化歸與轉(zhuǎn)化思想在高考數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

羅文軍

化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖像、公式或已知條件將問(wèn)題通過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的思想等價(jià)轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過(guò)變換迅速而合理的尋找和選擇問(wèn)題解決的途徑和方法.

1.化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法：解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，通過(guò)觀察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題（相對(duì)來(lái)說(shuō)，對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題），通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的.

2.化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：

（1）熟悉化原則;（2）簡(jiǎn)單化原則;（3）和諧化原則;（4）直觀化原則;（5）正難則反原則

3.化歸與轉(zhuǎn)化的途徑：

（1）從問(wèn)題的反面思考;（2）局部向整體的轉(zhuǎn)化;（3）未知向已知轉(zhuǎn)化;（4）固定向重組的轉(zhuǎn)化;（5）抽象向具體轉(zhuǎn)化;（6）個(gè)別向一般的轉(zhuǎn)化;（7）數(shù)向形的轉(zhuǎn)化;（8）定量向定性的轉(zhuǎn)化;（9）主元向輔元的轉(zhuǎn)化.

以下結(jié)合一些經(jīng)典試題，談?wù)劵瘹w與轉(zhuǎn)化思想在高三解題中的運(yùn)用.

題型一：化歸與轉(zhuǎn)化思想簡(jiǎn)單化原則的體現(xiàn)

化歸與轉(zhuǎn)化思想簡(jiǎn)單化原則在解題中的體現(xiàn)主要有：（1）將比較代數(shù)式的大小的問(wèn)題，運(yùn)用同構(gòu)法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，化歸為利用函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)自變量的大小比較函數(shù)值的大小或者根據(jù)函數(shù)值的大小比較自變量的大小;（2）將概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題化歸為集合間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算問(wèn)題.

例1. 若2a+log2a=4b+2log4b，則（ ）

A. a>2bB. a<2bC. a>b2???? D. a

【解析】由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，

又因?yàn)?2b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b，

所以2a+log2a<22b+log22b.

令f（x）=2x+log2x，由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得f（x）在（0， +∞）上單調(diào)遞增，由f（a）

【評(píng)析】本題考查了指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)后，把問(wèn)題化歸與轉(zhuǎn)化為根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)值的大小比較自變量的大小，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的簡(jiǎn)單化原則.

例2. 設(shè)命題p ∶ 4x-3≤1，命題 q∶ x2-（2a+1）x+a（a+1）≤ 0. 若？劭 p是？劭 q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是__________.

【解析】由4x-3≤1，得■≤x≤1，記A={x│■≤x≤1};

由 x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，可得 a≤x≤a+1，記 B={x│a≤x≤a+1}.

因?yàn)?？?p是？劭 q的必要不充分條件，所以q是p的必要不充分條件，所以p是q的充分不必要條件，所以A？芴B，所以a≤■，a+1≥1，解得0≤a≤■，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，■].

【評(píng)注】本題的解答中，先把兩個(gè)命題中的不等式的解集分別用集合A和集合B表示，再由？劭 p是？劭 q是的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為p是q的充分不必要條件，再轉(zhuǎn)化為集合A為集合B的真子集，解得a的范圍.

題型二：化歸與轉(zhuǎn)化思想直觀化原則的體現(xiàn)

化歸與轉(zhuǎn)化思想直觀化原則在解題中的體現(xiàn)主要有：（1）畫(huà)出函數(shù)圖像后，利用函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而直觀的解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題;（2）立體幾何問(wèn)題中，將立體問(wèn)題平面化，畫(huà)出軸截面或者中截面，利用平面幾何問(wèn)題破解題目.

例3. 設(shè)a， b∈R，則|“a>b”是“aa>bb”的（ ）

A. 充要不必要條件??????? B. 必要不充分條件

C. 充要條件???????????????? D. 既不充要也不必要條件

【解析】構(gòu)造函數(shù)f（x）=xx=x2，x≥0-x2，x<0 函數(shù)圖像如圖1，

由圖像可知f（x）=xx在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)a>b時(shí)，f（a）>f（b），即aa>bb，a>b？圯aa>bb.

當(dāng)f（a）>f（b），即aa>bb時(shí)， a>b，aa>bb？圯a>b，

所以a>b？圳aa>bb，“a>b”是“aa>bb”的充要條件，故選C.

【評(píng)注】本題是一道比較復(fù)雜的充分必要條件問(wèn)題，通過(guò)觀察題目，通過(guò)類(lèi)比和聯(lián)想，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)f（x）=xx后，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像，運(yùn)用圖像法判斷這個(gè)函數(shù)在其定義域R上為單調(diào)遞增函數(shù)，把a(bǔ)和b看成這個(gè)函數(shù)的兩個(gè)自變量，aa和bb分別看成這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值f（a）和f（b），由增函數(shù)的性質(zhì)可以得出，a>b？圳aa>bb，所以a>b是aa>bb的充分必要條件，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的簡(jiǎn)單化和直觀化原則.

