初中數(shù)學(xué)中“含有一個動點的線段和（差）的最值問題”的解題策略

趙玉葉

[摘 ?要] 文章通過模型研究，分類探討“含有一個動點的線段和（差）的最值問題”. 一是利用“兩點之間線段最短”解決問題;二是利用三角形的三邊關(guān)系（三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊）“化曲為直”，找到最值;三是在實例中展現(xiàn)此類問題的解決方案和解題步驟.

[關(guān)鍵詞] 動點;線段和（差）;最值;對稱點

動點問題是初中數(shù)學(xué)的重難點，線段和（差）的最值問題一般含有一個或幾個動點，是經(jīng)典的一類題型，也會進一步結(jié)合后續(xù)的幾何、函數(shù)等知識考查學(xué)生，但學(xué)生對這部分知識的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀不容樂觀.

在幾何問題中，線段和（差）一般不是簡單的數(shù)量關(guān)系的運算，往往需要構(gòu)造圖形“化曲為直”，最后在點共線的特殊情況下求得最值[1]. 文章從最基本的含一個動點的情形開始探究，歸納此類問題的模型，旨在給出一個細致的思考路徑，用這個導(dǎo)火索點燃學(xué)生的思維. 我們需要明確，以下問題中雖然都含有一個動點，但我們常常瞄準的不是這個動點，而是這個動點所在的那條“固定”的直線，最終達到“以靜制動”的效果.

兩類數(shù)學(xué)模型：“異側(cè)，線段和

最小”“同側(cè)，線段差最大”

模型1 ?異側(cè)，線段和最小

問題1 ?如圖1所示，直線l的異側(cè)有兩點A，B，在直線l上求作一點P，使得PA+PB最小.

首先，明確動點P在定直線l上，以及問題中確定的元素——兩個定點A，B，一條定直線l（有一動點）. 其次，明確兩個定點A，B的位置——在直線l的異側(cè). 于是把此類模型直觀地命名為“異側(cè)，線段和最小”.

解析 ?由“兩點之間線段最短”可知，當點A，P，B在一條直線上時，PA+PB最小. 任意異于點P的點P′，由“三角形任意兩邊之和大于第三邊”可知，P′A+P′B>AB=PA+PB，點P即為求作的點.

模型2 ?同側(cè)，線段差最大

問題2 ?如圖2所示，直線l的同側(cè)有兩點A，B，在直線l上求作一點P，使得

PA-PB

最大.

同樣，先明確動點P在定直線l上，以及問題中確定的元素——兩個定點A，B，一條定直線l（有一動點）. 其次，明確兩個定點A，B的位置——在直線l的同側(cè). 于是把此類模型命名為“同側(cè)，線段差最大”.

解析 ?由“三角形任意兩邊之差小于第三邊”可知，任意異于點P的點P′，都有

P′A-P′B

<AB=

PA-PB

，所以當點A，P，B在一條直線上時，

PA-PB

最大，點P即為求作的點.

[條件 兩個定點，一條定直線 結(jié)論 模型1 異側(cè)，線段和最小 模型2 同側(cè)，線段差最大 ][表1 ?“含有一個動點的線段和（差）的最值”的基本模型]

什么時候取對稱點

線段和（差）的最值問題常常與對稱點結(jié)合在一起. 幾何題中，已知的點、線往往較多，能夠準確迅速地引入對稱點來解決問題需要學(xué)生有清晰的思路. 那么到底什么時候取對稱點呢？很簡單，只需要聯(lián)系以上兩個模型即可——“異側(cè)，線段和最小”“同側(cè)，線段差最大”. 在此以問題3為例：

問題3 ?如圖3所示，直線l的同側(cè)有兩點A，B，在直線l上求作一點P，使得PA+PB最小.

解析 ?條件：兩個定點，一條定直線;結(jié)論：線段和最小，對應(yīng)模型幾？答案很顯然，對應(yīng)的是模型1——“異側(cè)，線段和最短”. 但是題目中的兩個定點在同側(cè)，因此在此需要轉(zhuǎn)移定點的位置. 利用點關(guān)于直線的對稱點的畫法，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，如圖4所示，將點A轉(zhuǎn)化成點A′. 由點A與點A′關(guān)于直線l對稱可得PA=PA′，將PA+PB轉(zhuǎn)化成PA′+PB. 轉(zhuǎn)化后，兩個定點是A′，B，定直線是l. 由模型1可知圖4中的點P即為求作的點，使得PA′+PB最小，也就是使得PA+PB最小.

