邏輯推理素養(yǎng)視角下中考數(shù)學(xué)試題的分析與拓展

陳紀(jì)韋華 蔡德清

[摘 ?要] 文章通過對一道福建省2020年中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的剖析，進(jìn)一步討論了邏輯推理素養(yǎng)視角下的幾何教學(xué)應(yīng)重視試題方法、內(nèi)容本質(zhì)，把握一類試題的結(jié)構(gòu)與體系，以期實現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的育人價值.

[關(guān)鍵詞] 邏輯推理;一題多解;試題拓展;結(jié)構(gòu)體系

推理是數(shù)學(xué)基本思想之一，并被列為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不能簡單關(guān)注知識技能的傳授，而應(yīng)該發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，啟發(fā)學(xué)生思考，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維. 在初中數(shù)學(xué)教育中，圖形與幾何是一個活躍的領(lǐng)域，其內(nèi)容以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心. 學(xué)習(xí)圖形與幾何有助于培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，有助于培養(yǎng)更有序、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，有助于形成科學(xué)世界觀和理性精神. 鑒于此，福建省近4年中考的第24題，一以貫之地以幾何圖形及其變換為載體，重點考查學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的達(dá)成水平. 下面，文章以2020年福建省中考數(shù)學(xué)第24題為例，闡述通過幾何試題培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)的研究與實踐.

基于邏輯推理素養(yǎng)的幾何探究課要教什么

邏輯推理素養(yǎng)是指表現(xiàn)在人身上的東西，不僅表明這個人具有邏輯推理能力，而且表明這個人具有較好的思維品質(zhì). 基于邏輯推理素養(yǎng)的教學(xué)，要讓學(xué)生理解“來龍去脈”，要讓學(xué)生會分析自己思考的脈絡(luò)，要讓學(xué)生能自如地運用數(shù)學(xué)知識解決問題. 因此在幾何探究課上，教授顯性知識的同時，應(yīng)關(guān)注內(nèi)在的隱性知識.

（1）教思想. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育、與“四基”一脈相承，幾何探究課要傳承傳統(tǒng)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法. 試題層出不窮，解題技巧千變?nèi)f化，教學(xué)中不去領(lǐng)悟方法中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法無異于買櫝還珠，需要“點破眼前的一層膜”. 解決本題的整個過程包含著很多數(shù)學(xué)思想和方法：將“DP平分∠EDC”“∠CDF=∠DAC”之間的關(guān)系（角的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為“EP，PF，PC，CF ”之間的關(guān)系（線的關(guān)系）——化歸與轉(zhuǎn)化思想;將“∠EDC=90°”推廣到“∠EDC為任意角度”，結(jié)論仍然成立——從特殊到一般的歸納思想;（思考1中）由∠ACB不同的取值得到不同的圖形——分類討論思想;將“DP平分∠EDC”的內(nèi)角平分線推廣到“DP平分∠KDC”的外角平分線，仍有相關(guān)線段成比例——類比思想;設(shè)元表示相關(guān)線段后計算相關(guān)結(jié)論——數(shù)形結(jié)合思想;通過對角平分線成比例定理及“子母型”等相似模型的提煉，歸納成阿氏圓——數(shù)學(xué)建模思想. 等等.

數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)不僅在于宏觀感知，也在于具體方法的微觀抽象，多解歸一，提煉不同方法的規(guī)律性——不變量和化歸與轉(zhuǎn)化：以上的10種解法將角相等、邊相等作為不變量，或通過模型的疊加組合，或通過“出入相補法”構(gòu)造相似三角形，建立相關(guān)線段成比例. 在這些解法中，都體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.

（2）教本質(zhì). 數(shù)學(xué)問題的結(jié)論，特別是幾何題的結(jié)論呈現(xiàn)的是“簡潔的、冰冷的、形式化的美麗”. 因此在幾何探究課中，教師應(yīng)善加引導(dǎo)，通過對問題的再設(shè)計、再拓展，啟發(fā)學(xué)生思考，示之以思維之道，不僅應(yīng)讓學(xué)生掌握方法的程序與演繹推理的步驟，還應(yīng)讓學(xué)生掌握方法的本質(zhì)，以此讓“冰冷的美麗”煥發(fā)學(xué)生“火熱的思考”. 由此我們不得不思考：如何讓學(xué)生掌握方法的本質(zhì)？為什么可以這樣去做（原試題）？邏輯思考的起點和中途點在哪里？不同的觸發(fā)點有何不同的思考方向？還要進(jìn)一步思考：不同方法的內(nèi)涵是否相同？不同的方法在相似的條件表征下是否具有推廣性？使用的范圍是什么？這些方法與原試題具有怎樣的關(guān)聯(lián)性？等等.例如，全面審視本題的所有解法，其寓于“如何證明線段成比例”這一結(jié)構(gòu)體系. 原試題的條件從特殊角度到一般角度（思考1），從內(nèi)角到外角（思考2），進(jìn)一步推廣和拓展，深入分析其中的思想和方法，凸顯條件之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，挖掘原試題的背景（阿氏圓），揭示條件（∠CDF =∠DAC）和結(jié)論的合理性、必然性，讓學(xué)生認(rèn)識到試題的本源所在、本質(zhì)所在.

（3）教結(jié)構(gòu)與體系. 邏輯推理是數(shù)學(xué)最顯著的特征之一，是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需求. 邏輯推理素養(yǎng)的育人價值在于能夠讓學(xué)生把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò). 因此，在幾何探究課中，要引導(dǎo)學(xué)生把握一類試題的結(jié)構(gòu)，求通求聯(lián)，形成對體系的整體性認(rèn)識，這樣才是對數(shù)學(xué)真正的理解. 例如，本題中“如何證明線段成比例”可變?yōu)閳D2中有序化、程序化的方法結(jié)構(gòu);又如，從原試題推廣到思考1、思考2——從特殊到一般的、歸納類比的問題研究結(jié)構(gòu);再如，將復(fù)雜的圖形分解為幾個基本模型，從基本模型開始研究，疊加組合后形成新的方法用來證明這一類試題的結(jié)構(gòu)——研究幾何性質(zhì)的方法結(jié)構(gòu).

結(jié)束語

數(shù)學(xué)家華羅庚常說：“既要能把書讀厚，又要能把書讀薄.”對于一個“好”問題的探究，何嘗不是如此. 讀厚，就是要把問題逐步分解，挖掘不同條件表征下的解法，弄清不同解法之間的共性及其蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，理順不同問題表征下的共性. 讀薄，就是能抓住這一系列問題的主線和基本脈絡(luò)，抓住這一系列問題的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系，避免“只見樹木不見森林”. 這樣才能發(fā)揮幾何問題內(nèi)在的思維價值，將學(xué)生的邏輯思維貫穿于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的全過程，養(yǎng)成重論據(jù)、有條理、有順序、有邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，實現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的育人價值.