深厚軟土地區(qū)基坑墻底抗隆起穩(wěn)定性Prandlt計算式的討論

陽吉寶

（上海市政工程設計研究總院（集團）有限公司，上海 200092）

軟土地區(qū)，基坑抗隆起穩(wěn)定性是基坑工程支護設計、施工、監(jiān)測和周邊環(huán)境保護等必須認真考慮的問題，它不僅關系到基坑支護結(jié)構體本身安全穩(wěn)定，還與基坑支護體和周邊環(huán)境的變形密切相關，因此基坑抗隆起穩(wěn)定性驗算方法一直是深受巖土工程界理論研究和工程實踐廣泛關注的課題。目前，基坑抗隆起穩(wěn)定性分析研究方法有極限平衡法、極限分析法和數(shù)值模擬計算法等，但主要用于基坑支護設計且為國家標準、行業(yè)標準和我國各省市規(guī)范規(guī)程所采用的仍然是地基承載力和圓弧滑動這兩種計算模式，其中地基承載力計算模式[1]又分為：假定基底光滑情況下的Prandtl（1920）計算式和假定基底粗糙情況下的Terzaghi（1943）計算式。Prandtl 計算式較為常用，也被我國行業(yè)標準[2]和上海市工程建設標準[3]等大多數(shù)省、市規(guī)范所采用。在深厚軟土地區(qū)，特別是在浙江寧波、溫州等沿海分布有深厚淤泥質(zhì)土地區(qū)，支護體墻底土體抗剪強度指標c，φ均較小，根據(jù)Prandtl 計算式計算所得的抗隆起安全系數(shù)隨擋土體插入深度加大并無太多的增大，按規(guī)范計算所得的抗隆起安全系數(shù)不能滿足規(guī)范所要求的限值標準，造成設計人員和工程管理人員的極大困惑。為此，王成華等[4]根據(jù)Terzaghi 地基承載力理論，針對基坑隆起破壞均為單面滑動失穩(wěn)的實際情況，推導出抗隆起穩(wěn)定性的臨界寬度法計算式；童磊等[5]在收集分析浙江軟土地區(qū)多項基坑工程實例的基礎上，提出一種墻底地基承載力抗隆起穩(wěn)定性計算模型。這些研究工作都從不同角度提出對Prandtl計算式的改進。近年來，筆者在浙江溫州、寧波和福建等存在深厚淤泥質(zhì)土地區(qū)進行基坑支護設計時發(fā)現(xiàn)，根據(jù)現(xiàn)行規(guī)范的基坑墻底抗隆起Prandtl 計算式計算的抗隆起安全系數(shù)，即使增大支護體的插入比也還是無法滿足規(guī)范要求。經(jīng)對鄭大同先生[6]所介紹的Prandtl 計算式推導過程研究，結(jié)合現(xiàn)有的改進計算方法和基坑設計工作實踐，本文特提出一種對Prandtl 計算式的改進計算方法，并與規(guī)范、改進計算方法等進行比較，還對規(guī)范計算方法取值現(xiàn)有的標準進行探討，以供大家討論。

1 現(xiàn)有規(guī)范和改進計算方法

1.1 規(guī)范計算方法

我國行業(yè)標準[2]、上海市工程建設標準[3]、浙江省工程建設標準[7]和浙江省寧波市細則[8]均按下面方法驗算支護體墻底抗隆起穩(wěn)定性，只是Kb取值不同。

當基坑底部土體為淤泥、淤泥質(zhì)土或黏性土時，坑底土抗隆起穩(wěn)定性應按式（1）驗算支護體墻底地基承載力。計算圖式如圖1所示。

圖1 支護體墻底地基承載力驗算圖Fig.1 Diagram of foundation bearing capacity checking at the bottom of a retaining wall

