巧用弦切角速解帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

蔣金厚

一、一個(gè)實(shí)用的推論

如圖1所示. 假設(shè)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，相同的帶點(diǎn)粒子沿同一方向由a點(diǎn)垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng). 若ab直線為磁場(chǎng)的邊界，粒子由p點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，ap為弦，速度矢量為切線，弦切角為α，粒子的出射方向與入射方向的夾角θ為偏轉(zhuǎn)角. 由幾何知識(shí)可知偏轉(zhuǎn)角θ=2α，圓心角等于偏轉(zhuǎn)角θ. 以速度矢量為切線，a為公切點(diǎn)畫(huà)半徑逐漸增大或減小的縮放圓，各圓圓心在與入射速度垂直的ac 線上. 在ab直線邊界上，不管各圓半徑如何，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的速度方向一致，粒子的偏轉(zhuǎn)角相等，圓心角相等. 由帶電粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式T=■，可知相同的帶電粒子在同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期相等，與速度和半徑無(wú)關(guān)，各粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=■·T=■·T也相等. 若ad直線為磁場(chǎng)的邊界線，各粒子運(yùn)動(dòng)到ad直線的時(shí)間也相同. 弦切角越大，粒子的偏轉(zhuǎn)角越大，圓心角越大，相比于運(yùn)行到ab線，運(yùn)行時(shí)間也越長(zhǎng).

推論：相同帶電粒子由同一點(diǎn)沿相同方向垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從磁場(chǎng)邊界上的某點(diǎn)射出磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行時(shí)間t=■·T，θ為圓心角，α為弦切角，α越大則運(yùn)行時(shí)間越長(zhǎng)，其中，0<α<π.

推論滿足條件：首先，磁場(chǎng)為勻強(qiáng)磁場(chǎng);其次，帶電粒子入射速度方向相同，大小不同;再次，帶電粒子垂直磁場(chǎng)射入磁場(chǎng).

二、推論在有界磁場(chǎng)中的應(yīng)用

1. 磁場(chǎng)邊界為直線邊界.

【例1】如圖2所示，直角三角形平面內(nèi)有垂直三角形平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小為B，∠A=60°，現(xiàn)有大量的相同的帶負(fù)電粒子由A點(diǎn)沿AB方向射入磁場(chǎng)中，不考慮粒子之間的相互作用，不考慮重力. 則（）

A. AC邊上都有粒子射出磁場(chǎng)

B. BC邊上都有粒子射出磁場(chǎng)

C. 從AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間皆為■

D. 從BC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間皆為■

解析：如圖3，過(guò)A作縮放圓，速度矢量為各縮放圓的共同切線，A為共同切線的切點(diǎn)，總可以找到一個(gè)與CB邊相切的圓，從斜邊AC的C點(diǎn)下方射出磁場(chǎng)，到達(dá)不了C點(diǎn)，A錯(cuò)誤;CB邊的D點(diǎn)上方無(wú)粒子射出，B錯(cuò)誤. 從AC邊射出的粒子，弦切角為α=■，所以，這些粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行時(shí)間皆為t=■·T=■，C正確;從A運(yùn)行到D點(diǎn)的粒子，弦切角α=■，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間為t=■·T=■;從BD段射出的粒子，弦切角小于■，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間小于■，D錯(cuò)誤;故選C.

2. 磁場(chǎng)邊界為圓邊界.

【例2】如圖4所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內(nèi)，O為圓心，AB為大圓的水平直徑. 小圓內(nèi)Ⅰ區(qū)有垂直圓面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩圓之間的環(huán)形區(qū)域Ⅱ區(qū)存在垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B. 現(xiàn)有大量的質(zhì)量為m，電量為+q的粒子從A處沿圓周切線垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng).不考慮粒子之間的相互作用，不計(jì)粒子的重力. 求：

（1）若粒子運(yùn)動(dòng)軌跡不離開(kāi)磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)，求粒子入射速度的大小范圍;

（2）粒子第一次到達(dá)磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)邊界的最短時(shí)間;

（3）能通過(guò)Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)的粒子的最小周期.

解析：（1）如圖5所示，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡不離開(kāi)磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)，軌跡圓O1與磁場(chǎng)圓Ⅰ區(qū)邊界外切時(shí)，圓O1半徑為■，由■=■，得v=■，粒子入射速度0

（2）粒子由A進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)，欲使其在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)邊界，即粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角最小，即弦切角最小. 如圖6所示，從A點(diǎn)畫(huà)一條與Ⅰ區(qū)圓相切的直線段AP，AP為粒子軌跡圓周上的弦，弦切角最小，連接OP、OA，三角形APO中的∠OAP=■，弦切角α=■，所以運(yùn)動(dòng)最小時(shí)間t=■·T=■ .

（3）如圖6所示，從P點(diǎn)進(jìn)入Ⅰ區(qū)的粒子，軌跡具有對(duì)稱性才能回到A點(diǎn)完成一個(gè)周期.要使粒子在Ⅱ區(qū)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，只有在Ⅰ區(qū)中軌跡對(duì)稱圖形最少，在Ⅰ區(qū)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間才會(huì)最短. 由幾何知識(shí)可知，粒子在Ⅰ區(qū)中運(yùn)動(dòng)的圓心角？茲1=■，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=2·■·T=■，粒子在Ⅱ區(qū)中運(yùn)動(dòng)的圓心角？茲2=■，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2=2·■·T=■. 所以粒子通過(guò)Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)后回到A點(diǎn)的最短周期T′=2T=■.

3. 磁場(chǎng)邊界為混合邊界.

【例3】一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖7中虛線所示，■為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑. 一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率. 不計(jì)粒子之間的相互作用. 在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（??? ）

A. ■???? B. ■???? C. ■???? D. ■

解析：如圖8所示，粒子垂直ac進(jìn)入磁場(chǎng)，圓心在ac直線上. 過(guò)c作磁場(chǎng)半圓的切線cp，cp為弦，弦切角最大，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng). 連接op、oc，由幾何關(guān)系可知∠ocp=■，則弦切角α=■+■=■. 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間：t=■·T=■，C正確，ABD錯(cuò)誤;故選C.

責(zé)任編輯 李平安