例4. 已知某個(gè)機(jī)械零件是由兩個(gè)有公共底面的圓錐組成的，且這兩個(gè)圓錐有公共點(diǎn)的母線(xiàn)互相垂直，把這個(gè)機(jī)械零件打磨成球形，該球的半徑最大為1，設(shè)這兩個(gè)圓錐的高分別為h1，h2，則h1+h2的最小值為_(kāi)_______.

【答案】2■.

【解析】由題意可知，打磨后所得半徑最大的球是由這兩個(gè)圓錐構(gòu)成的組合體的內(nèi)切球，內(nèi)切球的半徑R=1，如圖為這個(gè)組合體的軸截面示意圖，圓O為內(nèi)切球的軸截面， E， F， G， H分別為切點(diǎn)，連接OA， OB， OC， OD， OE， OF， OG， OH，由題意可知AB⊥BC， AD⊥DC，AC=h1+h2，R=OE=OF=OG=OH=1，則S四邊形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC=■R×AB+■R×BC+■R×CD+■R×AD =■R（2AB+2BC）=R（AB+BC），所以AB×BC=AB+BC.

由基本不等式可得AB×BC=AB+BC≥2■，則AB×BC≥4，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC時(shí)等號(hào)成立.

所以（h1+h2）2=AC2=AB2+BC2≥2AB×BC≥8，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC時(shí)等號(hào)成立，故h1+h2 的最小值為2■.

【評(píng)注】本題的解答運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，通過(guò)研究組合體和其內(nèi)切球的軸截面，把空間立體幾何問(wèn)題化歸為平面幾何問(wèn)題，做到了把問(wèn)題直觀化的原則.

題型三：化歸與轉(zhuǎn)化思想熟悉化原則的體現(xiàn)

化歸與轉(zhuǎn)化思想熟悉化原則在解題中的體現(xiàn)主要有：（1）不等式題目中，把含一個(gè)參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，通過(guò)分離變量，化歸為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題;（2）立體幾何題目中，利用長(zhǎng)方體或者正方體模型，把一些三棱錐、四棱錐和三棱柱的外接球問(wèn)題化歸為熟悉的長(zhǎng)方體或者正方體的外接球問(wèn)題.

例5. 若對(duì)任意的x∈（0， +∞），ax-ln（2x）≥1恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是_______

【解析】由已知可得，對(duì)任意的x∈（0，+∞），a≥■恒成立，

令g（x）=■，g′（x）=■=■，

令g′（x）=0，則1-ln（2x）=0，則x=■，

當(dāng)00，g（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x>■時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=■時(shí)， g（x）取得最大值 g（x）max =g（■）=■=■，

所以a≥■，所以a的最小值為■.

【評(píng)注】本題的解答運(yùn)用了分離變量法，分離變量后，構(gòu)造函數(shù)后，把a(bǔ)≥g（x）在（0， +∞）上恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為a≥

[g（x）]max（x∈（0，+∞）），轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）在（0， +∞）上的最大值問(wèn)題，g（x）的最大值即為a的最小值，本題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的熟悉化原則.

例6. 設(shè)數(shù)列 {an} 的前n項(xiàng)為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=2anSn-2S2n.

（1）求數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式;

（2）是否存在正數(shù)k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k■對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求k的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，an=2anSn-2S2n，

所以an=■，n≥2，所以（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2S2n，

所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以■-■=2，n≥2，

所以數(shù)列{■}是以■=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

所以■=1+2（n-1）=2n-1，所以Sn=■，

所以，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=■-■=-■，

因?yàn)閍1=S1=1，所以an=1， n=1-■. n≥2

（2）設(shè)f（n）=■，

則■=■=■>1，

所以f（n）在 n∈N？鄢上遞增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，

因?yàn)閒（n）min =f（1）=■，所以0

【評(píng)注】第（1）問(wèn)運(yùn)用了數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an之間的關(guān)系an=Sn-Sn-1（n≥2），把a(bǔ)n 轉(zhuǎn)化為Sn-Sn-1，再合并同類(lèi)項(xiàng)后運(yùn)用取倒數(shù)法，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得出數(shù)列{■}的通項(xiàng)公式，再得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;第（2）問(wèn)分離變量后構(gòu)造函數(shù)f（n），用作商法判斷f（n）的單調(diào)性，把不等式f（n）≥k在n∈N？鄢上恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（n）min≥k（n∈N？鄢），兩問(wèn)都運(yùn)用到了化歸與轉(zhuǎn)化思想.

