關(guān)于角平分線與高的夾角模型的深入探討

高德文

[摘 ?要] 三角形的角平分線與高的夾角模型有著極高的研究價值，總結(jié)模型、解析方法，生成模型突破策略，可提升學(xué)生的解題能力. 文章以常見問題為例，引出幾何模型并立足基本性質(zhì)，論證模型結(jié)論，同時在考查視角下進(jìn)行綜合探究，開展教學(xué)探討.

[關(guān)鍵詞] 角平分線;高線;模型;結(jié)論;性質(zhì);拓展

問題引出

問題 ?如圖1所示，在△ABC中，AD和AE分別是△ABC的高和角平分線. 已知∠B=50°，∠C=60°，則∠DAE=____°.

解析 ?問題中給定了三角形的高和角平分線，以及部分角的度數(shù)，求其所構(gòu)成的角的度數(shù)，可充分利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線定理進(jìn)行推導(dǎo).

在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，則∠BAC=70°. 又知AE是△ABC的角平分線，則∠EAC=∠BAC=35°;AD是△ABC的高，則∠ADC=90°，所以在△ADC中，可得∠DAC=30°. 所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°.

思考 ?上述問題中，角平分線定理、三角形內(nèi)角和定理是問題突破的關(guān)鍵，對于∠DAE，可將其視為角平分線（AE）與高（AD）的夾角;關(guān)注另外的兩角（∠B=50°，∠C=60°），顯然它們之間有如下角度關(guān)系：∠DAE=. 由該角度關(guān)系猜想如下：三角形一個頂角的平分線與底邊上的高的夾角，與另外兩角之間存在著一個恒定的數(shù)量關(guān)系.

教學(xué)探究

三角形的角平分線（在此指線段）和高是其重要的線段，對應(yīng)的性質(zhì)定理在幾何中也有著廣泛的應(yīng)用. 實際上，兩條線段之間的夾角與三角形另外兩角之間存在著一定的規(guī)律，具體內(nèi)容如下.

定理 ?三角形同一頂點引出的角平分線與高的夾角等于三角形另外兩角之差的絕對值的一半. 以圖1為例，可表述為∠DAE=.

實際教學(xué)中，建議采用信息描述、角度分析、過程探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生充分思考，逐步剖析，具體如下.

信息描述：已知△ABC中，AD是底邊BC上的高，AE是∠BAC的平分線.

角度分析：∠DAE是三角形角平分線與高的夾角，思考該角可用哪些角來表示，主要有如下幾種表示方法.

①∠DAE=

∠BAD-∠BAE

（角的和、差關(guān)系）;

②∠DAE=90°-∠AED（直角三角形兩銳角互余或外角性質(zhì)）;

③∠DAE=

∠AEC-∠ADE

（三角形的外角性質(zhì)）.

過程探究：探究過程應(yīng)立足已知條件，充分結(jié)合幾何定理進(jìn)行角度代換、關(guān)系推導(dǎo).

AE平分∠BAC→∠BAE=∠BAC（角平分線的定義）;AD是底邊BC上的高→∠ADB=90°（三角形高的定義）→∠BAD=90°-∠B（直角三角形兩銳角互余）.

因為∠BAC=180°-∠B-∠C（三角形內(nèi)角和定理），則∠BAE=（180°-∠B-∠C）（等量代換）.

綜上，∠DAE=

∠BAE-∠BAD

=

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=.

總結(jié) ?三角形的角平分線與高之間的性質(zhì)定理是對角度關(guān)系的探究總結(jié)，其本質(zhì)是關(guān)于三角形角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的綜合構(gòu)建. 圖形特征也較為明顯，以三角形的同一頂點出發(fā)引出角平分線和高，提煉圖形特征可形成相應(yīng)的幾何模型，有利于后續(xù)的應(yīng)用探究. 而在實際應(yīng)用時建議分步突破：①審題，建模型;②引定理，理思路;③代換，推關(guān)系.

角平分線與高的夾角模型在幾何中十分常見，充分利用其結(jié)論可簡化解題過程，高效構(gòu)建思路. 而幾何中的問題類型也較為多樣，包括常見的角度關(guān)系題，以及其他以探究形式呈現(xiàn)的幾何題，下面對其進(jìn)行綜合探究.

1. 角度關(guān)系題

例1 ?在圖2所示的△ABC中，已知AD是∠BAC的平分線，點G是AD上的動點，且GH⊥AD，與BC的延長線相交于點H，試回答下列問題.

（1）若∠B=30°，∠BAC=40°，求∠H的度數(shù);

（2）當(dāng)點G在AD上運動時，探究∠H，∠B，∠ACB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解析 ?（1）利用三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義可得∠ADH的度數(shù)，再結(jié)合直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)即可求∠H的度數(shù).

已知AD是∠BAC的平分線，則∠BAD=∠BAC=×40°=20°，所以∠ADH= ∠B+∠BAD=50°. 又GH⊥AD，所以∠H=90°-∠ADH=40°.

（2）該問針對的是點G位置的一般化，但解析思路與第（1）問是相同的，即從已知出發(fā)，結(jié)合定理推導(dǎo)即可.

