一維諧振子勢(shì)阱中的理想量子氣體

侯吉旋

(東南大學(xué)物理學(xué)院,江蘇 南京 211189)

隨著低溫技術(shù)的發(fā)展,玻色-愛(ài)因斯坦凝聚在1995年已經(jīng)被實(shí)現(xiàn)[1-3]。低溫下的量子系統(tǒng)已經(jīng)成為物理學(xué)界的研究熱點(diǎn)。被囚禁于光學(xué)勢(shì)阱中的粒子間的相互作用,可以方便地通過(guò)Feshbach共振技術(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)[4,5],因此低溫量子系統(tǒng)成為了檢驗(yàn)各種理論的一個(gè)非常干凈的對(duì)象。將量子氣體束縛在三維非對(duì)稱勢(shì)阱中,如果其中兩個(gè)維度束縛得很緊以至于不會(huì)在這兩個(gè)維度上產(chǎn)生激發(fā),那么就構(gòu)成了準(zhǔn)一維量子系統(tǒng).對(duì)于一維諧振子勢(shì)阱中的玻色體系和費(fèi)米體系,已引起人們的廣泛興趣[6-16]。另外,一維諧振子勢(shì)阱中的無(wú)相互作用的量子氣體是統(tǒng)計(jì)物理中少有的能夠精確計(jì)算其微觀狀態(tài)數(shù)的系統(tǒng),對(duì)統(tǒng)計(jì)物理教學(xué)也頗有意義。本文將利用微正則系綜來(lái)研究一維諧振子勢(shì)阱中的理想玻色氣體和費(fèi)米氣體,并指出它們的等效性。

考慮一個(gè)囚禁于一維諧振子勢(shì)阱中無(wú)相互作用的量子系統(tǒng),能級(jí)間距為ε.為方便起見(jiàn),我們選取基態(tài)為能量零點(diǎn)。在微正則系綜中,粒子數(shù)N和系統(tǒng)總能量E是確定的,滿足這個(gè)條件的不同能級(jí)的布居數(shù)組合{n0,n1,…,n i,…}對(duì)應(yīng)于不同的微觀狀態(tài),對(duì)于玻色系統(tǒng)n i≥0,對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng)0≤n i≤1。于是不同的微觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)于方程組

的不同非負(fù)整數(shù)解,其中m≡E/ε為激發(fā)子的個(gè)數(shù)。對(duì)于任意正整數(shù)m,當(dāng)m≤N時(shí),本問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為正整數(shù)拆分問(wèn)題。例如當(dāng)m=3≤N時(shí),有三種拆分方式:m=3,m=2+1以及m=1+1+1,等號(hào)右邊的正整數(shù)按照從大到小排列。上述三種拆分方式分別對(duì)應(yīng)于玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)為{N-1,0,0,1,0,0,…},{N-2,1,1,0,0,…}和{N-3,3,0,0,…},如圖1(a)所示。對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng),可將拆分出來(lái)的正整數(shù)激發(fā)子數(shù)量從左到右依次分配給能量最高的費(fèi)米子、能量其次的費(fèi)米子、能量再次的費(fèi)米子……,以此類推。例如m=2+1表示將處于費(fèi)米面上的粒子向上遷移兩個(gè)能級(jí),將能量?jī)H次于費(fèi)米面的粒子向上遷移一個(gè)能級(jí)至費(fèi)米面上,如圖1(b)所示.求解正整數(shù)m的拆分方式的個(gè)數(shù)p(m)的問(wèn)題最早由歐拉提出,Rademacher在1937年給出了p(m)的精確表達(dá)式[17]。當(dāng)m＞N時(shí),受到粒子數(shù)的限制,這時(shí)可能的拆分方式的個(gè)數(shù)p N(m)要小于p(m)。例如當(dāng)m=3而N=2時(shí),就只有兩種拆分方式:m=3和m=2+1,與之對(duì)應(yīng)的玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)為{1,0,0,1,0,0,…}和{0,1,1,0,0,…}。

圖1 量子系統(tǒng)的基態(tài)與激發(fā)態(tài)(圖示為N=6,m=3的情形)

由上述討論可見(jiàn),擁有相同的粒子數(shù)N和能量m的一維諧振子勢(shì)阱中的玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng),具有相同的微觀狀態(tài)數(shù)p N(m)。因此一維諧振子勢(shì)阱中的玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)在熱力學(xué)上是完全等價(jià)的。據(jù)本文作者所知,這種等價(jià)性最早是在2000年Sch?nhammer推導(dǎo)出兩個(gè)系統(tǒng)擁有完全相同的巨配分函數(shù)指出的[16]。由于一維諧振子系統(tǒng)的態(tài)密度不隨能量改變,可知任何系統(tǒng)只要態(tài)密度為常數(shù),那么這個(gè)系統(tǒng)中的理想玻色氣體和理想費(fèi)米氣體在熱力學(xué)性質(zhì)上就是等價(jià)的。例如,二維平面上的自由粒子的能量為εp=p2/2μ,由pdp=μdε可知其態(tài)密度為常數(shù),于是二維平面上的自由玻色氣體和自由費(fèi)米氣體熱力學(xué)性質(zhì)相同。

p(m)的精確表達(dá)式太過(guò)復(fù)雜因而難以使用,現(xiàn)在已經(jīng)知道當(dāng)m→∞時(shí)p(m)的漸進(jìn)形式[18]

在得到系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)p N(m)后,就可以得到系統(tǒng)的熵

其中kB為玻耳茲曼常數(shù),進(jìn)而得到系統(tǒng)的溫度

當(dāng)m?N時(shí),利用式(4)和斯特林公式,可知能量和溫度成線性關(guān)系

這也正是能量均分定律給出的結(jié)果。

基于微正則系綜,本文提供了囚禁于一維諧振子勢(shì)阱中無(wú)相互作用的量子系統(tǒng)的各熱力學(xué)量的計(jì)算方法,并指出該系統(tǒng)中的理想玻色氣體與理想費(fèi)米氣體的等價(jià)性。鑒于統(tǒng)計(jì)物理里能夠在微正則系綜中精確求解的例子不多,本文可以為統(tǒng)計(jì)物理的初學(xué)者提供必要的參考。