HPM視野下函數(shù)概念的教學(xué)思考

崔恩華 劉愛琴

摘? 要：根據(jù)歷史發(fā)生原理，從學(xué)生的角度選取數(shù)學(xué)史上幾個(gè)關(guān)鍵的函數(shù)概念，研究它們定義的緣由，以及它們之間的聯(lián)系，從本源上對(duì)高中函數(shù)概念和學(xué)生的困惑進(jìn)行深入探討，從而分析出學(xué)生困惑的原因，并給出函數(shù)概念生成的教學(xué)建議和思路，幫助學(xué)生解決困惑，真正理解函數(shù)的本質(zhì).

關(guān)鍵詞：函數(shù);變量;對(duì)應(yīng);集合

一、引言

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，函數(shù)概念形成的過程是曲折且漫長(zhǎng)的，是數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)不斷深化的智慧結(jié)晶，更體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)精神. 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，而函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系，主要價(jià)值在于找出數(shù)量規(guī)律，從而揭示和把握事物之間的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律. 然而，沒有數(shù)量規(guī)律的對(duì)應(yīng)關(guān)系為什么也是函數(shù)呢？函數(shù)為什么是單值對(duì)應(yīng)而不是多值對(duì)應(yīng)？高中函數(shù)為什么要建立在集合上，與初中函數(shù)有什么區(qū)別？這些問題始終困擾著很多學(xué)生，僅僅研究初中和高中教材中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系，或者只是羅列數(shù)學(xué)史上不同時(shí)期的函數(shù)定義無(wú)法解決學(xué)生的困惑. 基于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維過程及困惑與數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家的思維過程及困惑具有相似性，根據(jù)HPM中的歷史發(fā)生原理，本文從學(xué)生的角度選取數(shù)學(xué)史上關(guān)于函數(shù)的幾個(gè)關(guān)鍵定義，深入研究其定義的緣由及定義之間的聯(lián)系，從而分析出學(xué)生困惑的原因，并以此為依據(jù)設(shè)計(jì)出函數(shù)概念生成的教學(xué)思路，使學(xué)生真正理解函數(shù)的概念.

二、函數(shù)概念的本源性分析

1. 什么是對(duì)應(yīng)

函數(shù)起源于科學(xué)的數(shù)學(xué)化，伽利略主張用實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)的方法去研究自然規(guī)律，他在研究靜止物體自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)獲得時(shí)間[t]和對(duì)應(yīng)下落距離[s]的兩組數(shù)據(jù)，兩組數(shù)據(jù)中每對(duì)[s]和[t]的數(shù)據(jù)都服從同一個(gè)規(guī)律，即[s=kt2，] 進(jìn)而揭示出自由落體定律，這也是研究函數(shù)的主要價(jià)值和初衷. 函數(shù)就是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系，這種關(guān)系通常用解析式表示. 歐拉在《無(wú)窮小分析引論》中給出函數(shù)的定義：變量的函數(shù)就是變量和常量用某種方式聯(lián)合在一起的解析式. 這種解析式也包括無(wú)窮項(xiàng)的級(jí)數(shù)，另外，函數(shù)又分為單值函數(shù)和多值函數(shù). 在學(xué)習(xí)高中函數(shù)概念時(shí)，學(xué)生通常無(wú)法準(zhǔn)確說(shuō)出初中函數(shù)的定義，但是能熟練地舉出函數(shù)的例子. 例如，一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等. 然而，從未舉出甚至不愿接納沒有解析式的圖象和表格所表示的函數(shù)，這些都說(shuō)明了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)知起點(diǎn)是解析式，從函數(shù)研究的主要價(jià)值和學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，學(xué)生更愿意接受函數(shù)是解析式.

