逗號刮刀涂布流場理論分析與數值模擬

梁衛(wèi)華，吳大勇，舒均國

（1中國科學院理化技術研究所，北京100190；2湖南中鋰新材料有限公司，湖南 常德415001）

20 年來，鋰離子電池逐步成為應用最廣泛的儲能器件，為消費電子產品和電動汽車提供動力。中國已建成完整的鋰離子電池產業(yè)鏈，根據中國電子顯示：2019 年中國鋰離子電池產量為157.2 億只，同比增長12.4%；按容量計算，鋰離子電池產量148.0 GW·h，同比增長19.2%。其中，動力電池產量為85.4 GW·h，同比增長21%；消費型電池產量56.2 GW·h，同比增長15.4%[1]。中國已經成為世界上最大的鋰離子電池生產國，且市場需求仍在不斷擴大[2]。雖然我國已經在鋰電池制造工藝和裝備制造業(yè)方面都取得了長足的進步，但是在涉及卷對卷制造工藝領域的基礎研究幾乎是停滯的。在鋰電池極片生產過程中應用卷對卷工藝包括涂布、輥壓、分切、卷繞等工序。其中涂布工藝，涉及涂布漿料的均質與輸運、流體力學和表面張力控制下的潤濕與鋪展、漿料的薄膜干燥與固化等化工單元過程和多臺電機電氣控制和基膜張力控制等單元控制過程。因此涂布工序被認為是鋰電池生產中最為復雜和重要的工序。作為生產極片的工程技術人員，即使并不需要深入了解各種涂布設備制造的技術細節(jié)，至少也需要掌握各種涂布參數的意義和設置方法。但是，各種關于涂布技術的專業(yè)書籍和文章，由于涉及流體力學，閱讀起來深奧難懂，致使我國產業(yè)界理論與技術水平和美國、日本等存在巨大差距。

涂布有多種方式，如順輥涂布、逆輥涂布、刮刀涂布、擠壓涂布、坡流涂布、凹版涂布等?；谕坎紳{料的性質和涂布厚度精度的要求，往往可以選出2～3 種涂布方法。例如，適用于電池極片涂布的方法有刮刀涂布、擠壓涂布等。條縫擠壓涂布是一種重要的涂布方式，其涂布量由計量泵設定，對涂布厚度/面密度的控制比較精確[3]，生產效率也很高。因此，條縫擠壓涂布正逐漸替代逗號刮刀轉移涂布，成為鋰離子電池極片制造的主流方法。但是，條縫涂布也有不足，即高速工作時不能進行間歇涂布留出焊接極耳的空白。逗號刮刀轉移涂布是另一種應用廣泛的極片生產方式[4]（圖1），它的結構簡單，制造成本較低，清理方便，特別適用于極片的分段涂布，因此在消費電子型鋰電池極片制造和超級電容的極片制造中，仍被普遍采用。但是在鋰電池極片涂布生產過程中，操作工人通常需要憑借經驗多次調整涂布縫隙H0來獲得需要的涂布厚度和面密度，難以避免的試涂工作浪費了大量的物料并降低了生產效率。

圖1 (a)逗號刮刀轉移涂布；(b)涂布縫隙放大圖及坐標系Fig.1 (a)Schematic diagrams of comma-roll coating;(b)enlarged view of coating gap and coordinate system

從20世紀80—90年代起，國際上涂布技術的研究主要集中在順流對輥涂布和逆流對輥涂布方式上[5-6]，而關于逗號刮刀涂布的理論分析和實驗研究較少。近年來，包能勝等[7-8]從雷諾潤滑方程出發(fā)，結合涂膜的成型機理，建立雙輥涂布的理論模型求解涂布厚度并與流體仿真結果進行了對比得到比較吻合的結果，并預測了雙輥涂布的涂布厚度。劉正士等[9]從材料力學的角度出發(fā)計算了流場壓力引起刮刀變形對涂布橫向精度的影響。不過，該研究沒有求解關于涂布最關心的問題——涂布厚度/面密度。本文作者認為，非常有必要針對逗號刮刀涂布建立模型，開展理論分析并結合流體力學專業(yè)軟件進行數值模擬；探究刮刀輥、涂布輥徑、縫隙高度等上游形狀因素對流場和涂布最終厚度影響，導出涂布濕厚度與涂布縫隙的關系式，將模擬數值與理論值、實際涂布結果相對照，從而揭示涂布濕厚度與涂布刮刀縫隙之間的關系，提高涂布工藝的效率和水平。

