第50屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽理論試題2介紹與解答

蔣 碩 郭旭波 安 宇 張留碗 阮 東

(清華大學(xué)物理系,北京 100084)

第50屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽于2019年7月7日至15 日在以色列特拉維夫舉行,共有76個(gè)國(guó)家300多名中學(xué)生選手參加。由清華大學(xué)物理系率領(lǐng)代表中國(guó)參賽的5名中學(xué)生全部獲得了金牌[1],并取得了團(tuán)體總分第一、個(gè)人總分第一,個(gè)人理論和個(gè)人實(shí)驗(yàn)總分第一的優(yōu)異成績(jī)。本次競(jìng)賽理論試題共三道,每道10分。其中第二道關(guān)于微波爐工作與食品加熱原理的問題[2]很有意思。微波爐是大家日常生活中都用過的電器,但對(duì)它的工作原理卻未必都熟悉。其實(shí)微波爐的發(fā)明就是二戰(zhàn)時(shí)雷達(dá)研究的副產(chǎn)品。雷達(dá)的核心器件是產(chǎn)生射頻電磁波的磁控管(magnetron)。在當(dāng)時(shí)磁控管調(diào)試中,研究者PercySpencer發(fā)現(xiàn)口袋中的巧克力被加熱融化,進(jìn)而發(fā)明了微波爐[3]。在本次競(jìng)賽中,出題委員會(huì)將微波爐中的磁控管進(jìn)行了模型簡(jiǎn)化,定性和定量地探究它的工作原理,全面考查電磁學(xué)的內(nèi)容;并利用電磁波與水分子作用(受激電偶極子模型),研究微波加熱食物的機(jī)制。題目貼近生活同時(shí)全方位考查基礎(chǔ)物理知識(shí),本文將對(duì)它進(jìn)行詳細(xì)的介紹與解答。

1 題目:微波爐的物理

這個(gè)題目是關(guān)于微波爐中微波的產(chǎn)生,及其加熱食物的用途。微波是在一個(gè)被稱為磁控管的裝置中產(chǎn)生的。Part A 是關(guān)于磁控管的原理,PartB是食物對(duì)微波的吸收。

PartA:磁控管的結(jié)構(gòu)與原理(6.6分)

磁控管是用來產(chǎn)生微波輻射的裝置,可產(chǎn)生脈沖(用于雷達(dá))或連續(xù)(比如在微波爐中)的微波。磁控管有一種自放大的振蕩模式。對(duì)磁控管加上靜態(tài)(非交流)電壓可很快地激發(fā)這一模式。產(chǎn)生的微波輻射再從磁控管輸出。

典型的微波爐磁控管由銅質(zhì)實(shí)心圓柱形陰極(半徑為a)和環(huán)繞它的陽極(半徑為b)組成。陽極為較厚的圓柱外殼形狀,并鉆有多個(gè)圓柱型空腔。這些空腔被稱為“諧振腔”。其中一個(gè)諧振腔連接到天線,把微波能量發(fā)射輸出。在下面的題目中忽略天線。所有內(nèi)部空間都在真空中?？紤]圖1(a)顯示的一種典型的具有8個(gè)諧振腔的磁控管。圖1(b)所示為單個(gè)諧振腔的三維結(jié)構(gòu)。如圖所示,八個(gè)腔中的每一個(gè)都表現(xiàn)為電感—電容(LC)諧振器,其諧振頻率為f=2.45GHz。

沿著磁控管軸向施加一個(gè)靜態(tài)均勻磁場(chǎng),指向頁面外(圖1(a))。在陽極和陰極之間還施加一個(gè)恒定電壓。從陰極發(fā)射的電子達(dá)到陽極使其帶電,因而激發(fā)出一個(gè)振蕩模式,該模式中,每?jī)蓚€(gè)相鄰諧振腔之間的電荷的符號(hào)是相反的。諧振腔可以放大這種振蕩。

