未知參數(shù)小模數(shù)齒輪齒距和齒廓偏差視覺測(cè)量

湯 潔，劉小兵，李 睿

（北京工業(yè)大學(xué)北京市精密測(cè)控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京100124）

1 引 言

小模數(shù)齒輪由于齒輪尺寸小、齒槽間隙小的幾何特點(diǎn)在齒輪分析式測(cè)量中受限制，小模數(shù)齒輪慣性小、輪齒剛性差的機(jī)械特點(diǎn)也對(duì)齒輪綜合測(cè)量產(chǎn)生了影響［1-3］。在接觸式測(cè)量中，測(cè)頭難以進(jìn)入小模數(shù)齒輪的齒槽間隙，操作難度高，容易損壞測(cè)頭；小模數(shù)齒輪裝夾困難，產(chǎn)生的安裝誤差對(duì)齒距偏差和齒廓偏差的測(cè)量產(chǎn)生影響［4-6］。為了克服上述問題，人們采用光學(xué)方法對(duì)小模數(shù)齒輪進(jìn)行測(cè)量。該方法主要分為兩種：基于相移法的齒輪測(cè)量和基于視覺的齒輪測(cè)量。基于視覺的齒輪測(cè)量具有高精度、高效、無損、成本相對(duì)較低、自動(dòng)化程度高、易于實(shí)現(xiàn)在線測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)［7-11］，對(duì)于小模數(shù)齒輪的高精度測(cè)量具有較大的優(yōu)勢(shì)。

文獻(xiàn)［12］搭建的基于機(jī)器視覺的齒輪幾何參數(shù)測(cè)量系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了直齒圓柱齒輪各項(xiàng)參數(shù)的測(cè)量，該系統(tǒng)對(duì)于齒頂圓尺寸為156 mm的齒輪的測(cè)量誤差為±0.101 mm。文獻(xiàn)［13］利用CCD相機(jī)獲取沿齒輪廓形運(yùn)動(dòng)的探針圖像，實(shí)現(xiàn)了齒輪齒面誤差的測(cè)量。文獻(xiàn)［14］采用機(jī)器視覺測(cè)量技術(shù)開發(fā)了直齒圓柱齒輪幾何尺寸測(cè)量系統(tǒng)。文獻(xiàn)［15］通過計(jì)算機(jī)視覺技術(shù)，完成了對(duì)模數(shù)為5 mm齒輪齒距累積總偏差的測(cè)量，可適用于中模數(shù)齒輪的測(cè)量。文獻(xiàn)［16］通過裝夾定位，利用圖像拼接技術(shù)，完成了對(duì)中小模數(shù)齒輪齒廓總偏差的測(cè)量，與三坐標(biāo)測(cè)量結(jié)果對(duì)比，最大誤差不超過3μm。

基于視覺的齒輪測(cè)量技術(shù)得到了一定的研究和應(yīng)用。為了實(shí)現(xiàn)小齒輪模數(shù)齒輪的高測(cè)量精度，本文在搭建的小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)中，對(duì)未知參數(shù)的小模數(shù)齒輪測(cè)量其基本參數(shù)，根據(jù)ISO 1328-1：2013對(duì)齒輪的齒距偏差和齒廓偏差［17-18］進(jìn)行評(píng)定，開發(fā)小模數(shù)齒輪測(cè)量視覺測(cè)量數(shù)據(jù)處理軟件，并開展試驗(yàn)研究。

2 小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)

2.1 測(cè)量系統(tǒng)

小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量原理如下：對(duì)測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定后，將被測(cè)小模數(shù)齒輪置于視場(chǎng)范圍內(nèi)，通過面陣CMOS相機(jī)和遠(yuǎn)心鏡頭獲取被測(cè)齒輪圖像，再獲取其邊緣坐標(biāo)信息，并進(jìn)行邊緣位置偏差的補(bǔ)償，測(cè)量得到齒輪幾何中心等基本參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行齒面的齒廓偏差和齒距偏差評(píng)定。

