數(shù)學(xué)活動，助力學(xué)生深度學(xué)習(xí)

黃錦

[摘? 要] 要想讓初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中進入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)，那就必須給學(xué)生提供一定的助力，只有讓學(xué)生在現(xiàn)有水平的基礎(chǔ)之上，通過有效的活動參與和體驗，才能讓深度學(xué)習(xí)從理想變成現(xiàn)實. 選擇一個合適的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計與之相匹配的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在活動參與的過程當中積極思考，從而實現(xiàn)思維的不斷遞進，逐漸達成深度學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)活動;深度學(xué)習(xí);勾股數(shù)

人們在尋找數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方法時，不約而同地認為深度學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑. 但是人們對深度學(xué)習(xí)的理解卻出現(xiàn)了一些不同，有人認為深度學(xué)習(xí)對應(yīng)著有難度的學(xué)習(xí)，也有人認為深度學(xué)習(xí)就是學(xué)生思維不斷遞進的學(xué)習(xí)，這些認識有其可取之處，但又存在一些不足，其中最關(guān)鍵的就是深度學(xué)習(xí)怎樣才能真正發(fā)生這一根本問題. 筆者結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)，同時考慮初中階段學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的一些基本特點，得出的一個初步結(jié)論是：要想讓初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中進入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)，那就必須給學(xué)生提供一定的助力，只有讓學(xué)生在現(xiàn)有水平的基礎(chǔ)之上，通過有效的活動參與和體驗，才能讓深度學(xué)習(xí)從理想變成現(xiàn)實.

相應(yīng)的，要將這一教學(xué)理念變成具體的教學(xué)實際行為，必須結(jié)合具體的教學(xué)案例來進行. 選擇一個合適的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計與之相匹配的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在活動參與的過程當中積極思考，從而實現(xiàn)思維的不斷遞進，逐漸達成深度學(xué)習(xí). 在初中數(shù)學(xué)知識體系當中，“勾股數(shù)”是一個相對特殊的知識，其既是學(xué)生對勾股定理理解的直覺性表現(xiàn)之一，同時又反映著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 讓學(xué)生在對勾股數(shù)的學(xué)習(xí)與探究中，體驗一定的數(shù)學(xué)活動，就可以引導(dǎo)學(xué)生進入深度學(xué)習(xí)之境.

初中數(shù)學(xué)活動教學(xué)中的深度學(xué)習(xí)因素

《九年義務(wù)教育課程方案》已經(jīng)正式把活動課納入了中小學(xué)課程，這其中也包括初中數(shù)學(xué)課程. 很顯然，這是一項重大教學(xué)改革，其對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣以及數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升具有十分積極的意義. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)對“數(shù)學(xué)活動”及其相應(yīng)板塊知識的學(xué)習(xí)予以高度重視，并通過任務(wù)驅(qū)動的方式引導(dǎo)學(xué)生參與和完成數(shù)學(xué)活動. 一般來講，通過任務(wù)驅(qū)動，可以讓更多的學(xué)生參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的任務(wù)當中來，而當學(xué)生在完成任務(wù)的時候，實際上就是在經(jīng)歷一個問題解決的過程. 問題解決是認知心理中的一個重要范疇，同時也是一個重要概念，學(xué)生在解決問題的時候，思維必然會從淺層走向深處，學(xué)習(xí)也就會從淺層學(xué)習(xí)狀態(tài)走向深度學(xué)習(xí)的狀態(tài).

由此可以認為，面向初中學(xué)生組織數(shù)學(xué)活動的時候，能夠充分體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的相關(guān)因素. 具體來說，初中數(shù)學(xué)活動教學(xué)中的深度學(xué)習(xí)因素表現(xiàn)為這樣幾點：一是學(xué)生思維的廣度，學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識、解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的時候，會拓寬自己的知識理解與運用范圍，將更多的知識或者生活經(jīng)驗運用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決中來;二是學(xué)生思維的深度，在數(shù)學(xué)活動當中，學(xué)生所表現(xiàn)出來的深度學(xué)習(xí)會讓他們對知識的理解變得更加深刻，更注重讓自己形成良好的邏輯推理能力與直覺思維能力;三是學(xué)生思維的批判性，在任務(wù)驅(qū)動與問題解決的過程中，不同學(xué)生會基于自己的想法提出不同的知識理解與問題解決思路，在交流的時候，他們對小組成員的觀點更多的是思考之后，再決定是否接納，而不是像傳統(tǒng)小組合作學(xué)習(xí)當中那樣，學(xué)優(yōu)生的觀點“一統(tǒng)天下”.

可以肯定地說，當學(xué)生在數(shù)學(xué)活動的過程當中能夠保證足夠的思維寬度、深度以及批判性，那學(xué)生的深度學(xué)習(xí)就一定能夠發(fā)生.

基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)活動設(shè)計與實施

說到底，數(shù)學(xué)活動是學(xué)生習(xí)得知識、發(fā)展思維的根本途徑. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師必須重視活動的創(chuàng)設(shè)與指導(dǎo)，并以此激發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓學(xué)生真正參與到探究活動中來. 與此同時還可以讓學(xué)生在具體翔實的數(shù)學(xué)活動中養(yǎng)成邏輯思考的習(xí)慣，并逐步形成邏輯思考的意識，進而在具體的數(shù)學(xué)活動中使其邏輯思維獲得生長，使其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)獲得發(fā)展.