圖1 磁控管簡(jiǎn)化示意圖

上述過程在陰極和陽極之間產(chǎn)生了一個(gè)交變的電場(chǎng)(圖1(a)中的灰線;靜電場(chǎng)部分未畫出),其交變頻率為前述的f=2.45GHz。這個(gè)交變的電場(chǎng)疊加在恒定電壓引起的靜電場(chǎng)上。陽極和陰極之間的交變電場(chǎng)的典型振幅約為靜電場(chǎng)的1/3。電子在陰極和陽極之間的運(yùn)動(dòng)受到靜電場(chǎng)與交變電場(chǎng)的共同作用。這使得到達(dá)陽極的電子將它們從靜電場(chǎng)獲得的大約80%的能量轉(zhuǎn)換為交變場(chǎng)。少數(shù)發(fā)射出的電子返回到陰極后釋放出更多的電子,進(jìn)一步放大了交變場(chǎng)。

每個(gè)諧振器都可認(rèn)為有電容和電感,如圖1(b)所示。該電容主要來自諧振器表面的平面部分,而電感來自圓柱形部分。假定諧振器中的電流均勻地沿著圓柱形諧振腔的表面流動(dòng),且該電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度是理想無限長(zhǎng)螺線管的0.6 倍。圖1(b)給出了諧振器的幾何參數(shù)及其數(shù)值。真空介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε0=8.85·10-12F m和。

A.1(0.4分):用上述數(shù)據(jù)計(jì)算諧振器的諧振頻率f。(你的計(jì)算結(jié)果可能會(huì)與題目給出的實(shí)際值f=2.45GHz不同。在下面的問題中使用題目給出的實(shí)際值。)

我們現(xiàn)在再來討論磁控管的情況。陰極和陽極之間的距離是15mm。由于前述的能量的損失,假設(shè)每個(gè)電子的最大動(dòng)能不超過Kmax=800eV。靜磁場(chǎng)的強(qiáng)度為B0=0.3T。電子的質(zhì)量和電荷分別為m=9.1·10-31kg 和-e=-1.6·10-19C。

A.3(0.4分)在一個(gè)參照系中數(shù)值估算電子運(yùn)動(dòng)軌跡的最大半徑,該參照系中電子的運(yùn)動(dòng)近似為圓形,且該參照系近似為慣性系。

A.4(1.2分)圖2所示為某一時(shí)刻陽極和陰極之間的交變電場(chǎng)線(靜電場(chǎng)電場(chǎng)線未畫出)。在答題紙中指出此時(shí)刻在A、B、C、D和E處的電子,哪些電子會(huì)飄向陽極,哪些會(huì)飄向陰極,哪些電子的漂移方向完全垂直于半徑方向。

圖2 陽極與陰極之間的交變電場(chǎng)

圖3所示為某一時(shí)刻陽級(jí)和陰極之間的交變電場(chǎng)線(靜電場(chǎng)電場(chǎng)線未畫出)。A、B、C、D、E和F為該時(shí)刻6個(gè)電子的位置。所有電子距陰極的距離相同。

圖3 另一時(shí)刻陽極與陰極間交變電場(chǎng)

A.5(1.2分)考慮圖3中的情況,對(duì)于6個(gè)電子對(duì)AB、AC、BC、DE、DF、EF中的每個(gè)電子對(duì),在答題紙中指出該時(shí)刻它們的漂移是否會(huì)導(dǎo)致它們與陰極中心O的連線的夾角增大或減小。

在問題A.5中會(huì)發(fā)現(xiàn)有一種聚焦機(jī)制,將陰極和陽極間的電子會(huì)聚成輻條形狀。圖4描繪了一個(gè)這樣的輻條,用S標(biāo)出。

A.6(0.8分)在答題紙中繪出此時(shí)刻的其他輻條們。用箭頭們標(biāo)出它們的旋轉(zhuǎn)方向,并計(jì)算它們的平均角速度ωs。

假設(shè)陰極和陽極之間的中點(diǎn)處的總電場(chǎng)等于從陰極到陽極的徑向靜電場(chǎng)的平均值,并且在該中點(diǎn)的輻條大致是沿徑向的。陰極和陽極的半徑(a和b)見圖4。