式中：Nc，Nq—地基土的承載力系數(shù)；

γ1—坑外地表至墻底或軟弱下臥層頂面，各土層天然重度的加權平均值/（kN·m-3）；

γ2—坑內(nèi)開挖面以下至墻底或軟弱下臥層頂面各土層天然重度加權平均值/（kN·m-3）；

h—基坑開挖深度/m；

t—支護體的插入深度/m；

qk—基坑坑外地面超載/kPa；

Kb—支護體墻底土體抗隆起安全系數(shù)，不同規(guī)范取值不同。

對于Kb取值，按一級、二級、三級基坑，我國行業(yè)標準[2]、浙江省標準[7]和寧波市細則[8]均為分別不應小于1.8，1.6 和1.4；上海市標準[3]為分別不小于2.5，2.0 和1.7。

1.2 改進計算方法

（1）臨界寬度法

王成華等[4]根據(jù)Terzaghi 地基承載力理論，針對基坑隆起破壞均為單面滑動失穩(wěn)的實際情況，按圖2模式推導出計算抗隆起穩(wěn)定性的臨界寬度法計算式KL。

式中：KL—臨界寬度法計算的抗隆起安全系數(shù)；

b—臨界寬度/m；

p1u—中間計算參數(shù)/kPa；

T—滑動體豎向抗剪力/（k·m-1）；

圖2 單面滑動粗糙基底抗隆起承載力示意圖Fig.2 Diagram of uplift bearing capacity of a single-sided sliding rough substrate

其它同圖1。

具體計算式如下：

（2）考慮坑內(nèi)上覆土抗剪強度計算法

軟土地區(qū)基坑擋墻插入比普遍較大，基坑墻底隆起破壞必須穿過上覆土層，所以，童磊等[3]在收集分析浙江軟土地區(qū)多項基坑工程實例的基礎上提出圖3所示的墻底地基承載力抗隆起計算模型：

圖3 計入上覆土抗剪強度計算模式Fig.3 Calculation mode considering shear strength of overlying soil

式中：KJ—計入坑內(nèi)上覆土抗剪強度的墻底抗隆起安全系數(shù)；

其它符號同前。

式（3）新增上覆土體抗剪強度分量ct，顯然在量綱上是不匹配的，公式也未進行嚴格的理論推導。

1.3 討論

Prandtl 計算式是一經(jīng)典的根據(jù)極限平衡理論計算地基極限承載力公式，汪炳鑒等[9]最早于1983年提出可以采用此公式進行抗隆起安全系數(shù)的驗算，以求得基坑支護體地下連續(xù)墻的入土深度。李和志等[10]和鄒廣電[11]采用極限分析的上限法，陳立國等[12]采用極限分析法的下限法均推導出與Prandtl 計算式同樣的表達式。顯然，上述研究始終以墻底土體為研究對象，以研究地基極限承載力為出發(fā)點，與基坑開挖卸荷所產(chǎn)生的隆起破壞還是有明顯差異。臨界寬度法考慮基坑墻底以上主動區(qū)土體抗剪強度對基坑抗隆起穩(wěn)定性的有利貢獻，推導過程嚴密、合理，但忽視了被動區(qū)墻底以上土體的作用；而童磊等[3]所提出的計入被動區(qū)上覆土體抗剪強度對抗隆起的有利作用，但未考慮主動區(qū)土體抗剪作用，且沒有進行嚴密的理論推導，新增的抗隆起分量ct在量綱上也不匹配。同時，汪炳鑒等[9]在提出采用Prandtl 計算式時，安全系數(shù)僅僅只要求大于1.10～1.20，而現(xiàn)在各種規(guī)范均要求大于1.4～1.8，甚至大于1.7～2.5。所以，有必要深入研究Prandtl 計算式的來源及推導假定，在此基礎上結(jié)合基坑工程實際進行改進，并對安全系數(shù)取值標準進行討論。

2 Prandtl 計算式及其改進

2.1 Prandtl 計算式

為溯本求源，現(xiàn)根據(jù)鄭大同所著《地基極限承載力的計算》[6]將Prandtl 計算式推導過程介紹如下。

假定材料的重度為零，條形基礎寬度為B、基礎埋深為t，應用塑性平衡原理，所得的滑動面形成了2 個對稱的被動狀態(tài)區(qū)及1 個主動狀態(tài)區(qū)，中間夾著對數(shù)螺線的過渡區(qū)，這樣就有可能不用數(shù)學微分方程來求解，而用力系平衡方法求得條形基礎極限承載力qf的計算公式。

