數(shù)學(xué)新定義問題的類型及教學(xué)實(shí)施

盛小青

摘? ?要

近年來“新定義問題”橫空出世，成為各地中考的熱點(diǎn)問題。立足多維視角，從各地中考新定義問題現(xiàn)狀出發(fā)，分析新定義問題的常見類型，思考新定義問題命題和畢業(yè)升學(xué)選拔的的考察價(jià)值，剖析學(xué)生思維層面常見的共性問題，重新審視面對(duì)新定義問題應(yīng)如何秉承培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵能力的目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)，及時(shí)總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，梳理得出可操作、可復(fù)制、可輻射的培養(yǎng)策略。

關(guān)鍵詞

新定義問題? 多維視角? 關(guān)鍵能力? 培養(yǎng)策略

近年來，新定義問題逐漸步入大眾視野，成為各地中考的熱點(diǎn)問題。新定義類型問題的共性特點(diǎn)是題目通過提供一段素材或介紹一個(gè)新概念，或給出一種新的解法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入問題情境，要求學(xué)生在充分閱讀理解材料的基礎(chǔ)上，通過概念理解、性質(zhì)探究、問題解決等有遞進(jìn)順序的學(xué)習(xí)探究方式去尋找解決未知領(lǐng)域問題的新方法和新路徑。每一個(gè)新定義問題都是一個(gè)微型的主題研究項(xiàng)目，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力和學(xué)科關(guān)鍵能力提出了很高的要求，學(xué)生必須在有限時(shí)空內(nèi)經(jīng)歷復(fù)雜的思維碰撞，包括對(duì)新定義內(nèi)容的概念理解、新知內(nèi)化、方法順應(yīng)及運(yùn)用新知解決實(shí)際問題。利用新定義問題進(jìn)行畢業(yè)選拔和考試評(píng)價(jià)更加公平公正，能有效規(guī)避題海戰(zhàn)術(shù)等低效的解題教學(xué)方式大行其道。新定義問題與其他題型試題考察的知識(shí)點(diǎn)互不干涉，獨(dú)立成題，命題者還能依托自己的思考和考察目標(biāo)的需要進(jìn)行自創(chuàng)或改編，賦予新定義問題更多新、奇、特的特點(diǎn)和方式，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思想方法和學(xué)科關(guān)鍵能力的價(jià)值，新定義問題具備的考察優(yōu)勢(shì)和價(jià)值可以有效彌補(bǔ)其他常規(guī)試題的弊端和不足，能更加客觀公正去評(píng)價(jià)和衡量學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，這些都成為新定義問題成為近年中考熱點(diǎn)且還將繼續(xù)發(fā)揮效用的重要原因。

一、新定義問題的類型

1.基本運(yùn)算類新定義題

基本運(yùn)算類新定義題是指在已有運(yùn)算形式基礎(chǔ)上引入新的運(yùn)算符號(hào)或者新的運(yùn)算規(guī)則，借助新的符號(hào)或者新的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的一類問題?；具\(yùn)算類新定義題要求學(xué)生能熟練運(yùn)用新數(shù)學(xué)規(guī)則進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算、思維、推理、驗(yàn)證。

例1（2020·重慶） 在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)——“好數(shù)”。

定義：對(duì)于三位自然數(shù)n，各位數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個(gè)位數(shù)字整除，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“好數(shù)”。

例如：426是“好數(shù)”，因?yàn)?，2，6都不為0，且4+2=6，6能被6整除;643不是“好數(shù)”，因?yàn)?+4=10，10不能被3整除。

（1）判斷312，675是否是“好數(shù)”？并說明理由;

（2）求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個(gè)數(shù)，并說明理由。

2.幾何圖形類新定義題

幾何圖形類新定義題是在學(xué)生已有幾何圖形學(xué)習(xí)的知識(shí)架構(gòu)的基礎(chǔ)上，引入富有美感且與常見的多邊形概念及其性質(zhì)研究高度相關(guān)的新型幾何圖形的一類問題。通過理解新型幾何圖形概念、探究圖形性質(zhì)、解決實(shí)際問題考察學(xué)生幾何直觀、空間想象和借助圖形語言進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的思維品質(zhì)。

例2（2020·南通）

【了解概念】

有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對(duì)余線。

【理解運(yùn)用】

（1）如圖①，對(duì)余四邊形ABCD中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC.若AC=AB，求sin∠CAD的值;

（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2=CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否為對(duì)余四邊形。證明你的結(jié)論。

【拓展提升】

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，點(diǎn)E在對(duì)余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC=90°+∠ABC.設(shè)■=u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請(qǐng)直接寫出u關(guān)于t的函數(shù)解析式。

3.函數(shù)類新定義題

函數(shù)類新定義題依托新型函數(shù)問題情境，綜合考察學(xué)生遷移運(yùn)用在學(xué)習(xí)已有函數(shù)模型基礎(chǔ)上積累的經(jīng)驗(yàn)對(duì)新型函數(shù)概念及其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行類比研究的一類問題。函數(shù)類新定義題旨在遷移建構(gòu)和類比探究中進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析和發(fā)散性思維培養(yǎng)。

例3（2020·鎮(zhèn)江二模） 我們定義：把y2=ax叫做函數(shù)y=ax2的伴隨函數(shù)。比如：y2=x就是y=x2的伴隨函數(shù)。數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)函數(shù)的一種重要方法，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2（a≠0的常數(shù)），若點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y=ax2的圖像上，則點(diǎn)（-m，n）也在其圖像上，即從數(shù)的角度可以知道它的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。解答下列問題：

（1）y2=x的圖像關(guān)于_____軸對(duì)稱;

（2）①直接寫出函數(shù)y=4x2的伴隨函數(shù)的表達(dá)式______;

②在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=4x2的伴隨函數(shù)的大致圖像;

（3）若直線y=kx-3k（k≠0）與y=4x2的伴隨函數(shù)圖像交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），連接OA、OB，且△ABO的面積為12，求k的值;

（4）若直線CD（CD不平行于y軸）與y=ax2（a>0的常數(shù)）的伴隨函數(shù)圖像交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C、D分別在第一、四象限），且∠COD=90°，試問C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的積是否為常數(shù)？如果是，請(qǐng)給予證明;如果不是，請(qǐng)說明理由。

二、新定義問題的教學(xué)實(shí)施

新定義問題具有不可控及無法預(yù)設(shè)的現(xiàn)實(shí)特點(diǎn)，教學(xué)中探索提升解決新定義問題能力的解題策略和教學(xué)路徑顯得非常必要且迫切。通過教學(xué)中對(duì)概念的分解與解讀、數(shù)據(jù)的提取與分析、幾何直觀與構(gòu)思圖形的能力培養(yǎng)、關(guān)注猜想與合情推理，加強(qiáng)常態(tài)思維與發(fā)展性思維能力并舉，化解新定義問題的難度，在潛移默化中不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)突破重難點(diǎn)的思路，運(yùn)用掌握的數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力去揭開新定義問題的神秘面紗，抽絲剝繭，排除干擾，直達(dá)問題本質(zhì)。