當(dāng)兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)的兩組數(shù)據(jù)之間沒有規(guī)律時(shí)，無(wú)法用解析式表示，預(yù)示著兩個(gè)變量之間可能沒有依賴關(guān)系，那么，此時(shí)這兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系是不是函數(shù)呢？因?yàn)檠芯績(jī)蓚€(gè)無(wú)關(guān)的變量是件毫無(wú)意義的事情，而且沒有解析式的函數(shù)是無(wú)法研究的，所以當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家稱它為假函數(shù). 另外，一個(gè)解析式被稱為一個(gè)函數(shù)，所以分段函數(shù)被看成多個(gè)函數(shù)，這在當(dāng)時(shí)都是很自然的事情. 歐拉研究弦振動(dòng)時(shí)也遇到了類似的問題，因?yàn)槌跏枷业男螤钍侨我獾?，歐拉意識(shí)到應(yīng)該改變函數(shù)的定義，于是他在《微分學(xué)原理》中給出函數(shù)的另一個(gè)定義：如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后者變化時(shí)，前者也隨之變化，則稱前面的變量就是后面變量的函數(shù). 歐拉提到“在[xy]平面上隨手畫一條曲線就是表示[y]與[x]的函數(shù)關(guān)系”. 雖然歐拉改變函數(shù)定義的做法是對(duì)的，但是沒有說(shuō)服力，因?yàn)楫?dāng)時(shí)普遍認(rèn)為函數(shù)就是解析式，如果把隨手畫的一條曲線能用一個(gè)解析式表達(dá)出來(lái)，那么可以承認(rèn)它是函數(shù)，但是當(dāng)時(shí)對(duì)任意形狀的初始弦能否用三角級(jí)數(shù)表示存在爭(zhēng)議. 以往高中函數(shù)概念的教學(xué)通常給出解析式、圖象、表格這三種問題情境，采取概念形成的方式，即從同類事物的不同例證中抽象出共同的關(guān)鍵屬性，然而這三種情境在學(xué)生眼里并不是同類事物，因?yàn)榻馕鍪阶鳛殛P(guān)鍵屬性把數(shù)量關(guān)系分成有無(wú)規(guī)律的兩類，這也是學(xué)生不愿承認(rèn)沒有解析式的對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的原因. 只要把隨手畫的一條曲線能用一個(gè)解析式表達(dá)出來(lái)，學(xué)生自然愿意接受它是函數(shù)，所以此處適合采取概念同化的教學(xué)方式，而解析式就是概念同化的固著點(diǎn).

如果函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)，那么傅里葉展開式是不是對(duì)于任意函數(shù)都成立呢？答案是否定的，狄利克雷給出了它成立的一個(gè)充分條件，并給出反例：狄利克雷函數(shù)[Dx=1，當(dāng)x為有理數(shù)，0，當(dāng)x為無(wú)理數(shù).] 狄利克雷函數(shù)是無(wú)法用解析式表示的，它也沒有傅里葉展開式，它驗(yàn)證了函數(shù)的本質(zhì)是一種對(duì)應(yīng)而不是解析式. 狄利克雷給出了現(xiàn)在常用的函數(shù)定義：如果對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè)[x]的值有唯一的一個(gè)[y]的值同它對(duì)應(yīng)，那么[y]就是[x]的一個(gè)函數(shù).

因此，初中和高中的函數(shù)定義本質(zhì)上是相同的，不同的是初中的函數(shù)定義是變量對(duì)應(yīng)說(shuō)，高中的函數(shù)定義是集合對(duì)應(yīng)說(shuō)，高中函數(shù)定義更嚴(yán)謹(jǐn)些. 高中函數(shù)概念的教學(xué)通常給出解析式、圖象、表格這三種問題情境，然后提問學(xué)生這三種情境中所對(duì)應(yīng)的關(guān)系是否為函數(shù)，再引導(dǎo)學(xué)生利用集合對(duì)應(yīng)的方式來(lái)體會(huì)函數(shù)是對(duì)應(yīng)的本質(zhì). 然而，初中函數(shù)的學(xué)習(xí)并沒有使學(xué)生突破變量之間依賴關(guān)系的束縛，學(xué)生只能用初中函數(shù)定義中“每一個(gè)[x]對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)[y]”的表面意思去判定函數(shù)，缺少?gòu)耐黄谱兞恳蕾囮P(guān)系的角度去經(jīng)歷“對(duì)應(yīng)”的生成過程，所以學(xué)生很難真正理解函數(shù)的本質(zhì)，自然也無(wú)法接受沒有解析式的圖象和表格所對(duì)應(yīng)的關(guān)系是函數(shù).