小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。工作臺(tái)上置有光源，其上方放置被測(cè)小模數(shù)齒輪，面陣CMOS相機(jī)搭載遠(yuǎn)心鏡頭置于被測(cè)齒輪正上方，經(jīng)圖像采集卡獲取圖像，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行了數(shù)字圖像處理及數(shù)據(jù)處理。

圖1 小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)Fig.1 Visual measurement system for small modulus gears

用已標(biāo)定的小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)，以小模數(shù)齒輪為測(cè)量對(duì)象進(jìn)行圖像預(yù)處理，主要為了消除噪聲對(duì)圖像的影響；經(jīng)灰度閾值分割使小模數(shù)齒輪與背景分離，提取其亞像素邊緣，獲得其物理坐標(biāo)，經(jīng)擬合測(cè)量反求出齒輪的基本參數(shù)，再進(jìn)行齒面偏差評(píng)定。測(cè)量流程如圖2所示。

圖2 小模數(shù)齒輪測(cè)量流程Fig.2 Measurement procedure of small-modulus gears

2.2 像素當(dāng)量標(biāo)定

視覺測(cè)量中，為了得到物體的被測(cè)尺寸參數(shù)，需要建立像素尺寸和實(shí)際物理尺寸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，需要標(biāo)定每個(gè)像素代表的實(shí)際尺寸，即像素當(dāng)量。像素當(dāng)量的標(biāo)定精度直接決定視覺系統(tǒng)的測(cè)量精度。

像素當(dāng)量標(biāo)定流程如圖3所示。利用標(biāo)定板的圖像特征，通過閾值分割找到標(biāo)定板的內(nèi)部區(qū)域；再利用亞像素邊緣提取方法來提取標(biāo)定板各個(gè)圓標(biāo)志點(diǎn)的邊緣，并通過最小二乘法擬合成圓，提取出每個(gè)圓心的中心坐標(biāo)作為像素當(dāng)量標(biāo)定的特征點(diǎn)。通過比較同一行中相鄰圓標(biāo)志點(diǎn)之間的圓心距物理尺寸設(shè)計(jì)值和像素?cái)?shù)量，得到同一行的像素當(dāng)量；再由多個(gè)同一行的像素當(dāng)量的平均值作為系統(tǒng)像素當(dāng)量標(biāo)定值，表示為：

式中：Ka為每次測(cè)量得到的像素當(dāng)量，S為標(biāo)定板相鄰圓點(diǎn)圓心距物理尺寸設(shè)計(jì)值，Pa為相鄰圓標(biāo)志點(diǎn)的像素?cái)?shù)量，b為測(cè)量次數(shù)。

像素當(dāng)量標(biāo)定實(shí)驗(yàn)流程如下：在進(jìn)行系統(tǒng)標(biāo)定時(shí)，將圓點(diǎn)標(biāo)定板（如圖4所示）放置在鏡頭視野中心，采集標(biāo)定板圖像，對(duì)采集到的圖像利用閾值進(jìn)行圖像分割，采用Halcon提供的Canny算子提取每個(gè)標(biāo)志圓點(diǎn)的亞像素輪廓，用最小二乘法擬合成圓，獲取到每個(gè)圓標(biāo)志點(diǎn)的中心。測(cè)量出圓點(diǎn)標(biāo)定板中同一行6個(gè)相鄰圓標(biāo)志點(diǎn)的圓心距像素的尺寸Pa，共測(cè)量7行圓標(biāo)志點(diǎn)。通過公式（1）計(jì)算得到像素當(dāng)量K為5.595 2μm/pixel［19］。由像素當(dāng)量K反算得到像素當(dāng)量標(biāo)定中所用的42個(gè)圓心距的實(shí)際物理尺寸，得到圓心距物理尺寸的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.1μm。