為推導qf的計算式，考慮作用在土體OCDI 上的力系，見圖4（b）。對數(shù)螺線CD 的方程為：r=r0eθtanφ，其符號的意義示于圖4（a）。由圖4可得：

圖4 Prandtl 課題推導Fig.4 Derivation of the Prandtl Project

根據(jù)假定，把土體OCDI 的重量略去不計。從圖4（b）可知，作用在對數(shù)螺線CD 上任意點的法向力與摩擦力的合力F，都通過對數(shù)螺線的中心點。這樣，可把A 點作為矩心，得：

根據(jù)平衡條件：

可以看出，Prandtl 的極限承載力公式與條形基礎的寬度B無關，這是由于推導公式時忽略不計地基土的容重所致。

2.2 Prandtl 計算式改進

分析基坑開挖而引起的隆起破壞與計算地基極限承載力的區(qū)別，發(fā)現(xiàn)Prandtl 計算式的邊界假定未能充分反映在基坑開挖過程中基坑內(nèi)外兩側(cè)土體對抗隆起破壞抑制的貢獻，為此在圖4的基礎上增加墻底以上土體抗剪切作用的邊界條件如圖5所示。

圖5 考慮坑內(nèi)外兩側(cè)土體抗剪作用計算模式Fig.5 Calculation model considering the shear function of soil inside and outside the pit

如圖5所示，考慮基坑內(nèi)外兩側(cè)土體抗剪作用，在圖4所示的Prandtl 計算式中，以AIGHLMA 為豎向受力平衡體，AIG 底邊作用向上的地基極限承載力qf，基坑內(nèi)外側(cè)土體AM、GH 界面上分別有內(nèi)側(cè)被動土體抗剪力Tn、外側(cè)主動土體抗剪力Tw，地面有附加荷載作用qk。Tn、Tw計算如下 ：

經(jīng)整理，可以得到考慮基坑墻底以上內(nèi)外兩側(cè)土體抗剪作用的抗隆起安全系數(shù)計算式：

3 敏感度分析

為科學、合理地分析上述4 個公式反映的基坑抗隆起穩(wěn)定性對影響因素的敏感性，運用系統(tǒng)分析中的敏感性分析方法[13]，根據(jù)敏感度函數(shù)[14]評價基坑挖深、支護體插入深度、土層重度、土體黏聚力和內(nèi)摩擦角等因素對基坑墻底抗隆起穩(wěn)定性影響的差異。援引文獻[15]工程實例，并參考已有類似工程經(jīng)驗，影響因素基準參數(shù)和變化范圍列示于表1。

表1 影響因素基準參數(shù)和變化范圍Table 1 Benchmark parameters and variation range of the influencing factors

經(jīng)計算，不同計算公式對影響因素的敏感度不同，但趨勢一致（圖6）。各計算公式對影響因素的敏感度排序如表2所示。從表2可以看出，軟土的內(nèi)摩擦角是首要影響因素，這在4 個公式中均表現(xiàn)一致?；油谏詈椭ёo體插入深度是主要影響因素，土層黏聚力是次要影響因素。土層重度對所有公式計算結(jié)果均影響不大，可忽略其影響。計入基坑內(nèi)側(cè)土體抗剪強度影響的改進公式因未進行嚴格的理論推導，與其它3 個公式有一定差異，表現(xiàn)在c和t的敏感度排序上與其它3 個公式不同。

圖6 不同公式抗隆起系數(shù)與各影響因素的敏感度曲線Fig.6 Sensitivity curves of uplift resistance coefficient of different formulas among the different factors of foundation pit