圖4 陽極陰極間電子匯聚輻條示意圖

A.7(1.1分)寫出使磁控管以上述方式工作所需的靜電壓V0的近似表達(dá)式。(你計(jì)算得到的電壓值是磁控管工作所需的最小值。最優(yōu)工作電壓會(huì)更高一些。)

PartB:微波輻射與水分子的作用(3.4分)

這部分我們利用微波輻射(從磁控管的天線輻射進(jìn)微波爐的食品室)來烹飪,就是加熱一種有損耗的介電材料,比如純凈水或者鹽水(鹽水可以看作湯的模型)。

電偶極子模型是一對(duì)大小相同的正負(fù)電荷q與-q間隔一段距離d,電偶極矩矢量從負(fù)電荷指向正電荷,大小為p=qd。

B.1(0.5分)寫出下列表達(dá)式:電場(chǎng)作用在電偶極子上的力矩的大小τ(t),以及電場(chǎng)傳輸給電偶極子的功率的大小H i（t）。用p0,E（t）,θ（t）和它們的導(dǎo)數(shù)來表示。

水分子是有極性的,因此可以當(dāng)成電偶極子來處理。但由于在液態(tài)水分子之間強(qiáng)大的氫鍵,我們不能將水分子視為各自獨(dú)立的偶極子。因而我們應(yīng)該考慮極化矢量P(t),它是偶極矩密度(單位體積的水分子的平均電偶極矩)。極化矢量P（t）平行于作用在該處的局域交變電場(chǎng)(由微波產(chǎn)生),E(t),并隨時(shí)間振蕩,振蕩幅度正比于局部交變電場(chǎng)的幅度,但有相位滯后δ0。

B.2(0.5 分)寫出單位體積的水吸收功率的時(shí)間平均值〈H（t）〉的表達(dá)式。含時(shí)的周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間平均值的定義為

現(xiàn)在考慮微波輻射在水中的傳播。水的相對(duì)介電常數(shù)(在電磁場(chǎng)頻率下)為εr,相應(yīng)的水的折射率為,電場(chǎng)的瞬時(shí)能量密度為。磁場(chǎng)與電場(chǎng)的時(shí)間平均能量密度相等。

B.3(1.1分)用I（z）來表示輻射能量通量密度(energy fluxdensity)的時(shí)間平均(即單位面積上的平均輻射功率流)。這里z是進(jìn)入水的深度,輻射沿z方向傳播。寫出該通量密度I（z）對(duì)z的依賴關(guān)系式,該通量密度在水表面的值I0可以出現(xiàn)在結(jié)果中。

位相差δ是由于水分子間的相互作用導(dǎo)致的結(jié)果。位相差取決于無量綱的介電損耗系數(shù)εl和相對(duì)介電常數(shù)εr(兩個(gè)常數(shù)都與微波輻射的角頻率ω和溫度有關(guān)),且具有以下關(guān)系:tanδ=εl/εr。當(dāng)δ足夠小時(shí),在水中深度為z處的電場(chǎng)為

其中k0=ω/c,c=3.0×108m/s是真空光速。

B.4(0.6分)在tanδ≈sinδ近似關(guān)系下,利用其他參數(shù)寫出B.2問中系數(shù)β的表達(dá)式。

圖5畫出了純水(實(shí)線)和稀鹽水(虛線)的εl(深色)與εr(淺色),在幾個(gè)不同的溫度下,隨波長(zhǎng)或頻率的變化。箭頭指示了從0～100℃的各曲線.角頻率ω在圖中用一條粗的豎直線標(biāo)出,下面我們只考慮微波輻射在此頻率時(shí)的情形。

圖5 純水(實(shí)線)和稀鹽水(虛線)的εl(深色)和εr(淺色),在不同溫度隨波長(zhǎng)的變化

B.5(0.7分)利用圖5回答下列問題:

1.對(duì)于20℃的純水,計(jì)算出進(jìn)入深度z1/2的值,z1/2是指在這一深度時(shí)單位體積的功率是z=0表面處的一半。

2.在答題紙中指明微波照射純水時(shí),隨溫度升高,進(jìn)入深度是增加,減少還是保持不變。

3.在答題紙中指明微波照射湯(稀鹽水)時(shí),隨溫度升高,進(jìn)入深度是增加,減少還是保持不變。

2 題目解答與點(diǎn)評(píng)