圖3 像素當(dāng)量標(biāo)定流程Fig.3 Pixel equivalent calibration procedure

圖4 圓點(diǎn)標(biāo)定板Fig.4 Polka-dot calibration plate

3 齒距偏差和齒廓偏差評(píng)定

3.1 齒輪基本參數(shù)測(cè)量

3.1.1 齒輪幾何中心

齒輪的內(nèi)孔作為齒輪加工的基準(zhǔn)，其內(nèi)孔的中心作為齒輪幾何中心用于參數(shù)測(cè)量和齒面偏差評(píng)定，符合基準(zhǔn)統(tǒng)一原則。提取內(nèi)孔亞像素邊緣輪廓，通過獲得邊緣輪廓上的亞像素坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)組Pj(xj，yj)，j=1，2，...，n，由最小二乘原理推導(dǎo)出最圓亞像素級(jí)擬合公式：

求出齒輪中心坐標(biāo)O(x0，y0)，即測(cè)量基準(zhǔn)：

3.1.2 齒 數(shù)

這里基于形態(tài)學(xué)的方法快速且準(zhǔn)確地獲取齒數(shù)，測(cè)量流程如圖5所示。

對(duì)采集到的圖像進(jìn)行二值化處理，二值化灰度閾值設(shè)為64（256/4），以便獲得完整的齒輪區(qū)域；再進(jìn)行開運(yùn)算，除去試件外毛刺和孤立小點(diǎn)等影響，而總體位置和形狀不變；對(duì)圖像進(jìn)行腐蝕運(yùn)算，并與二值化的區(qū)域進(jìn)行求差運(yùn)算。由于差集后的區(qū)域可能存在不連續(xù)的微小區(qū)域，需要再進(jìn)行腐蝕運(yùn)算，之后所剩區(qū)域個(gè)數(shù)，即為齒數(shù)z。

圖5 齒數(shù)測(cè)量流程Fig.5 Flow chart of tooth number measurement

3.1.3 齒頂圓直徑、齒根圓直徑和模數(shù)

以齒輪測(cè)量中心O(x0，y0)作為原點(diǎn)，逐個(gè)向齒頂做檢測(cè)線OA，向逐個(gè)齒根做檢測(cè)線OF，間隔角度為1°，檢測(cè)線如圖6所示。

圖6 齒頂圓與齒根圓檢測(cè)線Fig.6 Detection line for tooth addendum and dedendum

齒頂圓檢測(cè)線OA與齒輪亞像素邊緣的逐個(gè)齒頂邊緣相交，其中與原點(diǎn)O(x0，y0)之間的直線距離最大值的交點(diǎn)坐標(biāo)為Ai(xAi，yAi)，i=1，2，...，z；同理可得到齒根圓檢測(cè)線OF與在齒根處的最小值的交點(diǎn)坐標(biāo)為Fi(xFi，yFi)，i=1，2，...，z。

可利用O(x0，y0)與A兩點(diǎn)之間距離的最大值rAi(i=1，2，...，z)的均值計(jì)算齒頂圓直徑da，與F之間距離的最小值rFi(i=1，2，...，z)的均值計(jì)算齒根圓直徑df。對(duì)于小模數(shù)齒輪來說，齒頂高系數(shù)h*a=1，計(jì)算得到：

其中m為模數(shù)。如果待測(cè)齒輪模數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)值，則可以對(duì)式（6）得到的結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)比較接近的模數(shù)值確定最終模數(shù)m。

3.2 齒距偏差評(píng)定方法

齒距偏差反映了齒輪的加工精度，影響傳動(dòng)過程的平穩(wěn)性，是精度指標(biāo)主要的偏差項(xiàng)目之一。齒距偏差評(píng)定流程如圖7所示。對(duì)采集的齒輪圖像進(jìn)行預(yù)處理后，提取齒輪的亞像素邊緣，定義分度圓d為測(cè)量圓dM，測(cè)量圓與提取的齒廓邊緣相交，得到邊緣在分度圓上的交點(diǎn)數(shù)組；以齒輪幾何中心向交點(diǎn)做檢測(cè)線，對(duì)獲得的交點(diǎn)以左右齒面分為對(duì)應(yīng)的數(shù)組；由標(biāo)準(zhǔn)ISO 1328-1：2013對(duì)齒距偏差進(jìn)行評(píng)定。

