時間尺度上非遷移完整力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange 方程與Nielsen 方程

張 毅， 翟相華

（蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215011）

德國學(xué)者Hilger 博士在1988 年提出并建立了時間尺度分析理論。 作為實(shí)數(shù)集的任意非空閉子集，時間尺度分析理論將微分方程和差分方程的研究統(tǒng)一于時間尺度微積分的框架下，從而既避免了重復(fù)求解微分方程和差分方程，又揭示了連續(xù)和離散系統(tǒng)的本質(zhì)差異[1-3]。 近年來，時間尺度分析理論在自然科學(xué)、社會科學(xué)和工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用并取得了諸多成果，如動力學(xué)方程[4-5]、Noether 定理的推廣[6-11]、Lie 對稱性的推廣[12-14]、時滯動力學(xué)[15]、Herglotz 變分問題[16]以及非遷移動力學(xué)[17]等。 丹麥哥本哈根大學(xué)Nielsen 教授在1935年得到了完整系統(tǒng)的一類運(yùn)動微分方程[18]，被稱為Nielsen 方程。 我國著名經(jīng)典力學(xué)家梅鳳翔先生在其法國國家科學(xué)博士學(xué)位論文中提出了Nielsen 算子， 建立了非完整力學(xué)系統(tǒng)的各類廣義Nielsen 方程， 并證明了Nielsen 體系與Euler-Lagrange 體系的方程之間的等價性[19-22]。 筆者進(jìn)一步研究時間尺度上非遷移Lagrange方程與Nielsen 方程對時間尺度的推廣， 將建立時間尺度上非遷移完整力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange 方程與Nielsen方程。 所謂非遷移是相對于遷移而言的，遷移變分問題是指Lagrange 函數(shù)中的廣義坐標(biāo)經(jīng)過向前或向后跳躍算子的作用而發(fā)生了遷移?；蛟S是因?yàn)闀r間尺度上變分問題的研究始于遷移情形[23]，非遷移變分問題的研究還很少。但最近的研究發(fā)現(xiàn)時間尺度上非遷移變分問題的解與離散系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法密切相關(guān)[24]，因此其研究具有重要意義。

1 時間尺度微積分及其基本性質(zhì)

時間尺度微積分理論的詳細(xì)介紹，可參閱文獻(xiàn)[1-2]。

設(shè)用T 為時間尺度，函數(shù)σ：T→T 是前跳算子，定義為σ（t）=inf{s∈T:s＞t}；函數(shù)ρ：T→T 是后跳算子，ρ（t）=sup{s∈T:s＜t}。 如果σ（t）=t，σ（t）＞t，ρ（t）=t，以及ρ（t）＜t，則點(diǎn)t∈T 分別稱為右稠密和右發(fā)散、左稠密和左發(fā)散的。 向前步差函數(shù)μ:T→[0，∞）定義為μ（t）=σ（t）-t。

設(shè)函數(shù)f:T→R，t∈Tk，其中Tk=T（ρ（supT），supT]，如果對于任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得

對所有s∈U=（t-δ，t+δ）∩T 成立，則fΔ（t）稱為在t 處的delta 導(dǎo)數(shù)。 如果對所有的t∈Tk，fΔ（t）存在，則稱f在Tk上是delta 可微的，也記作fΔ（t）=（Δ/Δt）f（t）。

如果函數(shù)f:T→R 在T 中的每個右稠密點(diǎn)連續(xù)，且在每個左稠密點(diǎn)具有左極限，則稱函數(shù)f 是rd 連續(xù)的。在T 上所有rd 連續(xù)的函數(shù)的集合記為在Tk上具有rd 連續(xù)的delta 導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的集合記為

時間尺度上delta 導(dǎo)數(shù)的Leibniz 公式：令f 和g 在t 是delta 可微的，則fg 在t 是delta 可微的，且成立

其中fσ（t）=f（σ（t）），即fσ=f°σ。

時間尺度上delta 導(dǎo)數(shù)的分部積分公式為

時間尺度上鏈?zhǔn)椒▌t：假設(shè)f:T1×T2×…×Tn→R 在點(diǎn)t0是完全delta 可微的，函數(shù)φj（j=1，2，…，n）在點(diǎn)ξ0的delta 導(dǎo)數(shù)存在，那么，對于ξ∈T，復(fù)合函數(shù)F（ξ）=f（φ1（ξ），φ2（ξ），…，φn（ξ））在該點(diǎn)存在delta 導(dǎo)數(shù)，其計算公式為