磁控管的處理,若用電動(dòng)力學(xué)中給定陰極陽極電壓V,和沿著管軸向垂直于紙面(圖1)的磁場(chǎng)B,以及磁控管的形狀(邊界條件),理論上是可以計(jì)算電磁場(chǎng)分布以及電子在其中的運(yùn)動(dòng),但非常復(fù)雜,這不是本題的目的。題目的巧妙之處,是將復(fù)雜的理論計(jì)算進(jìn)行了模型簡(jiǎn)化,使得物理圖像更清晰。所以這里先談?wù)勥@個(gè)物理圖像。

如圖6(a)所示,陰極(中間銅軸)和陽極(外部銅殼,但被鉆有諧振腔),外加電壓(陰陽極間的靜電場(chǎng))后電子會(huì)從陰極飄向陽極,對(duì)陽極充電。由于諧振腔帶有電感L電容C,形成了LC 電路,會(huì)產(chǎn)生電荷分布的振蕩。所以電子在陽極的分布雖然有對(duì)稱,卻不是均勻的。電荷會(huì)形成圖6(b)中顯示的各諧振腔間正負(fù)交替分布,并產(chǎn)生交變電場(chǎng)。在外加垂直磁場(chǎng)和諧振腔產(chǎn)生的交變電場(chǎng)共同作用下,電子進(jìn)而會(huì)產(chǎn)生如圖6(b)的聚焦現(xiàn)象。電子流(圖6(b)中的“觸手”)在某一時(shí)刻如圖6(b)顯示那樣會(huì)集中在幾個(gè)方向。隨著諧振腔LC振蕩引起的電場(chǎng)交變變化,以及外加靜電場(chǎng)的作用下,電子流會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn),進(jìn)而輻射出電磁波(微波)。這部分在題目的導(dǎo)言中有論述,這里結(jié)合圖6希望做出更清晰的解釋,對(duì)于解題和理解答案有所幫助。

2.1 LC電路計(jì)算

A.1問:如圖1(b)所示的LC電路,它的諧振頻率為

圖6 磁控管陽極陰極間電場(chǎng)與電子的分布示意

L、C分別為諧振腔的電感與電容,所以要計(jì)算L、C。題目中描述了電容主要來自諧振器表面的平面部分,而電感來自圓柱形部分,圖1b給出了尺寸數(shù)據(jù)。電容相當(dāng)于:長(zhǎng)h=17.5mm,寬l=6mm,間距d=1mm 的平板電容(用無限平板近似),其電容值C

圓柱電感依題意相當(dāng)于半徑為R=6mm 螺線管,但電流等效為0.6I。磁場(chǎng)強(qiáng)度B

I為環(huán)繞腔體的總電流,I/h相當(dāng)于螺線管電流線密度。磁通量:πR2B,則電感L

帶入諧振頻率式(3)以及l(fā),h,d,R數(shù)值,可知估算的頻率f est

如題所述,這一估算頻率與實(shí)際頻率f=2.45GHz有所不同,后面計(jì)算中使用的是實(shí)際頻率。本問考查了電磁學(xué)中電容,電感和LC 電路的基本知識(shí)。

2.2 電子在電場(chǎng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

綜上,可以畫出兩種不同初始速度下運(yùn)動(dòng)的軌跡(深色,淺色分別代表初始條件1,2)如圖7所示:

圖7 不同初始速度下電子回旋運(yùn)動(dòng)的軌跡

從計(jì)算結(jié)果可知:相比于磁控管陰極陽極之間的距離(15mm),回旋半徑很小;因而在后面的問題中我們可以忽略電子的回旋運(yùn)動(dòng)而只關(guān)注漂移運(yùn)動(dòng)。這大大簡(jiǎn)化了下面對(duì)于電子聚焦的處理。

2.3 電子束的聚焦與旋轉(zhuǎn)

