題型拓展，在思維的激活下前行

林彩華

[摘? 要] 文章結(jié)合與圓有關(guān)的輔助線的作法，總結(jié)、研究與圓有關(guān)的解題策略，并開(kāi)展相應(yīng)的實(shí)踐研究. 文章主要通過(guò)題型歸納、題型整合、題型交流三大模塊的內(nèi)容進(jìn)行“圓”這一單元的復(fù)習(xí)，并總結(jié)出了圓的輔助線的幾種作法.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);圓;復(fù)習(xí)課;輔助線;解題策略

與圓有關(guān)的輔助線作法歸納是“圓”這一單元的重點(diǎn)和難點(diǎn). 有的學(xué)生對(duì)圓的知識(shí)點(diǎn)一知半解，導(dǎo)致在具體的解題過(guò)程中出現(xiàn)各種障礙和困惑. 在“圓”這一單元的復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者先通過(guò)題組讓學(xué)生對(duì)本單元的知識(shí)點(diǎn)有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，再結(jié)合具體的例題示范，開(kāi)展相關(guān)的思維拓展，引導(dǎo)學(xué)生形成開(kāi)放的思維模式，在實(shí)踐中總結(jié)多種輔助線的作法. 下面是筆者結(jié)合圓的解題策略，引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線的實(shí)踐研究.

歸納圓的解題策略

1. 題型歸納——遇弦作弦心距或連半徑

與圓有關(guān)的試題屬于幾何題，要想解決幾何題，重在對(duì)題型的歸納. 教師進(jìn)行題型歸納教學(xué)時(shí)，應(yīng)實(shí)施趣味教學(xué). 為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，筆者從課堂設(shè)置問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行回顧. 值得注意的是，學(xué)生獨(dú)立思考時(shí)容易出現(xiàn)一些障礙和困惑，尤其是碰到需要作輔助線的試題，此時(shí)，作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生善于提問(wèn)，鼓勵(lì)學(xué)生積極質(zhì)疑，這是引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考的開(kāi)始. 進(jìn)行圓的題型歸納時(shí)，筆者采用的是問(wèn)題導(dǎo)入結(jié)合題型歸納的方式，讓學(xué)生自主探索、思考，最終，學(xué)生總結(jié)出了一種解題策略：遇弦作弦心距或連半徑.

例1 （1）如圖1，☉O的半徑為10，弦AB=12，M是AB上任意一點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)可能是（? ? ）

A. 5 ? ? ?B. 7? ? C. 9? ? D. 11

（2）如圖2，☉O是△ABC的外接圓，∠B=60°，☉O的半徑為4，則AC的長(zhǎng)等于（? ? ）

A. 4? ? ? ? B. 6

C. 2 ? ? ? ? D. 8

（3）如圖3，AB是☉O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接AC. 若∠CAB=22.5°，CD=8 cm，則☉O的半徑為_(kāi)_____cm.

（4）如圖4，一把寬為2 cm的刻度尺在圓形光盤(pán)上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊與光盤(pán)相切時(shí)，另一邊與光盤(pán)的兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”（單位：cm），那么該光盤(pán)的直徑是______cm.

從上述幾道題中我們發(fā)現(xiàn)，只要作弦心距和連半徑就可以構(gòu)造直角三角形，于是求解邊的長(zhǎng)度問(wèn)題就迎刃而解了. 上述試題不僅能讓學(xué)生體會(huì)到輔助線在解題中的重要性，而且能讓學(xué)生在今后的解題中通過(guò)題目條件，利用相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)添加輔助線，從而快速解決問(wèn)題. 上面幾道題考查的知識(shí)點(diǎn)和考查方式，學(xué)生要引起重視. 碰到只有添加輔助線才能解決的試題，很多學(xué)生會(huì)無(wú)從下手，或者有的學(xué)生所添的輔助線過(guò)于隨意，沒(méi)有科學(xué)根據(jù)，導(dǎo)致輔助線多此一舉，因此，在近幾年的中考中，涉及與圓有關(guān)的輔助線問(wèn)題，學(xué)生失分較多. 針對(duì)這一現(xiàn)象，筆者認(rèn)為，在教學(xué)中，教師可以通過(guò)題組、變式的方式，讓學(xué)生熟記基本模型，找到添加合適輔助線的方法，從而形成解題策略.