表2 各影響因素敏感度排序Table 2 Ranking of sensitivity of various influencing factors

在深厚軟土地區(qū)，土體φ值較小且變化幅度不大。當基坑挖深一定時，為確保基坑穩(wěn)定，墻底抗隆起穩(wěn)定性就只有通過加大支護體插入深度來滿足規(guī)范要求。如不考慮基坑支護體墻底以上土體抗剪強度的作用，支護墻體插入深度過大，造成基坑支護設計的極大浪費。規(guī)范公式Kb和臨界寬度法計算公式KL均沒有反映墻底以上土體抗剪強度的影響；計算式KJ只考慮了基坑內(nèi)側(cè)抗剪強度影響，且計算公式未通過嚴格的理論推導，計算依據(jù)不充分。計算式KJJ充分考慮基坑內(nèi)外兩側(cè)土體抗剪強度作用，公式推導也依據(jù)原Prandtl 計算式的理論框架，計算結(jié)果反映了基坑圍護體內(nèi)外兩側(cè)土體抗剪強度的作用，對優(yōu)化圍護體插入深度作用十分顯著。

4 工程實例

4.1 實例分析

本基坑工程位于溫州市甌海區(qū)核心片區(qū)站南單元A-19 地塊，整個用地范圍內(nèi)下設二層地下室，基坑開挖總面積27 610 m2，周長841 m，基坑普遍挖深為9.05 m；基坑北側(cè)距基坑開挖邊線30 m 有正在運行的輕軌R1 線，安全等級為一級，其它三側(cè)基坑安全等級為二級。根據(jù)勘察報告，項目場地屬沖海積平原地貌，地面以下30 m 范圍內(nèi)除淺部3 m 為黏土外，其它均為淤泥。勘察揭露場地分布的②1、②2層淤泥具有厚度大、含水量高、壓縮性高、抗剪強度低、靈敏度高等特點。②1、②2層淤泥的基坑支護設計巖土參數(shù)見表3。

表3 基坑支護設計巖土參數(shù)表Table 3 Parameters of the foundation pit design

基坑支護設計采用樁徑900（北側(cè)）/850（其他三側(cè)）的鉆孔灌注樁加二道混凝土內(nèi)支撐。為優(yōu)化樁長，按支護樁插入比分為1∶1.5～1∶4.0 等8 種情況分別驗算基坑坑底抗隆起穩(wěn)定性K0和墻底抗隆起穩(wěn)定性（Kb、KL、KJJ、KJ）。驗算K0時，帶**數(shù)據(jù)是以上海市規(guī)范[3]以第二道內(nèi)支撐為圓心的圓弧滑動計算模式計算，強度指標取峰值；另外的數(shù)值是采用浙江省標準[7]以十字板抗剪強度指標驗算。驗算墻底抗隆起穩(wěn)定性時，土層黏聚力和內(nèi)摩擦角按固結(jié)快剪指標峰值和7 折取值分別驗算，計算結(jié)果見表4。按規(guī)范要求基坑北側(cè)需滿足K0≥1.6、K0**≥2.2、Kb≥1.8，其它三側(cè)需滿足K0≥1.5、K0**≥1.9、Kb≥1.6。根據(jù)浙江地區(qū)巖土勘察報告，一般均建議在驗算Kb時采用固結(jié)快剪強度7 折指標，Kb始終不滿足要求，但按峰值指標驗算則滿足要求。綜合考慮坑底抗隆起穩(wěn)定性系數(shù)K0，最后經(jīng)專家評審確定，基坑北側(cè)采用1∶2.2 的插入比，其它三側(cè)采用1∶2.0 的插入比。目前，基坑工程已施工完畢，施工過程支護體變形監(jiān)測結(jié)果也表明原設計滿足環(huán)境保護要求，實踐證明原設計的樁長是合理的。規(guī)范中基坑墻底抗隆起驗算公式不盡合理，在深厚軟土地區(qū)，規(guī)范中的Kb取值標準也不合理，遠遠大于按地基承載力原理的取值標準（≥1.10～1.20），即使插入深度達到1∶4.0也不滿足不小于1.6 的要求，說明有必要重新考慮Kb取值標準和是否需要采用固結(jié)快剪7 折強度指標來驗算Kb。

