“三會”視角下“二次函數(shù)與一元二次方程（1）”教學實錄及評析

許翠莉 王師森 于彬

[摘? 要] 以“二次函數(shù)與一元二次方程（1）”為例，詳細介紹其教學實錄和評析，并給出了“三會”視角下課例設(shè)計的三點思考.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);一元二次方程;三會

近日，在我校數(shù)學組組織的“一課三磨，定向引領(lǐng)，促進青年教師專業(yè)成長”活動中，筆者有幸被選為提升對象，執(zhí)教魯教版“二次函數(shù)與一元二次方程（1）”一課，得到聽課同仁們的一致好評. 這節(jié)課是魯教版九年級上冊第三章第七節(jié)的第一課時，更加注重以“問題串”的形式引導學生利用二次函數(shù)解決方程問題，特別是現(xiàn)實生活中的實際問題，因此本節(jié)課是培育學生抽象、推理、模型等數(shù)學思想的良好載體. 下面以教學實錄的形式進行簡單介紹，并給出幾點思考. 不當之處，敬請指正.

課堂實錄及設(shè)計意圖

1. 情境引入，疑點反思

師：同學們，學習了物理，我們知道，由于萬有引力，在地球上向上拋出物體，它們的運動軌跡是……（教師留白）

生（眾）：拋物線.

師：下面我們就來看一實際問題：將一小球向上拋出，它離地面的高度與運動時間如圖1所示. 請同學們思考，經(jīng)過多少秒小球落地？

生（眾）：8秒.

師：同學們很快給出了答案，那么，你是怎樣想到的？

生1：通過圖1可以看到，當它離地面0米時，用時是8秒.

師：這位同學通過看圖得到8秒，圖像與x軸有幾個交點？交點的坐標是什么？

生2：兩個，分別是（0，0），（8，0）.

師：我們由函數(shù)圖像，從圖形的角度進行了解答. 小明同學在思考的時候不小心將墨水灑到了圖上（如圖2所示），橫軸的數(shù)據(jù)看不清了，你還有其他方法幫助小明求解么？

生3：小球落地時，小球離地面的高度為0米，即h=0. 將h=0代入函數(shù)h= -5t2+40t，得到方程-5t2+40t=0，把方程的根求出來，得到8秒.

師：非常好. 剛才這位同學讓h=0，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成了方程，這是一個什么方程？

生（眾）：一元二次方程.

師：嗯，這里我們通過求方程的根，從代數(shù)的角度進行了解答. 這節(jié)課我們就一起來探究“二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系”（板書課題并出示學習目標）.

師：說到一元二次方程，下面我們先來復(fù)習一下基礎(chǔ)知識. 一元二次方程的一般形式是什么？它的根是怎樣的？

生4：一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）. （若回答的是y=ax2+bx+c，教師糾正）

生5：一元二次方程的根有三種情況：兩個不相等的實數(shù)根，兩個相等的實數(shù)根，無實數(shù)根.

師：嗯，如何判斷一元二次方程根的情況呢？

生6：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0.

師：同學們的基礎(chǔ)知識掌握得很牢固. 我們再回過頭來看一下函數(shù)的圖像，除了與x軸有兩個交點外，還有一個點非常重要，這個點是什么？它的坐標是什么？

生（眾）：頂點，坐標是（4，80）.

師：嗯.

評析? 以學生熟知的拋球情境引入新課，很好地激發(fā)了學生學習的積極性和求知欲. 教師引導學生觀察圖像時，通過不斷地追問，引導學生有方向地思考，培養(yǎng)學生嚴密性思維和邏輯推理能力. 學生利用已有的知識能夠根據(jù)圖像快速得出答案，此時教師趁熱打鐵，抓住學生思維的生長點，創(chuàng)設(shè)墨水污漬情境，給學生制造困難，倒逼學生發(fā)散思維，再次進行思考. 學生不能通過圖像得到答案，求知欲與成功欲促使其不得不去想其他方法. 由于學生已經(jīng)具備了一元二次方程的知識，經(jīng)過教師這一“逼迫”，能夠想到將函數(shù)轉(zhuǎn)化成方程求解. 學生經(jīng)歷了用函數(shù)與方程思想解決同一問題之后，教師向?qū)W生出示了本節(jié)課的課題，增強了學生的學習興趣，讓學生深深地感受到利用數(shù)學知識能更好地解決現(xiàn)實生活中的實際問題. 此外，引導學生回顧了一元二次方程的基礎(chǔ)知識，為突破本節(jié)課的重難點做好了鋪墊.