A.4問:如上文中我們發(fā)現(xiàn)電子在磁控管陰極陽極間的運(yùn)動(dòng)可以近似當(dāng)作純的漂移運(yùn)動(dòng)而忽略其回旋。而在A.2 問的分析中我們又知道:;方向與E×B同向。本問中關(guān)心的是電子速度的徑向分量,磁場(chǎng)B垂直之面朝外,因此只有電場(chǎng)E的切向分量影響電子徑向速度。靜電場(chǎng)部分沒有切向分量,所以我們只需考慮交變電場(chǎng)部分。如果它的切向分量順時(shí)針,電子漂移速度將指向陰極;若電場(chǎng)切向分量逆時(shí)針,電子將飄向陽極;若無電場(chǎng)切向分量,則電子運(yùn)動(dòng)完全垂直徑向。

從圖8中可看出,A,B點(diǎn)處的電子將飄向陰極;而C,D,E處的電子飄向陽極。本問完全不需要計(jì)算,但是考查上面分析中的物理圖像。

圖8 A、B 處的淺色線標(biāo)出交變電場(chǎng)此時(shí)的方向

A.5問:本問是要考慮圖3中各電子漂移速度的切向分量,進(jìn)而判段題目中的電子對(duì)是否匯聚(相對(duì)中心夾角減少)或發(fā)散(夾角增大)。而速度的切向分量,則取決于圖3中各位置電場(chǎng)的徑向分量。又因?yàn)閳D中各點(diǎn)到中心的距離一樣,所受徑向靜電場(chǎng)相同(指向中心的靜電場(chǎng)會(huì)使各電子具有逆時(shí)針的漂移速度分量,但這一速度對(duì)所有同一半徑上的電子都一樣),所以電子的匯聚與發(fā)散將只取決于交變電場(chǎng)的徑向分量。

參見圖3,若交變電場(chǎng)的徑向分量是指向中心,會(huì)使那里的電子漂移速度有逆時(shí)針分量,如C,D處;若徑向分量指離中心,會(huì)使那里的電子漂移速度有順時(shí)針分量,如A,F處;在B,E處的交變電場(chǎng)徑向分量近似為0,那里電子沒有額外的切向速度分量。

從上面的分析中不難看出題目所問的答案:

AB、BC、AC電子對(duì)之間角度會(huì)減少,這里電子被匯聚(聚焦)。

DE,EF,DF電子對(duì)之間角度會(huì)增大,電子發(fā)散。

A.6問:圖4只是畫出了聚焦的電子輻條的一部分(A.5問的ABC區(qū)間);從腔的對(duì)稱設(shè)計(jì)來看,電子會(huì)在相鄰的兩個(gè)腔之間的區(qū)域交替匯聚,發(fā)散;所以如圖9所示,共有4個(gè)匯聚的輻條。在靜電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下,整體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

LC的振蕩使得相鄰腔之間正負(fù)電荷交替變化,如圖9中時(shí)刻,如果經(jīng)過1/2的LC周期,正負(fù)電荷分布(參見圖3或圖6(b))正好對(duì)調(diào);匯聚輻條的輻條會(huì)移到初始時(shí)刻發(fā)散的地方(旋轉(zhuǎn)π/4);或者經(jīng)過一個(gè)LC 周期T,輻條會(huì)旋轉(zhuǎn)到原來相鄰輻條的位置,即旋轉(zhuǎn)π/2。

圖9 電子匯聚輻條示意圖

已知LC 振蕩頻率f=2.45GHz,則輻條旋轉(zhuǎn)的角頻率(角速度)

A.7問:要使得磁控管以這樣的方式工作,就要讓匯聚的輻條以A.6問中的角速度旋轉(zhuǎn)。這樣恰好同LC的振蕩匹配,形成共振。這個(gè)整體旋轉(zhuǎn)的速度如前所述,將取決于陰極陽極間的靜電場(chǎng)大小。通過外加電壓V0,使得電子的切向漂移速度正好與A.6中電子輻條旋轉(zhuǎn)相匹配,這是最佳的共振條件。這里近似用線性處理,考慮從陰極到陽極的一半距離:r=(a+b)/2處。給定電壓V0,這里的電場(chǎng)為:E=V0/(b-a);此處電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)B0引起的漂移速度為:u D=E/B0=V0/[（b-a）B0]。角速度:ω=u D/r=2V0/[B0（b2-a2）]=ωs,得到V0表達(dá)式