圖7 齒距偏差評(píng)定流程Fig.7 Assessment process of tooth pitch deviations

齒距偏差評(píng)定的關(guān)鍵是對(duì)齒距的測(cè)量。如圖8所示，齒輪齒廓與測(cè)量圓（本文以分度圓作為測(cè)量圓）相交，與齒輪左右齒廓相交的交點(diǎn)分別為L1，L2，L3，...，Lz和R1，R2，R3，...，Rz；以 點(diǎn)O(x0，y0)為中心，同向齒廓兩相鄰交點(diǎn)之間的夾角（銳角）分別為θ1，θ2，θ3，...，θz（∠LiOLi+1）與β1，β，2，β3，…，βZ（∠RiORi+1）；同側(cè)齒廓上兩相鄰交點(diǎn)之間夾角對(duì)應(yīng)的弧長為實(shí)際基圓齒距pi。

測(cè)量銳角βi時(shí)，由向量ORi和ORi+1得到：

其中：Ri與Ri+1之間夾角對(duì)應(yīng)的弧長為齒輪的實(shí)際齒距pi，其公式為：

圖8 齒距偏差評(píng)定原理Fig.8 Principle for tooth pitch deviations evaluation

同理可得到Li與Li+1之間的實(shí)際齒距pi。

任一單個(gè)齒距偏差為：

單個(gè)齒距偏差為：

任一齒距累積偏差為：

齒距累積總偏差為：

3.3 齒廓偏差評(píng)定方法

齒廓總偏差Fa是評(píng)定齒輪幾何精度的基本項(xiàng)目之一，是齒輪工作平穩(wěn)性的重要指標(biāo)。

漸開線上任何一點(diǎn)的軌跡方程可表示為：

圖9 直角坐標(biāo)系漸開線測(cè)量原理Fig.9 Principle for involute measurement in cartesian co?ordinate system

如圖9所示，K(xk，yk)為漸開線上一點(diǎn)，ε為漸開線起始點(diǎn)與x軸方向上的夾角，rb為基圓半徑，φk為漸開線展開角，αk為壓力角，θk為OK與x軸方向上的夾角。由圖中的幾何關(guān)系可知：

由圖9齒輪中的幾何關(guān)系化簡(jiǎn)可得：

將漸開線上的任一待測(cè)點(diǎn)(xh，yh)代入式（16），可得：

采集漸開線齒廓上m點(diǎn)后可以得到一系列εh(h=1，2，...，m)，找到其中的最大值εmax與最小值εmin，二者之間的差值可用Δε表示，齒廓總偏差可表示為：

各測(cè)量點(diǎn)的齒廓偏差值的集合為Eh，每個(gè)測(cè)量點(diǎn)對(duì)應(yīng)的展開長度為Lh。對(duì)計(jì)值范圍Lα內(nèi)的坐標(biāo)點(diǎn)集合{(Lh，Eh)}進(jìn)行齒廓偏差評(píng)定，其中，h=1，2……m，m為集合{(Lh，Eh)}中的測(cè)量點(diǎn)數(shù)。對(duì)集合進(jìn)行最小二乘中線擬合，得到：

根據(jù)齒廓偏差的定義可知，齒廓形狀偏差為：

齒廓傾斜偏差為：

式中：k為最小二乘中線斜率，ra為齒頂圓半徑，rb為基圓半徑，LCf為齒廓控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的展開長度。