表4 坑底和墻底抗隆起計算結(jié)果對比Table 4 Comparison of the anti-uplift calculation results between pit bottom and wall bottom

4.2 工程實例統(tǒng)計分析

為驗證上述4 個公式計算結(jié)果的合理性及標準取值問題，選取文獻[5]中16 項已成功實施的基坑工程案例，因原文未交待強度指標取值問題，所以這里只討論軟土基坑抗隆起穩(wěn)定性標準取值問題。根據(jù)國家行業(yè)標準[2]、浙江省規(guī)范[7]和寧波市細則[8]，一級、二級、三級基坑的標準均為分別不應小于1.8，1.6，1.4；從表5可以看出，按Kb、KL式計算有4 項工程不符合要求；按KJJ式計算有2 項工程不符合要求；按KJ式計算全部達到要求?？紤]基坑圍護體內(nèi)外兩側(cè)土體抗剪強度作用是符合工程實際的，公式KJ因沒有嚴密的理論推導過程，同時只考慮基坑內(nèi)側(cè)土體抗剪作用，不全面，其計算結(jié)果反而大于考慮基坑內(nèi)外兩側(cè)抗剪作用的KJJ式計算結(jié)果，明顯不合理。所以，應以KJJ式來評價隨著支護體插入深度增大而帶來的抗隆起穩(wěn)定性增加。這樣，建議按Kb計算式驗算抗隆起穩(wěn)定性時，一級、二級、三級基坑可分別按1.35，1.25，1.15 標準取值；按KJJ計算式驗算抗隆起穩(wěn)定性時，一級、二級、三級基坑可分別按1.45，1.35，1.25 標準取值。

表5 浙江地區(qū)基坑抗隆起穩(wěn)定系數(shù)不同公式計算結(jié)果Table 5 Calculation results of different formulas for stability coefficient of foundation pit against uplift in the Zhejiang area

5 結(jié)論及建議

（1）開挖卸荷條件下的基坑抗隆起穩(wěn)定性驗算與在豎向荷載作用下的地基極限承載力計算是有本質(zhì)區(qū)別的，差異主要體現(xiàn)在基坑支護體墻底以上內(nèi)外兩側(cè)土體抗剪強度對基坑抗隆起起到有利作用。簡單套用Prandtl 計算式推導的力學模型和荷載邊界條件，降低了基坑墻底抗隆起安全性，帶來設計保守和經(jīng)濟浪費。

（2）目前，改進算法中臨界寬度法與Prandtl 計算式計算結(jié)果相近；本文中式（3）改進計算式推導過程不嚴密，計算結(jié)果不合理；本文提出的改進計算式（4），是在Prandtl 計算式推導基礎上加以改進的，區(qū)別于地基承載力計算的不同之處是考慮了基坑支護體內(nèi)外兩側(cè)土體的抗剪作用，計算結(jié)果與實際相符。

（3）通過敏感度分析，影響基坑抗隆起穩(wěn)定安全系數(shù)的首要因素是軟土的內(nèi)摩擦角，4 個計算公式均表現(xiàn)一致；基坑挖深和支護體插入深度是主要影響因素，土層黏聚力是次要影響因素；土層重度對所有公式計算結(jié)果均影響不大，可忽略其影響。

（4）通過對浙江軟土地區(qū)16 項基坑工程實例分析，發(fā)現(xiàn)目前規(guī)范對基坑墻底抗隆起驗算的標準取值偏高。建議如按Kb計算式驗算抗隆起穩(wěn)定性時，一級、二級、三級基坑可分別按1.35，1.25，1.15 標準取值；如按KJJ計算式驗算抗隆起穩(wěn)定性時，一級、二級、三級基坑可分別按1.45，1.35，1.25 標準取值。此建議有待在軟土地區(qū)基坑工程實踐中加以驗證。

（5）建議在修訂規(guī)范時，明確驗算抗隆起穩(wěn)定性Kb時強度指標取值要求。