其中

函數(shù)f（t）在點(diǎn)t 相對ti的偏delta 導(dǎo)數(shù)。

2 時間尺度上非遷移Hamilton 原理

對于一般完整力學(xué)系統(tǒng)，時間尺度上非遷移Hamilton 原理可表示為

且滿足互易關(guān)系

以及端點(diǎn)條件

其中T，Qs:T×Rn×Rn→R，T＝T（t，qs，qsΔ）是時間尺度上動能，Qs=Qs（t，qk，qkΔ）是廣義力，qs是廣義坐標(biāo)，廣義速度qsΔ是廣義坐標(biāo)qs對t 的delta 導(dǎo)數(shù)，假設(shè)這些函數(shù)都是函數(shù)。

設(shè)廣義力Qs可分為有勢廣義力Qs′=-?V/?qs和非勢廣義力Qs″，其中V=V（qs）是勢能，則原理（5）成為

其中L＝T-V 是時間尺度上非遷移Lagrange 函數(shù)。

當(dāng)非勢廣義力Qs″≡0，則式（8）成為

式（9）連同互易關(guān)系（6）和端點(diǎn)條件（7）構(gòu)成時間尺度上非遷移Lagrange 系統(tǒng)的Hamilton 原理。

3 時間尺度上非遷移Lagrange 方程

由原理（5），有

利用分部積分運(yùn)算，式（10）成為

考慮到條件（7），并利用時間尺度上Dubois-Reymond 引理，得到

其中Cs（s=1，2，…，n）是常數(shù)。 于是有

方程（13）也可表示為

方程（13）或（14）稱為時間尺度上非遷移一般完整系統(tǒng)的Lagrange 方程。

4 時間尺度上非遷移Nielsen 方程

由于時間尺度微積分運(yùn)算的復(fù)雜性，以下研究限于單自由度系統(tǒng)。 從時間尺度上非遷移完整力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange 方程出發(fā)，來推導(dǎo)時間尺度上單自由度非遷移完整力學(xué)系統(tǒng)的Nielsen 方程。

根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，動能對時間的delta 導(dǎo)數(shù)為

因此，TΔ對廣義速度qΔ的偏導(dǎo)數(shù)為

比較式（16）和（17），有

將式（18）代入方程（13），得到

方程（19）可稱為時間尺度上單自由度非遷移完整力學(xué)系統(tǒng)的Nielsen 方程。

如取T=R，則方程（19）退化為

這是完整力學(xué)系統(tǒng)的經(jīng)典Nielsen 方程[19]。

5 算例

例1試建立時間尺度上的動力學(xué)方程，已知[21]

其中m 是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，g 是重力加速度，常數(shù)a＞0。

首先，計算動能對時間的delta 導(dǎo)數(shù)。 有

于是有

將式（23）代入方程（19），得到

這是利用時間尺度上Nielsen 方程（19）建立的該系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

其次，計算

于是有

將式（26）和（25）代入方程（13），得到

這是利用時間尺度上非遷移Lagrange 方程（13）建立的該系統(tǒng)的動力學(xué)方程。 顯然，方程（24）和（27）是完全一致的。

如取T=R，則方程（24）退化為

這是文獻(xiàn)[21]給出的經(jīng)典Nicomedi 問題的動力學(xué)方程。

例2質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)被自然長為a，剛度為k 的r 個彈簧拴于正r 多邊形的固定角點(diǎn)，其外接圓半徑為b。 如果質(zhì)點(diǎn)在多邊形平面上輕輕地偏離位置，它將產(chǎn)生直線的自由振動[21]。 試建立時間尺度上該系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

時間尺度上質(zhì)點(diǎn)的動能和勢能為[21]

經(jīng)計算，有

因此，時間尺度上系統(tǒng)的Nielsen 方程為

時間尺度上系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為

于是，方程（14）給出

這是時間尺度上非遷移Lagrange 方程。 顯然，方程（31）與（33）是一致的。

6 結(jié)語

時間尺度微積分為研究復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)問題提供了一個重要的數(shù)學(xué)工具，近年來在科學(xué)和工程的許多領(lǐng)域引起了人們廣泛關(guān)注。文章研究了時間尺度上非遷移完整力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange 方程與Nielsen 方程。主要貢獻(xiàn)在于：一是建立了時間尺度上非遷移一般完整系統(tǒng)的Hamilton 原理；二是基于該原理導(dǎo)出了時間尺度上非遷移一般完整力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange 方程；三是從非遷移Lagrange 方程導(dǎo)出了時間尺度上單自由度非遷移完整力學(xué)系統(tǒng)的Nielsen 方程。未來研究可考慮如何進(jìn)一步將結(jié)果推廣到時間尺度上多自由度系統(tǒng)以及非完整系統(tǒng)，建立時間尺度上一般完整或非完整力學(xué)系統(tǒng)的Nielsen 方程等。