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量裝置如圖10所示，主要包括德國Basler公司型號(hào)為acA3800-10gm的面陣CMOS黑白相機(jī)，感光芯片尺寸為6.44 mm×4.62 mm，相機(jī)圖像分辨率為3 856 pixel×2 764 pixel，像素尺寸為1.67μm×1.67μm；日本Mori?tex公司型號(hào)為MML03-HR110D-5M1的物方遠(yuǎn)心鏡頭，視野范圍為21.47 mm×15.40 mm。該系統(tǒng)中配備了LED平面光源，發(fā)光顏色為紅色，光源亮度可調(diào)。該系統(tǒng)采用玻璃圓點(diǎn)標(biāo)定板。結(jié)合德國MVtec公司的HALCON視覺算法包，進(jìn)行數(shù)字圖像處理。

圖10 小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量試驗(yàn)裝置Fig.10 Experiment device of small-modulus gear visual measurement system

4.1 小模數(shù)齒輪測(cè)量系統(tǒng)評(píng)定軟件

小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)軟件主要由4個(gè)模塊組成：圖像采集、數(shù)字圖像處理、攝像機(jī)標(biāo)定及齒輪偏差評(píng)定，測(cè)量軟件界面如圖11所示。

圖11 小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)的軟件界面Fig.11 Software interface for small-modulus gear visual measurement system

4.2 齒距和齒廓偏差評(píng)定結(jié)果

將視覺測(cè)量試驗(yàn)結(jié)果與齒輪參數(shù)的設(shè)計(jì)值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1所示。

表1 齒輪基本參數(shù)反求結(jié)果Tab.1 Reverse results of basic gear parameters

除分度圓直徑外，本系統(tǒng)各參數(shù)的測(cè)量值均為視覺測(cè)量中未經(jīng)圓整的數(shù)據(jù)值，因被測(cè)小模數(shù)齒輪為標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)齒輪，經(jīng)圓整后的最終模數(shù)為0.5 mm，由圓整后的最終模數(shù)計(jì)算分度圓直徑d。本系統(tǒng)齒頂圓直徑和齒根圓直徑的測(cè)量值與理論值的差值分別為?0.01，?0.01 mm。由于齒輪加工誤差的存在，齒根圓直徑和齒頂圓直徑的測(cè)量值與設(shè)計(jì)值會(huì)存在一定的偏差。

4.2.1 齒距偏差測(cè)量

由齒距偏差測(cè)量方法，得到左齒面及右齒面的任一單個(gè)齒距偏差fpi的測(cè)量結(jié)果，如表2所示。由表2可知，左齒面單個(gè)齒距偏差fp=11μm，右齒面單個(gè)齒距偏差fp=13μm。經(jīng)計(jì)算可得左右齒面任一齒距累積曲線偏差，分別如圖12和圖13所示。

表2 任一單個(gè)齒距偏差測(cè)量的結(jié)果Tab.2 Measurement results of individual single pitch de?viation （μm）

圖12 左齒面任一齒距累積偏差曲線Fig.12 Curve of individual cumulative pitch deviation of left tooth flank

圖13 右齒面任一齒距累積偏差曲線Fig.13 Curve of individual cumulative pitch deviation of right tooth flank

由任一齒距累積偏差可計(jì)算左齒面齒距累積總偏差Fp=7+11=18μm；右齒面齒距累積總偏差Fp=10+9=19μm。

基于該小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)（Visual Measurement System，VMS）及齒距偏差評(píng)定方法，根據(jù)ISO 1328-1：2013進(jìn)行齒距偏差評(píng)定結(jié)果與齒輪測(cè)量中心（Gear Measuring Center，GMC）測(cè)量結(jié)果的對(duì)比。在齒輪測(cè)量中心上對(duì)該被測(cè)齒輪進(jìn)行測(cè)量，被測(cè)齒輪評(píng)定結(jié)果為8級(jí)（ISO 1328-1：2013）。齒輪測(cè)量中心測(cè)量試驗(yàn)如圖14所示，評(píng)定結(jié)果也是依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)ISO 1328-1：2013。