已知AD是∠BAC的平分線，則∠BAD=∠BAC，所以∠ADH=∠B+∠BAD= ∠B+∠BAC. 又GH⊥AD，所以∠H=90°-∠ADH=90°-（∠B+∠BAC）. 由三角形內(nèi)角和定理可得∠B+∠BAC+∠ACB=180°，所以∠B+∠BAC+∠ACB=90°，故∠H=∠B+∠BAC+∠ACB-（∠B+∠BAC），即∠H=（∠ACB-∠B）.

評析 ?本題基于特殊到一般思想命制，首先探究特殊情形中角平分線與高的夾角的大小，然后引入動點，探究一般情形中角度關(guān)系的規(guī)律. 整個問題充分圍繞模型及角度關(guān)系而構(gòu)建，雖然解法思路較為簡潔，但具有一定的代表性.

2. 幾何探究題

例2 ?角平分線與高的夾角模型在幾何中十分常用，模型中存在一些角度關(guān)系，下面深度探究.

感知 ?如圖3所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度數(shù).

探究 ?如圖4所示，在△ABC中，若將“感知”中的“AE⊥BC”變?yōu)椤包cF在DA的延長線上，F(xiàn)E⊥BC”，其他條件不變，試求∠DFE的度數(shù).

拓展 ?如圖5所示，若將“感知”中的△ABC變?yōu)樗倪呅蜛BEF，再將“AE⊥BC”變?yōu)椤癊A平分∠BEC”，其他條件不變，猜想∠DAE的度數(shù)是否會發(fā)生變化，請證明你的結(jié)論.

解析 ?在“感知”環(huán)節(jié)，問題基于三角形角平分線與高的夾角模型命制，利用角平分線性質(zhì)和內(nèi)角和定理即可直接推知∠DAE=15°.

在“探究”環(huán)節(jié)，將點F設(shè)定于DA的延長線上，探究過程與“感知”環(huán)節(jié)的問題相似，直接推知∠ADE=75°，又知FE⊥BC，則∠FEB=90°，從而∠DFE=90°-∠ADE=15°.

在“拓展”環(huán)節(jié)，問題將三角形變更為四邊形，并將垂直關(guān)系變?yōu)榻瞧椒株P(guān)系，實際上，其探究思路同樣可參考上述兩問. 已知EA平分∠BEC，則∠AEB=∠AEC，所以∠C+∠CAE=∠B+∠BAE. 結(jié)合角度關(guān)系可得∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE. 因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，進(jìn)而可得2∠DAE=∠C-∠B=30°，所以∠DAE=15°. ∠DAE的度數(shù)依然不變.

評析 ?本綜合題屬于角平分線與高的夾角模型的變式拓展題，實則依然是對三角形內(nèi)角和定理和角平分線性質(zhì)的綜合運用. “感知”環(huán)節(jié)的問題是對模型的深入感知，旨在總結(jié)解析思路;“探究”環(huán)節(jié)的問題破除了傳統(tǒng)模型，但依然存在角平分關(guān)系和垂直關(guān)系，難點在于串聯(lián)兩個三角形的角度關(guān)系;“拓展”環(huán)節(jié)的問題構(gòu)建了一般的四邊形，問題解析可采用圖形割補策略，將角度關(guān)系放置在三角形中，依托三角形開展關(guān)系推導(dǎo).

教學(xué)思考

上述基于三角形的角平分線和高的夾角模型開展了教學(xué)探討，論證了角度關(guān)系，并結(jié)合實例探討了命題思路. 在實際教學(xué)中，建議參考上述探究過程，幫助學(xué)生總結(jié)模型，構(gòu)建解題思路，全面提升學(xué)生的解題能力. 下面對此提出幾點建議：

（1）關(guān)注模型特征，挖掘核心知識. 角平分線與高的夾角模型是初中幾何的重點模型，深入探究模型對于后續(xù)幾何問題的突破有一定幫助. 而在模型探究中，需要注重兩點：一是關(guān)注模型的特征，二是挖掘模型的核心知識. 其中角平分線與高的夾角模型是構(gòu)建其他模型的基礎(chǔ)，對應(yīng)的角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是探究的核心. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生充分理解問題，掌握幾何與文字語言的對照關(guān)系，提升學(xué)生的模型提取、圖像閱讀能力.

（2）注重探究體驗，充分驗證定理.模型教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生的探究體驗，強化學(xué)習(xí)知識定理的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維. 建議探究時采用設(shè)問引導(dǎo)、互動交流的方式，結(jié)合具體問題引導(dǎo)學(xué)生思考. 在定理歸納環(huán)節(jié)倡導(dǎo)“從定理中來，到問題中去”，即充分利用教材中的定理來證明問題、論證結(jié)論，幫助學(xué)生形成“論證有理，推理有據(jù)”的意識.

（3）模型綜合拓展，提升綜合素養(yǎng).幾何模型在解題中有廣泛的應(yīng)用，實際考查側(cè)重兩個方向：一是依托模型開展應(yīng)用探究，二是基于模型進(jìn)行拓展探究. 尤其對于拓展性極強的幾何模型，中考常以其為基礎(chǔ)開展綜合幾何探究題的構(gòu)建，通過知識融合、關(guān)系設(shè)定綜合考查學(xué)生的知識應(yīng)用和拓展探究能力. 通常拓展性問題的突破思路是一致的，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決問題的知識與方法，形成模型問題的突破策略. 同時合理滲透數(shù)學(xué)思想或方法，尤其是模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想等，利用模型教學(xué)提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

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