2. 題型整合——遇直徑添直徑所對(duì)的圓周角

在定理和性質(zhì)的復(fù)習(xí)中，教師需要通過(guò)不同層次的試題呈現(xiàn)以及同一試題不同的呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生感受定理和性質(zhì)的應(yīng)用. 教學(xué)時(shí)，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)題型的整合，掌握添加輔助線的方法，為解題起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用. 而添加輔助線的法寶是：積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)不同題型的整合，熟悉所學(xué)的知識(shí)點(diǎn).

例2 （1）如圖5，☉O是△ABC的外接圓，∠B=60°，AC=8，則☉O的直徑AD的長(zhǎng)為（? ? ）

A. 16? ? ? ? ? ? ? ?B. 4

C. ? ? ?D.

（2）如圖6，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的☉O交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.

①求證：BE=CE;

②若∠B=70°，求的度數(shù);

③若BD=2，BE=3，求AC的長(zhǎng).

講解例題時(shí)，教師可以讓學(xué)生先審題，然后根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的提示作適當(dāng)?shù)妮o助線，引導(dǎo)學(xué)生邊解題邊回顧所學(xué)的知識(shí). 這種方式有助于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 要解決上面兩道題，不添加輔助線是不行的，而補(bǔ)全直徑所對(duì)的圓周角，是解題的關(guān)鍵. 對(duì)于第（1）題，大部分學(xué)生會(huì)通過(guò)連接DC構(gòu)造直角三角形，然后利用圓周角定理和推論解決;對(duì)于第（2）題，需要連接的輔助線比較多（如圖7），但也是常見(jiàn)的連半徑和補(bǔ)全直徑所對(duì)的圓周角，然后利用方程思想來(lái)解題. 講評(píng)例題時(shí)，教師要讓學(xué)生明白，輔助線可以有多條，且作出相應(yīng)的輔助線能為解題奠定基礎(chǔ).

通過(guò)題型整合，師生共同總結(jié)出了解幾何題的一般步驟：第一步，標(biāo)注條件，即通過(guò)讀題將條件標(biāo)出序號(hào);第二步，標(biāo)注圖形，即把已知條件標(biāo)在圖形中，以便找到相關(guān)的知識(shí)點(diǎn);第三步，分析所求的問(wèn)題與條件之間的聯(lián)系，即明確要解決問(wèn)題，只需要求什么;第四步，根據(jù)需要適當(dāng)添加輔助線;第五步，從條件入手解決問(wèn)題.

幾何題型的步驟總結(jié)，能讓幾何題的解題步驟程序化. 學(xué)生做題時(shí)，雖然按照步驟不一定能走到最后，但至少可以通過(guò)解題步驟，找到部分解題策略，降低空白答題的概率.

3. 題型交流——遇切線連接圓心和切點(diǎn)

在近年來(lái)的教學(xué)改革實(shí)踐中，改革的浪潮可謂一浪高過(guò)一浪. 在改革中，課程改革的核心在于全面提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng). 在教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生除了總結(jié)解題思路而外，還要積極開(kāi)展題型交流，讓學(xué)生從傳統(tǒng)的被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換為主動(dòng)學(xué)習(xí)，并通過(guò)主動(dòng)學(xué)習(xí)、小組討論、經(jīng)驗(yàn)交流等方式，形成學(xué)習(xí)的積極性和能動(dòng)性. 在圓的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)合作交流，總結(jié)出了這種作輔助線的方法：遇切線連接圓心和切點(diǎn). 這類(lèi)題在近年的中考中有所涉及.

例3 （1）如圖8，AB切☉O于點(diǎn)B，OA=2，∠BAO=60°，弦BC∥OA，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____（結(jié)果保留π）.

（2）如圖9，△ABC內(nèi)接于☉O，AB是☉O的直徑，BA的延長(zhǎng)線交☉O的切線PC于點(diǎn)P，OF∥BC，交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF.

①求證：AF是☉O的切線;

②若☉O的半徑為5，AF=4，求線段AC的長(zhǎng).

積極引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中開(kāi)展合作交流，研究解題策略，不僅能讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，還能開(kāi)闊學(xué)生的思維. 學(xué)生通過(guò)交流討論，不難想到第（1）題可通過(guò)連接半徑OB，OC，利用切線的性質(zhì)得到Rt△BOA，再利用一邊一角求半徑和弧所對(duì)的圓心角，從而求出弧長(zhǎng). 對(duì)于第（2）題的第①問(wèn)，要證明AF是☉O的切線，只需要證AF⊥AB. 解題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生用多種方法證垂直，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，另外，教師要給予學(xué)生展示的機(jī)會(huì)，要適時(shí)肯定學(xué)生的解題方法，給予及時(shí)的鼓勵(lì)，并讓學(xué)生在分享中得到快樂(lè)和自信，讓更多的學(xué)生參與到思維碰撞的過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)解題的樂(lè)趣.