2. 函數(shù)為什么是單值對(duì)應(yīng)

3. 函數(shù)為什么建立在集合上

三、函數(shù)概念生成的教學(xué)思路

綜合以上分析，確定函數(shù)概念生成的主要教學(xué)思路是：解析式—變量對(duì)應(yīng)—集合對(duì)應(yīng)，具體過程如下.

問題1：（情境1）伽利略在研究靜止物體自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)獲得的時(shí)間[t]和對(duì)應(yīng)下落距離[s]的數(shù)據(jù)如表1所示.

試問：時(shí)間[t]和對(duì)應(yīng)下落距離[s]之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？它是函數(shù)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】探索兩組數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系是函數(shù)的根源，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)的主要價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，把學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)——解析式作為函數(shù)概念同化的固著點(diǎn).

問題2：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中隨手畫的一條曲線，它存在表達(dá)式嗎？它是函數(shù)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】把任意曲線與學(xué)生熟悉的解析式之間建立實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，通過講解數(shù)學(xué)史的方式打破變量之間數(shù)量規(guī)律的分類標(biāo)準(zhǔn)，轉(zhuǎn)變函數(shù)是解析式的錯(cuò)誤觀念，同時(shí)突破函數(shù)是變量之間的依賴關(guān)系的束縛，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)是對(duì)應(yīng)，感受數(shù)學(xué)家的智慧和數(shù)學(xué)文化.

問題3：若函數(shù)是一種單值對(duì)應(yīng)，那么是不是所有的單值對(duì)應(yīng)都有解析式呢？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生意識(shí)到解析式不等價(jià)于單值對(duì)應(yīng)，體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)是單值對(duì)應(yīng)而不是解析式，感受數(shù)學(xué)文化和科學(xué)精神.

問題4：試判斷下列兩個(gè)情境中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)？

（1）（情境2）某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖如圖2所示.

（2）（情境3）我國(guó)1949—1999年人口數(shù)據(jù)如表2所示.

【設(shè)計(jì)意圖】從多個(gè)角度揭示函數(shù)概念的內(nèi)涵，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)的本質(zhì)是單值對(duì)應(yīng).

可以讓學(xué)生畫出函數(shù)的圖象，通過圖象看出這兩個(gè)函數(shù)是不同的，盡管兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式相同，即對(duì)應(yīng)方式相同，但是[x]的取值范圍不同，導(dǎo)致這兩個(gè)函數(shù)不同，所以有必要說(shuō)明[x]的取值范圍. 用什么來(lái)表示范圍呢？顯然，集合是最合適的，所以我們要把函數(shù)定義在集合上.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)建立在集合上的必要性和數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn).

問題6：把情境1 ～ 情境3中兩個(gè)變量的范圍用集合表示出來(lái)，它們的對(duì)應(yīng)方式分別是什么？

問題7：你能用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)的概念嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力.

四、結(jié)束語(yǔ)

函數(shù)概念的教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和概念發(fā)展過程中的邏輯關(guān)系，應(yīng)該體現(xiàn)函數(shù)的內(nèi)涵和外延在實(shí)際需要和數(shù)學(xué)發(fā)展中不斷變化的過程. 本文的目的不是對(duì)函數(shù)概念數(shù)學(xué)史的完整再現(xiàn)和羅列，而是從教學(xué)的角度去理解數(shù)學(xué)史，再?gòu)臄?shù)學(xué)史的角度去分析教學(xué)，重點(diǎn)做到數(shù)學(xué)史與學(xué)生認(rèn)知的完美結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷概念產(chǎn)生和發(fā)展的過程，有助于學(xué)生更好地掌握概念的內(nèi)涵和外延，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想和科學(xué)精神.

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