齒距偏差比對(duì)結(jié)果如表3所示。本系統(tǒng)單個(gè)齒距偏差、齒距累積總偏差測(cè)量值與齒輪測(cè)量中心的測(cè)量值左、右齒面的最大差值，分別為1，4μm。

圖14 齒輪測(cè)量中心測(cè)量試驗(yàn)Fig.14 Measurement of gear′s measurement center

表3 齒距偏差比對(duì)結(jié)果Tab.3 Comparison of tooth pitch deviations（μm）

4.2.2 齒廓偏差測(cè)量

對(duì)被測(cè)齒輪進(jìn)行全齒測(cè)量，齒廓偏差全齒測(cè)量結(jié)果如表4所示。對(duì)比基于本文設(shè)計(jì)的小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)及齒廓偏差評(píng)定方法的測(cè)量結(jié)果與齒輪測(cè)量中心，選擇齒序?yàn)?，7，12和17四條齒廓，對(duì)比結(jié)果如表5所示。本系統(tǒng)的齒廓總偏差、齒廓形狀偏差、齒廓傾斜偏差測(cè)量值與齒輪測(cè)量中心測(cè)量值的最大差值分別為4，3，3μm。

將以上得到的小模數(shù)齒輪左右齒面的齒距偏差和齒廓偏差測(cè)量值根據(jù)齒輪精度標(biāo)準(zhǔn)ISO 1328-1：2013各偏差項(xiàng)目的公差允許值進(jìn)行齒輪精度等級(jí)評(píng)定，如表6所示?？梢钥闯觯粶y(cè)小模數(shù)齒輪的齒距偏差和齒廓偏差的評(píng)定精度等級(jí)為8級(jí)，與齒輪測(cè)量中心給出的對(duì)應(yīng)偏差的精度等級(jí)一致。

試驗(yàn)結(jié)果表明，基于本文的小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)的齒距偏差和齒廓偏差測(cè)量結(jié)果與齒輪測(cè)量中心相比，絕對(duì)誤差最大為4μm；而采用視覺測(cè)量小模數(shù)齒輪的測(cè)量時(shí)間為7～10 s，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于人工測(cè)量所需要的時(shí)間，因此漸開線小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量方法相比齒輪測(cè)量中心上的測(cè)量，操作更容易，減小了操作員的工作強(qiáng)度，并提高了測(cè)量效率。

表4 齒廓偏差全齒測(cè)量結(jié)果Tab.4 Measurement results of tooth profile deviations（μm）

表5 齒廓總偏差評(píng)定結(jié)果Tab.5 Evaluation results of total profile deviation（μm）

表6 齒輪齒距偏差和齒廓偏差的評(píng)定結(jié)果Tab.6 Results of tooth profile deviations measurement（μm）

5 結(jié) 論

依據(jù)齒輪精度標(biāo)準(zhǔn)ISO 1328-1：2013中齒輪偏差的定義及評(píng)定方法，本文給出了基于視覺測(cè)量的齒輪基本參數(shù)的（齒輪中心、齒數(shù)、模數(shù)、齒頂圓直徑和齒根圓直徑）反求方法和齒距偏差和齒廓偏差的評(píng)定方法，并開發(fā)了小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量數(shù)據(jù)處理軟件。采用小模數(shù)齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)對(duì)模數(shù)為0.5 mm的漸開線圓柱直齒輪進(jìn)行測(cè)量，并與齒輪測(cè)量中心的測(cè)量結(jié)果對(duì)比，兩者的絕對(duì)誤差最大為4μm，最小為1μm，評(píng)定齒輪精度等級(jí)均為8級(jí)。本系統(tǒng)及測(cè)量方法可在一定范圍內(nèi)用于小模數(shù)齒輪齒距和齒廓偏差測(cè)量，為基于視覺測(cè)量、工業(yè)CT和結(jié)構(gòu)光等非接觸式齒輪測(cè)量方法的研究提供了參考。