由此可知，取對稱點可以實現(xiàn)“同側(cè)”“異側(cè)”的轉(zhuǎn)化，且不會改變線段的長度. 如此，在解決線段和（差）的最值問題時，若無法直接套用模型，就可以利用點的對稱性轉(zhuǎn)移點的位置，讓問題與模型對接.

含有一個動點的線段和（差）的最值問題，解決步驟如下：第一步，找到確定的元素——兩個定點，一條定直線;第二步，套用模型（若無法直接套用模型，則作定點關(guān)于定直線的對稱點后再套用模型）;第三步，利用模型求解.

求解“兩定點、一定直線”線段

和的最小值

例1 ?如圖5所示，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是對角線AC上一動點，則PB+PE的最小值是______.

解析 ?①找到兩個定點B，E，一條定直線AC;②套用模型1——“異側(cè)，線段和最小”;③作點B關(guān)于直線AC的對稱點，正是正方形ABCD的頂點D，連接DE，交AC于點P′，如圖6所示. 當點E，P′，D共線時，PB+PE的最小值=PD+PE的最小值=P′D+ P′E=DE，結(jié)果為10.

例2 ?如圖7所示，正方形ABCD的面積為18，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，P是對角線AC上一動點，則PD+PE的最小值是______.

解析 ?①找到兩個定點D，E，一條定直線AC;②套用模型1——“異側(cè)，線段和最小”;③作點D關(guān)于直線AC的對稱點，正是正方形ABCD的頂點B，連接BE，交AC于點P′，如圖8所示. 當點B，P′，E共線時，PD+PE的最小值=PB+PE的最小值=P′B+P′E=BE，結(jié)果為3.

差的最大值

例3 ?如圖9所示，已知A

，y1，B（2，y2）為反比例函數(shù)y=圖像上的兩點，動點P（x，0）在x軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標為______.

＼11-72.tif>[圖9][x][y][O][P][B][A]

解析 ?①找到兩個定點A，B，一條定直線x軸;②套用模型2——“同側(cè)，線段差最大”;③延長AB交x軸于點P′，如圖10所示. 當點A，B，P′共線時， AP-BP的最大值=AP′-BP′=AB，點P′即為所求的點.

例4 ?如圖11所示，已知點A（1，5），B（3，-1），點M在x軸上，當AM-BM最大時，點M的坐標為______.

解析 ?①找到兩個定點A，B，一條定直線x軸;②套用模型2——“同側(cè)，線段差最大”;③作點B關(guān)于直線x軸的對稱點B′，連接AB′并延長交x軸于點M′，如圖12所示. 當點A，B′，M′共線時，AM-BM的最大值=M′A-M′B′=AB′，點M′即為所求的點.

關(guān)于線段和（差）的最值問題，以上是最基礎(chǔ)的題型——只有一個動點且題目的背景比較簡單. 即使換成復(fù)雜的背景，再加入多個動點，其本質(zhì)是一樣的，都只是“對稱點”和“三邊關(guān)系”等幾何知識的融合[2]. 只要充分理解和把握問題的本質(zhì)，抓住關(guān)鍵點、線的位置關(guān)系（“同側(cè)”或“異側(cè)”），就能在復(fù)雜的問題中找到基本模型，“化曲為直”，最終形成解決問題的基本策略[3]. 總之，這類共性問題需要教師引導(dǎo)學(xué)生多思考、多觀察、多總結(jié)、多歸納，建立模型使之公式化、條理化，便于學(xué)生理解、掌握模型并靈活應(yīng)用.

參考文獻：

[1]李若志. 與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題[J]. 考試周刊，2017（49）.

[2]張宇石. 用三角形三邊關(guān)系求線段之差的最大值[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（09）.

[3]倪勇. 探究折線段差的最大值問題[J]. 理科考試研究（初中版），2015，22（01）.

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