題型四：化歸與轉(zhuǎn)化思想和諧化原則的體現(xiàn)

化歸與轉(zhuǎn)化思想和諧化原則在解題中的體現(xiàn)主要有：（1）解三角形問(wèn)題中利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化;（2）在三角函數(shù)問(wèn)題中，將形如y=asinx+bcosx的函數(shù)問(wèn)題利用輔助角公式化歸為形如y=Asin（？棕x+？漬）的函數(shù)問(wèn)題;（3）解析幾何中，將兩直線(xiàn)垂直化歸為斜率乘積為-1或者方向向量的數(shù)量積為0;（4）將形如？滋=■形式的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題.

例7. △ABC的內(nèi)角A， B， C的對(duì)邊分別為a， b， c，已知b-c=a·cosC-c·cosA.

（1）求角A;

（2）若a=3，求b+2c的最大值.

【解析】（1）因?yàn)閎-c=a·cosC-c·cosA，

由正弦定理可得，sinB-sinC=sinAcosC-sinCcosA，

所以sinB-sinC=sin（A-C）

所以sin（A+C）-sinC=sin（A-C），

所以sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC，

所以cosA=■，因?yàn)?

（2）由（1）可得，C=■-B，

由正弦定理得，■=■=■=2R，

所以■=■=■，

所以b=2■sinB，c=2■sin（■-B），

所以b+2c=2■sinB+4■sin（■-B）=2■（2sinB+■cosB）=2■sin（B+？漬），

其中tan？漬=■，？漬∈（0，■），

由B∈（0，■），存在B使得B+？漬=■，所以sin（B+？漬）的最大值為1，

所以b+2c的最大值為2■.

【評(píng)注】第（1）問(wèn)運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊轉(zhuǎn)化為角，再逆用兩角差的正弦公式，運(yùn)用內(nèi)角和定理以及誘導(dǎo)公式，再運(yùn)用兩角和的正弦公式和兩角差的正弦公式，得出cosA的值，得出角A的值;第（2）問(wèn)運(yùn)用了正弦定理將關(guān)于邊的最值問(wèn)題化為角的最值問(wèn)題，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理以及誘導(dǎo)公式，再運(yùn)用輔助角公式，化為三角函數(shù)在給定范圍上的最值問(wèn)題;兩問(wèn)都運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了和諧化原則.

例8. 已知函數(shù)f（x）=■，則f（■）+f（■）+f（■）+…+ f（■）的值為_(kāi)____.

【解析】由于直接計(jì)算有困難，先探求一般的規(guī)律，

因?yàn)閒（x）=■，所以f（1-x）=■=■=■，

所以f（x）+f（1-x）=1，

倒敘相加可得f（■）+f（■）+f（■）+…+ f（■）=1009.

【評(píng)注】本題的解答中體現(xiàn)了特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般化，運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化思想，先通過(guò)探究在宏觀上把握問(wèn)題的一般規(guī)律，再將特殊問(wèn)題破解.

題型五：化歸與轉(zhuǎn)化思想的正難則反原則在解題中的體現(xiàn)

化歸與轉(zhuǎn)化思想的正難則反原則在高中數(shù)學(xué)解題中的體現(xiàn)主要有：（1）間接證明方法中的反證法在解題中的運(yùn)用;（2）概率問(wèn)題中對(duì)立事件和互斥事件的概率公式的運(yùn)用.

例9. 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1+■，S3=9+3■.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn;

（2）設(shè)bn=■（n∈N？鄢），求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.

【解析】（1）設(shè)公差為d，由已知得a1=■+1，3a1+3d=9+3■，

所以d=2，故an=2n-1+■，Sn=n（n+■）.

（2）證明：由（1）得bn=■=n+■.

假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp、 bq、 br（p、q、r互不相等）成等比數(shù)列，則b2q=bpbr，即（q+■）2=（p+■）（r+■），

所以（q2-pr）+（2q-p-r）■=0.

因?yàn)閜，q，r∈N ，所以q2-pr=0，2q-p-r=0，所以（■）2=pr，（p-r）2=0，

所以p=r，這與p≠r矛盾.

所以數(shù)列 {bn} 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.

【評(píng)注】本題的解答的第（2）問(wèn)中運(yùn)用了反證法，先反設(shè)假定要證的結(jié)論不成立，而設(shè)出結(jié)論的反面成立，將這個(gè)反設(shè)作為條件，運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，通過(guò)推理，得出p=r與已知條件相矛盾，所以反設(shè)錯(cuò)誤，所以要證明的結(jié)論成立，反證法歸屬于間接證明方法，第（2）問(wèn)運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化的思想.

例10. 擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A+B發(fā)生的概率為_(kāi)___.

【答案】■.

【解析】擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果，依題意P（A）=■=■，P（B）=■=■，所以P（B）=1-P（B）=1-■=■，顯然A與B互斥，從而P（A+B）=P（A）+P（B）=■+■=■.

【評(píng)注】先由古典概型概率公式求出事件A和事件B的概率，再由對(duì)立事件概率公式求出事件B的對(duì)立事件B的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B的概率化歸為求P（A）和P（B）的和，運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化思想.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)