+2■=9，所以m≤9.

（2）依題意，只需？堝x0∈[1，3]，f（x0）≤0，即f（x）min=f（■）=a-■≤0，就一定？堝t0∈（1，3），使得當(dāng)x∈[1，t0]時，f（x）≤0有解，故a≤■.

點評不等式在某個區(qū)間上恒成立（存在性成立）問題的轉(zhuǎn)化途徑

（1）f（x）≥a恒成立？圳f（x）min≥a;存在x使f（x）≥a成立？圳f（x）max≥a.

（2） f（x）≤b恒成立？圳f（x）max≤b，存在x使f（x）≤b成立？圳f（x）min≤b.

（3）f（x）>g（x）恒成立，令F（x）=f（x）-g（x），F(xiàn)（x）min>0.

預(yù)測訓(xùn)練5 （1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a， b， c為常數(shù)）. 若不等式f（x）≥2ax+b的解集為R，則■的最大值為（ ）

A. 2■-2B. 2■+2

C. 2■-2D. 2■+2

（2）在R上定義運算？茚∶ x？茚y=x（1-y），0

考向6：不等式的實際應(yīng)用

學(xué)以致用與立德樹人，是新課標(biāo)的兩個理念，高考命題往往借助實際問題來體現(xiàn)這兩個理念，因此，不等式的實際應(yīng)用性問題也是一個值得重視的命題方向標(biāo)，題型以選擇題或填空題為主，有時也會出現(xiàn)在解答題中，難度中等.

預(yù)測題6 國慶期間，為了滿足廣大人民的消費需求，某共享單車公司欲投放一批共享單車，單車總數(shù)不超過100輛，現(xiàn)有A，B兩種型號的單車：其中A型車為運動型，成本為400元輛，騎行半小時需花費0.5元;B型車為輕便型，成本為2400元輛，騎行半小時需花費1元. 若公司投入成本資金不能超過8萬元，且投入的車輛平均每車每天會被騎行2次，每次不超過半小時（不足半小時按半小時計算），則當(dāng)公司投放A型單車___輛、B型單車___輛時，每天獲得的總收入最多.

答案 80，20.

解析根據(jù)題意，設(shè)投放A型號單車x輛，B型號單車y輛，單車公司每天可獲得的總收入為Z，

則有x+y≤100，400x+2400y≤80000，x≥0，x∈Zy≥0，y∈Z即x+y≤100，x+6y≤200，x≥0，x∈Zy≥0，y∈Z……①

且Z=2×0.5x+2×y=x+2y，

畫出不等式組①表示的平面區(qū)域，由x+y=100，x+6y=200，解得M（80， 20）.

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)Z=x+2y，經(jīng)過點M（80， 20）時，Z取得最大值為80+2×20=120.

所以公司投放兩種A，B型號的單車分別為80輛20輛才能使每天獲得的總收入最多，最多為120元.

點評用線性規(guī)劃的方法來解決實際問題：先根據(jù)問題的需要選取起關(guān)鍵作用的關(guān)聯(lián)較多的量用字母表示，進(jìn)而把問題中所有的量都用這兩個字母表示出來，建立數(shù)學(xué)模型，再畫出表示的區(qū)域.

預(yù)測訓(xùn)練6 張輝同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，辦了一家金屬加工廠. 已知工廠每天的固定成本是4萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，工廠每件產(chǎn)品的出廠價定為a元時，生產(chǎn)x件產(chǎn)品的銷售收入為R（x）=-■x2+500x（元），P（x）為每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均利潤（平均利潤=總利潤/總產(chǎn)量）. 那么每天生產(chǎn)量為____件時，平均利潤P（x）取得最大值，最大值為______元.

本文最后提醒同學(xué)們，不等式作為新課標(biāo)高考的C級要求考點，不僅考查不等式知識的本身，命題者更青睞于對不等式的“工具性”的考查，尤其是綜合性問題中的最值問題，需引起大家的格外關(guān)注.

預(yù)測訓(xùn)練答案與解析

1. （1）D.【解析】∵3a=2，4b=5，5c=4，∴a=log3 2=log9 41. ∴ a

（2）CD【解析】∵ 0ab，故A不正確;∵■>■？圳a（c-b）> 0，故B不正確;∵ 0loga b>0，即logb a>logc a，故C正確;■>■？圳a（b-c）>0，故D正確.

2. （1）D. 解不等式x2-2x-3≤0，x∈Z，可得A={-1，0，1， 2，3}. 解不等式22y-1≥■，可得B=[0，+∞）. ∴ A∩B={0，1，2，3}，故元素之和為6.

（2）{x|-1|1+2x|，即x2>（1+2x）2，解得-1

3. （1）B.【解析】由約束條件作出可行域是由A（2， 0），B（0， 1），C（2， 2）三點所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖4中陰影部分，而x2+y2可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，顯然原點到AB所在的直線x+2y-2=0的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最小值，此時x2+y2=OD2=（■）2=■，點C到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值，此時x2+y2=22+22=8. 所以x2+y2的取值范圍是[■，8].

（2）（1，+∞）.【解析】作出可行域如圖5所示，

目標(biāo)函數(shù)z=x+ay，令y=0，則z=x，即目標(biāo)函數(shù)僅在過A點時，在x軸上的截距最大，如圖旋轉(zhuǎn)l并觀察，則l的斜率k∈（-1，0），即-1<-■<0，得a>1.

4.（1）C .【解析】由題意可知，a≠0.

當(dāng)a>0時，■+■=■+■=■+■+■≥■+ 2■=■，

當(dāng)且僅當(dāng)■=■且a+b=2，即a=■，b=■時取等號，

當(dāng)a<0時，■+■=-■-■=-■+（-■）+（-■）≥-■+2■=■，

當(dāng)且僅當(dāng)■=■且a+b=2時取等號. 綜上可得，■+■的最小值為■.

（2）9. 【解析】■=■=■=1+■.

又x+2y=4≥2■，即xy≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2，y=1等號成立，故原式≥9. 故填9

5. （1）A. 【解析】由題設(shè)可得ax2+（b-2a）x+c-b≥0對一切實數(shù)恒成立，取x=1可得c-a≥0且判別式（b-2a）2-4a（c-b）≤0，a>0，c-a≥0對一切實數(shù)恒成立，即b2+4a2≤4ac，a>0，c-a≥0對一切實數(shù)恒成立，所以■≤■，令c-a=t≥0，則c=a+t代入■≤■=■=■≤■=2■-2（當(dāng)且僅當(dāng)c=2a取等號），故■的最大值是2■-2.

（2）（-∞，■）. 【解析】由題意可得（ax-2）？茚（1-x）=（ax-2）[1-（1-x）]=ax2-2x<-3a在（0，2]上有解，所以a（x2+3）<2x即a<■在（0， 2]上有解. 又■=■≤■=■，當(dāng)且僅當(dāng)x=■時，等號成立，所以■在（0，2]的最大值為■，所以實數(shù)a的取值范圍是 {a|a<■}.

6. 400，200. 【解析】由題意得，總利潤為-■x2+500x-100x-40000=-■x2+400x-40000.

于是P（x）=■ = -■x-■+400 ≤-2■+400=-200+400=200，當(dāng)且僅當(dāng)■x=■即x=400時等號成立.

故每天生產(chǎn)量為400件時平均利潤最大，最大值為200元.

責(zé)任編輯 徐國堅