2. 新知探究，問題反思

師：接下來，我們就通過特例研究二次函數(shù)與一元二次方程之間有怎樣的關(guān)系. 我們先來看函數(shù)y=x2+2x （如圖3所示），觀察其圖像. 該函數(shù)圖像與x軸有幾個交點？交點的坐標是什么？

生7：函數(shù)圖像與x軸有兩個交點，分別是（0，0），（-2，0）.

師：很好. 那我們繼續(xù)思考：利用交點的坐標，你能說出當x取何值時，y=0嗎？

生8：x=0或x=-2.

師：當y=0時，y=x2+2x變成了什么？

生9：一元一次方程x2+2x=0.

師：很棒. 不用計算，請同學們直接說出這個方程的根.

生（眾）：x1=0，x2=-2.

師：體會上面的幾個問題，我們來總結(jié)一下拋物線與x軸交點的坐標與方程的根有什么關(guān)系.

生10：（0，0），（-2，0）;x1=0，x2=-2. 交點的橫坐標等于方程的根.

生11：交點的橫坐標等于方程的根. （重復(fù)了一遍）

師：非常好，同學們齊心協(xié)力，準確簡練地做出了總結(jié)：函數(shù)y=x2+2x與x軸有兩個交點，對應(yīng)方程x2+2x=0有兩個不相等的實數(shù)根. 判別式呢？

生（眾）：b2-4ac>0.

師：嗯. 拋物線與x軸的交點，除了有兩個外，還有哪些情況？

生（眾）：一個交點或沒有交點.

師：很好. 下面我們先看“一個交點”的情況，以函數(shù)y=x2+2x+1的圖像（如圖4所示）為例，同桌兩人相互說說屏幕上的三個問題（略），并類比“兩個交點”的情況后進行總結(jié)（同桌交流，教師巡視，時間2分鐘）. 下面請同桌的一位同學回答問題，另一位同學進行總結(jié)，同桌兩人可以相互補充糾正.

生12：圖像與x軸有一個交點，坐標是（-1，0）.

生13：當函數(shù)y=x2+2x+1與x軸有一個交點時，方程x2+2x+1=0有兩個相等的實數(shù)根，b2-4ac=0.

師：這兩位同學配合得很默契. 最后，我們再來看一下函數(shù)y=x2+2x+2的圖像. （如圖5所示）

生14：圖像與x軸沒有交點，方程x2+2x+2=0無實數(shù)根，b2-4ac<0.

生15：當函數(shù)y=x2+2x+2與x軸沒有交點時，方程x2+2x+2=0沒有實數(shù)根，b2-4ac<0.

師：嗯，以上三種情況是拋物線開口向上時，請同學們思考：當拋物線開口向下時，以上結(jié)論還成立嗎？（如圖6所示）

生（眾）：成立.

評析? 此環(huán)節(jié)是本節(jié)課教學的重難點，教師設(shè)計了三個特殊的例子，以“問題串”的形式引導學生層層深入思考，學生經(jīng)歷了過程探究、問題思考之后有所感悟，教師再引導學生總結(jié). 《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程. ”這樣的設(shè)計充分體現(xiàn)了“學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”. 對于第一個函數(shù)y=x2+2x，教師引導得較細，目的在于引導學生學會探究性學習;有了第一個函數(shù)作為基礎(chǔ)，針對第二個函數(shù)、第三個函數(shù)，教師就完全放手了，讓學生能夠類比學習，自己歸納總結(jié)第二種、第三種情況;以上三個特例是拋物線開口向上的情況，教師以問題的形式引導學生思考拋物線開口向下的情況. 多角度、全方位地思考，由特殊到一般，總結(jié)出規(guī)律，避免了以偏概全，體現(xiàn)了數(shù)學思維的嚴密性和嚴謹性.

3. 歸納總結(jié)，達成反思

師：因此，我們總結(jié)出二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，（交點）三種情況分成幾類？哪幾類？

生16：兩類，有交點和無交點.

師：方程的根呢？

生17：有實數(shù)根和沒有實數(shù)根.

師：所以，當拋物線與x軸有交點時，方程有實數(shù)根，b2-4ac≥0. 那么，同學們能用一句話說清交點的坐標與方程的根的關(guān)系嗎？（以小組為單位，展開討論）

生（眾）：交點的橫坐標是方程的根.

師：同學們討論的結(jié)果非常正確. 給大家一點時間，對照PPT，將學案上的“歸納總結(jié)”補充完整（在師生互動、生生互動中，PPT漸次呈現(xiàn)，如圖7所示）. 同學們掌握了嗎？下面我們通過例題和練習題試一試（略）.