2.4 微波與水分子的作用

PartB所考查的是電磁波與物質(zhì)作用的電偶極子經(jīng)典模型:電偶極子在電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下受迫振動(dòng),電場(chǎng)對(duì)電偶極子做功,因而產(chǎn)生電磁波的吸收。有了這樣的圖像,本部分幾問都不算太難。

B.1問:本問就是求外加電場(chǎng)對(duì)電偶極子做的功。題中電場(chǎng)沿著x方向,電偶極子p0與之夾角為θ(t) ;電偶極子在電場(chǎng)力矩下做擺動(dòng)式振動(dòng)):電場(chǎng)作用在它上面的力矩為

功率是力矩乘以角速度

p x（t）是偶極子的x分量。

B.2問:對(duì)式(6) (偶極子變?yōu)闃O化率) 做時(shí)間平均,用題目給出的電場(chǎng)與偶極子的表達(dá)式。注意到此時(shí)的偶極子沿電場(chǎng)方向(即x方向),因此P x（t）=βε0E0sin(ωt-δ)

B.3問:電磁學(xué)中能流密度(也有叫光強(qiáng))I是Poynting矢量的時(shí)間平均,本題可以通過Poynting矢量寫出[5]。題目中給出電場(chǎng)能量密度,并告知磁場(chǎng)能相同;所以題目本意應(yīng)是讓學(xué)生用能流密度定義,即能量密度乘以傳播速度來求解:

電磁場(chǎng)能量密度為

在介質(zhì)中傳播速度為:c/n;則能流密度

由于有吸收,電磁場(chǎng)在水中傳播會(huì)減小,單位時(shí)間單位面積的能流在傳播dz后

代入B.2問中的結(jié)果和關(guān)系式(7)

B.4問:通過式(7)與式(8),由題目中給出的電場(chǎng)可直接將β表達(dá)出來

B.5問:

1) 從式(9)可求z1/2,需要從圖5中讀出純水在20℃時(shí),在給定頻率ω處的εr和εl(εl是問了計(jì)算tanδ)值:εr～78;εl～10。

2) 進(jìn)入深度z1/2在給定頻率時(shí)正比于εl;從圖5中容易看出,隨著溫度上升,在給定頻率ω處的淺色的曲線(εr)下降了幾倍;而深色線(εl）下降了幾十倍,因而進(jìn)入深度會(huì)增大。

3) 鹽水的趨勢(shì)(圖5中的虛線)則不一樣了,隨著溫度上升,深色虛線(εl）上升,而淺色曲線(εr)下降;所以對(duì)于鹽水,升高溫度減少了z1/2。換言之鹽水吸收微波更有效。

3 結(jié)語

把微波爐中的核心磁控管不用復(fù)雜的電動(dòng)力學(xué)計(jì)算,而是抓住其中的物理本質(zhì):LC 振蕩以及電磁場(chǎng)對(duì)電子的聚焦是本題最精彩的地方。讀懂了這個(gè)物理本質(zhì),在題目一步一步的引導(dǎo)下,一個(gè)簡(jiǎn)明的電子在磁控管陰陽極之間的運(yùn)動(dòng)圖像層層展現(xiàn)在面前。題目的計(jì)算并不復(fù)雜,但考查了電磁學(xué)中LC振蕩、電子漂移等重要且典型的問題。題目中(A.4～A.6)幾問,若了解其中的物理圖像,根本不用計(jì)算;但若圖像不清楚,則會(huì)覺得無從下手。本題巧妙精彩的地方是,既有對(duì)物理計(jì)算的考查,同時(shí)更突出對(duì)物理圖像的把握。筆者認(rèn)為這讓本題成為這幾年奧賽中最經(jīng)典的題目之一。

本題目不僅物理圖像巧妙,還有貼近生活的應(yīng)用。了解了題目的讀者,也許大家以后再用微波爐加熱食物和水時(shí),就會(huì)聯(lián)想到這里面的物理原理豈不妙哉!