對(duì)圓的解題策略研究的幾點(diǎn)反思

1. 活化教學(xué)內(nèi)容，使之成為夯實(shí)基礎(chǔ)的“基本點(diǎn)”

傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課堂難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和能動(dòng)性，主要原因在于，傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課堂難免呆板和生硬，學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣和積極性不高，導(dǎo)致復(fù)習(xí)課堂的教學(xué)成效低. 在當(dāng)前培育核心素養(yǎng)的教學(xué)背景之下，我們應(yīng)力求活化教學(xué)內(nèi)容，使之成為夯實(shí)基礎(chǔ)的“基本點(diǎn)”. 教學(xué)時(shí)，在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，教師可通過(guò)例題示范、學(xué)生交流、題型歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維能力. “圓”這一單元的知識(shí)有一定的深度，有的學(xué)生在具體解題中容易忘記之前所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，所以復(fù)習(xí)課可以采用邊解題邊溫習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的方式，這樣有助于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ). 筆者發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)中，有的學(xué)生喜歡挑戰(zhàn)難題，甚至碰到難度較大的試題都能正確解答，但遇到基礎(chǔ)性的試題稍微變換一下反而犯難了，這就是學(xué)生容易出現(xiàn)的一種典型現(xiàn)象——眼高手低. 要解決這個(gè)問(wèn)題，需要學(xué)生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，及時(shí)檢查，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題. 因此，在單元復(fù)習(xí)中，教師要針對(duì)相應(yīng)單元的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)不同的形式和題目的變形讓學(xué)生真正掌握基礎(chǔ)知識(shí).

2. 活化教學(xué)方法，使之成為學(xué)生發(fā)展的“生長(zhǎng)點(diǎn)”

我們時(shí)常說(shuō)過(guò)程比結(jié)果更重要，而貫穿整個(gè)過(guò)程的方法更是靈魂所在. 在日常教學(xué)中，教師要積極活化教學(xué)方法，使之成為學(xué)生發(fā)展的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，要在不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和提升學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，力求全面提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì). 在圓的解題策略教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展交流和探討，真正活化教學(xué)方法. 教師可以在平時(shí)的教學(xué)中，讓學(xué)生每天輪流講題. 在學(xué)生講題這件事的整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)分析題意，掌握了相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)明晰解題思路，開(kāi)闊了思維，掌握了相應(yīng)的解題策略.

3. 活化教學(xué)時(shí)機(jī)，使之成為學(xué)生發(fā)展的“醒悟點(diǎn)”

學(xué)習(xí)是一個(gè)頓悟的過(guò)程，教師要付諸行動(dòng)和耐心，才能讓學(xué)生在漸行漸悟中形成對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容的深度認(rèn)識(shí)和理解. 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂上，教師要不斷活化教學(xué)時(shí)機(jī)，積極為學(xué)生尋找合適的學(xué)習(xí)時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷領(lǐng)悟. 教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)、歸納解題方法的方式，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維. 此外，教師還可以適當(dāng)給出一些與生活實(shí)際相關(guān)的例題，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)與我們的實(shí)際生活息息相關(guān)，這能讓他們真正體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活又應(yīng)用于生活.

總而言之，師者，所以傳道、授業(yè)、解惑也. 作為教師，在帶領(lǐng)學(xué)生解析知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，要積極引導(dǎo)學(xué)生在具體的解題過(guò)程中總結(jié)試題類(lèi)型，歸納相同類(lèi)型試題的解決策略. 對(duì)于容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生要及時(shí)反思. 有的學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中會(huì)自行收集錯(cuò)題，制成錯(cuò)題集，這樣的話(huà)，復(fù)習(xí)時(shí)可通過(guò)錯(cuò)題集的查詢(xún)和總結(jié)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的回顧與解題提醒. 與此同時(shí)，筆者深深體會(huì)到，作為一名初中數(shù)學(xué)教師，要不斷地總結(jié)、探索新的復(fù)習(xí)模式，向?qū)W生呈現(xiàn)更加精彩、豐富、高效的課堂，以真正讓每一個(gè)學(xué)生都能高效地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.

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