勾股數(shù)又被稱為畢達哥拉斯三元數(shù)，其實也就是一個直角三角形三邊長度的數(shù)值. 眾所周知，勾股定理又叫畢達哥拉斯定理，在我國古代的數(shù)學(xué)研究當中，也有“勾三股四弦五”之說，那么相應(yīng)的3，4，5就是勾股數(shù). 除此之外，5，12，13也是容易被學(xué)生記住的勾股數(shù). 但是從教學(xué)經(jīng)驗來看，學(xué)生記住這些基本的勾股數(shù)，往往是重復(fù)運用的結(jié)果，要想讓學(xué)生真正參與一個數(shù)學(xué)活動，并且經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的過程，可以進行如下的教學(xué)設(shè)計.

活動一：利用學(xué)生身邊的情境，初步提出問題.

問題：若正整數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式a2+b2=c2，則這樣的正整數(shù)a，b，c叫作勾股數(shù). 你能寫出多少組勾股數(shù)？

這一步實際上是拓寬學(xué)生思維的廣度，讓學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)過程當中有充足的素材.

活動二：設(shè)計學(xué)生參與的具體活動，引導(dǎo)學(xué)生對勾股數(shù)形成初步感知.

1. 讓學(xué)生通過多種途徑寫出盡可能多的勾股數(shù). 然后教師提出問題：如果要驗證一個數(shù)組是否為勾股數(shù)，有沒有更加簡便的方法？

學(xué)生通過思考后給出的回答往往是：如果數(shù)據(jù)比較小，就可以結(jié)合勾股定理直接判斷;如果數(shù)據(jù)比較大，可以用平方差公式.

2. 進一步提出問題：仔細研究自己和同學(xué)們寫出的勾股數(shù)，看其中是否存在某種規(guī)律？

在教學(xué)實踐當中，學(xué)生一般可以得出這樣的結(jié)論：一組勾股數(shù)，至少有一個偶數(shù). 這實際上是一個非常具有深度的結(jié)論，學(xué)生有了這一發(fā)現(xiàn)之后，認為可以從奇數(shù)、偶數(shù)的角度去研究勾股數(shù).

3. 從特殊走向一般. 即設(shè)a，b，c為一組勾股數(shù)，根據(jù)此前研究得出的規(guī)律進一步探究勾股數(shù)內(nèi)在的規(guī)律. 學(xué)生的證明過程一般來講是這樣的——第一種情況：若a為奇數(shù)，b，c為正整數(shù)，然后探索b，c之間的數(shù)量關(guān)系，以及b，c與a2之間的關(guān)系式. 這個任務(wù)對學(xué)生而言并不困難，此時為了進一步促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，教師可以提出新的問題，比如當a=2n+1（n為正整數(shù)）時，能否寫出一組b，c的值. 第二種情況：若a為偶數(shù)，繼續(xù)用上述思路進行探索.

4. 再次構(gòu)建勾股數(shù)，具體可結(jié)合下式來進行.

（ ? ? ）2+（ ? ? ）2=（ ? ? ）2

（ ? ? ）2-（ ? ? ）2=（ ? ? ）2

這樣學(xué)生就能聯(lián)想到上述式子的形式，進而會想到乘法公式（x+y）2-（x-y）2=4xy，這個時候問題就轉(zhuǎn)化為4xy是什么的平方，學(xué)生在解決這一問題的時候，往往會想到只要設(shè)x=m2，y=n2，就可以得到（m2+n2）2-（m2-n2）2=（2mn）2.

……

事實證明，通過上述教學(xué)設(shè)計的實施，學(xué)生不僅可以經(jīng)歷一個內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)活動過程，也可以經(jīng)歷一個深度學(xué)習(xí)的過程，教學(xué)效果非常理想.

面向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)活動設(shè)計注意點

通過數(shù)學(xué)活動來實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來說，意義是不言而喻的. 在具體的初中數(shù)學(xué)教材探究活動的設(shè)計過程中，一般來講要注意這樣的幾個方面：一是目標確立要準確，防止偏頗現(xiàn)象;二是內(nèi)容選取要恰當，防止泛化現(xiàn)象;三是類型呈現(xiàn)要全面，防止缺失現(xiàn)象.

比如在上面的勾股數(shù)探究的過程中，教師必須跟學(xué)生明確活動的主要目的就是體驗探究得出勾股數(shù)的過程，并找出其中的一般規(guī)律. 因此在具體教學(xué)的時候，教師要記住在給出勾股數(shù)的概念后，讓學(xué)生盡可能多地寫出一些熟悉的勾股數(shù)，便于學(xué)生觀察、體驗和探索勾股數(shù)的規(guī)律. 具體包括讓學(xué)生重點觀察每一組勾股數(shù)，并思考其中三個數(shù)之間存在怎樣的關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生從奇數(shù)、偶數(shù)的角度進行分類討論. 很顯然其中的難點是當a=2n+1（n為正整數(shù)）或a=2n（n為正整數(shù)）時，寫出一組b，c的一般的值. 從深度學(xué)習(xí)的角度來看，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生對具體勾股數(shù)進行觀察、猜想、驗證等活動，并在相應(yīng)的活動中激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 這是一個創(chuàng)造性的過程，有利于發(fā)展學(xué)生的多種數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在上面的探究中，最終得出：當a為奇數(shù)時，通過觀察發(fā)現(xiàn)c-b=1，a2=b+c;當a=2n+1（n為正整數(shù)）時，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1;當a為偶數(shù)時，通過觀察發(fā)現(xiàn)c=b+2，a2=2（b+c）;當a=2n（n為正整數(shù)）時，b=n2-1，c=n2+1. 事實上，當學(xué)生得出這些結(jié)論時，他們是非常有成就感的. 其中一個默會的教學(xué)價值就在于：在這些結(jié)論的推導(dǎo)過程中，學(xué)生會在充分觀察的基礎(chǔ)上，通過自己的努力嘗試構(gòu)造、加強代數(shù)推理，這有效地培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

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