評析? 此環(huán)節(jié)的教學主要是將本節(jié)課的重點系統(tǒng)化，幫助學生建立知識體系，形成知識框架. 有了理論支撐，教師設(shè)計了例題和練習題，讓學生在練習的過程中體會知識的應(yīng)用，鞏固新知.

4. 解決問題，反思方法

師：最后，我們再來看看課堂開始給出的實際問題（如圖8所示），繼續(xù)思考，小球何時離地面的高度為60米？

生（眾）：2秒或6秒.

師：你能得到哪個方程？

生（眾）：-5t2+40t=60.

師：什么時候小球離地面的高度會達到80米？

生（眾）：4秒.

師：你又能得到哪個方程？

生（眾）：-5t2+40t=80.

師：小球離地面的高度能達到90米嗎？為什么？

生18：不能！因為函數(shù)圖像與直線h=90沒有交點.

師：非常棒.

評析? 學生在前面已經(jīng)系統(tǒng)化學習了二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0之間的關(guān)系，能夠深入理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以看作是拋物線y=ax2+bx+c與直線y=0的交點的橫坐標. 此環(huán)節(jié)再次回歸課堂開始給出的實際問題，引導學生用已學的知識回過頭來解決這個實際問題，讓學生感受到數(shù)學來源于生活又服務(wù)于生活. 此環(huán)節(jié)以問題的形式，對本節(jié)課的重難點進行適當延伸，引導學生更深層次地思考，為以后的進一步學習奠定基礎(chǔ).

5. 達標檢測，總結(jié)反思

略.

總評

新課標修訂組組長史寧中教授指出：數(shù)學核心素養(yǎng)的培育要引導學生會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界（簡稱“三會”）. 下面從“三會”的角度對上述設(shè)計進行簡單評析.

1. 會用數(shù)學的眼光觀察世界

數(shù)學來源于生活又服務(wù)于生活. 上述課例從現(xiàn)實生活中的實際問題開始（此時y=0），引導學生用數(shù)學的眼光去觀察這個問題，進而將其抽象為“二次函數(shù)與一元二次方程”相關(guān)的數(shù)學問題，讓學生從“數(shù)”與“形”這兩個角度去思考問題，體現(xiàn)數(shù)學問題的層次性和多樣性. 后面通過回歸生活問題（此時y≠0），引導學生采用類似的方法解決上述問題. 整個過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與類比等數(shù)學思想，教學中教師也應(yīng)該有意識地滲透數(shù)學思維，特別要引導學生學會將生活問題（或其他問題）抽象為數(shù)學問題，進而發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，實現(xiàn)“兩能”到“四能”的突破.

2. 會用數(shù)學的思維思考世界

數(shù)學是思維的體操，數(shù)學教學重在培養(yǎng)學生的思維. 在本節(jié)課的教學中，學生獲得數(shù)學問題之后，教師引導學生首先從前面已經(jīng)熟悉的一元二次方程的角度去思考問題;然后引導學生自行嘗試從剛剛學習的二次函數(shù)的角度去解釋上述問題;隨后，在教師“腳手架”問題的引導下，讓學生自行將一元二次方程和二次函數(shù)組合在一起重新思考問題，進而獲得二者之間的關(guān)系. 順利解決上述特例（y=0）之后，教師放手讓學生獨立探索y≠0的情況，此時例題的拋物線的開口都是向上的，為了體現(xiàn)數(shù)學思維的嚴密性和嚴謹性，于是教師提出了問題：如果拋物線的開口向下，上述結(jié)論還成立嗎？這樣，通過一系列“問題串”的引導和學生的自主探究，學生經(jīng)歷了上述問題完整的解答過程，提升了學生的思維水平，進而實現(xiàn)用數(shù)學的思維思考世界，獲得嚴密的、嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?

3. 會用數(shù)學的語言表達世界

在學生通過自主探究和小組合作獲得相關(guān)結(jié)論之后，能否用自己的語言（數(shù)學語言）表達出來至關(guān)重要. 因此，在本節(jié)課的教學中，教師首先讓學生用自己的語言表述所思所想，然后通過“個人說”“同桌說”“小組說”“全班說”等四個環(huán)節(jié)讓學生逐步完善所思所想，進而完成完整的解決過程. 這不僅培養(yǎng)了學生的表達能力，而且為后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的學習奠定了堅實的基礎(chǔ).