根據表觀黏度與剪切速率的關系，常把涂布漿料分成3種：剪切變稀型流體、剪切變稠型流體和牛頓型流體。鋰離子電池極片涂布漿料是復雜的混合體系，包括溶劑、黏合劑、活性材料和導電添加劑等。它通常表現為非牛頓剪切變稀材料，其流變特性包括黏度剪切變稀、黏彈性、屈服應力和時間依賴性[10]。涂布過程是一個連續(xù)穩(wěn)態(tài)過程，漿料的黏彈性、屈服應力等對涂布的影響較小，可忽略不計。漿料加工設備和工藝條件會影響漿料的黏度。當漿料所含黏結劑較少時，呈現牛頓型流體特性；由球磨機和3D 混合器制備的漿料也呈現牛頓型流體特性[10-11]。由于漿料體系實際情況比較復雜，所以在涂布研究和涂布裝置的設計中往往將漿料視為均質流體。對于非牛頓流體的漿料也可以在一定的剪切率范圍內將其近似為牛頓型流體，取特征剪切率下的黏度進行分析和計算。這種處理方法在文獻中已有報道[3,8,12-13]。

1 刮刀涂布理論分析與求解

1.1 刮刀涂布數學模型的推導

逗號刮刀轉移涂布如圖1(a)所示，常用于鋰電池極片涂布。涂布輥以速度U＊順時針轉動將涂布漿料帶出刮刀縫隙H0在涂布輥上形成穩(wěn)定涂布濕厚度Hw；橡膠背輥順時針轉動并與涂布輥負間隙接觸，將漿料完全轉移到鋁箔或銅箔上。上下移動刮刀可以改變涂布縫隙H0，從而改變涂布最終濕厚度Hw。如何確定H0與Hw的關系，是技術人員十分關心的重要問題。

特定漿料涂布的特性是流體力學研究的范疇。納維-斯托克斯方程是流體力學的基本方程

式中，u為流體在x方向的速度；v為y方向的速度；p為流體靜壓力；μ和ρ分別為流體的黏度系數和密度。

根據遠場理論，遠離刮刀縫隙處的流場流動對刮刀縫隙處的流動影響很小，可以忽略不計。因此將研究重點放在逗號刮刀涂布縫隙附近的區(qū)域，建立以逗號刮刀圓弧與垂直線交點為坐標原點、坐標體系如圖1(b)所示的研究區(qū)域。在該區(qū)域內，即刮刀-涂布輥縫隙范圍內，按雷諾潤滑理論Y 方向的速度很小可以近似v=0，從式(3)可得?u/?x=0、?2u/?x2=0，代入式(1)、式(2)中，得到

式(4)和式(5)即為一維形式的雷諾潤滑方程，由此兩式可知流場壓力只關于x 的一維函數p(x)，速度u是只關于y的一維函數u(y)。

對式(4)進行y坐標方向上的一次積分

二次積分為

式中C1和C2未知。這時需要引入邊界條件：刮刀圓弧處速度為零即y=0 時u=0；涂布輥速度為U＊，即y=H(x)時u=U＊，U＊為涂布速度。

式中H(x)為刮刀與涂布輥之間的縫隙高度，是關于x 的形狀函數。在圖1(b)坐標體系下，定義刮刀縫隙最小高度為H0，則刮刀與涂布輥之間的縫隙高度H(x)為

式中當量半徑R=RcRr/(Rc+Rr)，式(7)是關于y的顯函數，同時也是關于x 的隱函數，因為式中dp/dx和H(x)都是關于x的函數。目前來看，dp/dx關于x的函數是未知的。此時需要引入系統(tǒng)的質量守恒定律，假設Q是涂布漿料在單位寬度上的體積流量，那么沿x方向的流量是恒定的都為Q。

式中，Hw為最終涂布濕厚度，未知。將式(7)代入式(10)中

至此，式(12)推導出了基于雷諾潤滑理論的刮刀縫隙涂布理論模型。

1.2 理論模型的求解

結合邊界條件例如壓力導數邊界條件或壓力邊界條件和幾何形狀函數H(x)可以對上述模型進行求解，最終求出最終涂布厚度Hw。如圖1所示，刮刀和涂布輥的左側安裝有涂布料槽。在進行刮刀涂布的過程中，料槽內充滿涂布漿料，并且人工或液面跟蹤系統(tǒng)保持涂布液面穩(wěn)定。又因為在式(1)～式(3)中忽略重力因素對流場的影響，可以假設在-∞≤x≤0區(qū)域內充滿涂布漿料。那么在x=-∞處，壓力為外界空氣壓力，即

在x=0處，壓力為外界空氣壓力。

將式(9)代入式(12)整理得

對式(16)進行積分，

在上述邊界條件中，假設p(-∞)=0，顯然這個假設與涂布料槽的實際情況不符。那么提出另外一種假設，邊界條件為x=-R 當量半徑處的壓力為零，即

其中x=-R=-RcRr/(Rc+Rr)，該點所處流場的位置見附錄1。

為簡化起見，令R/2H0=K，這是一個關于流場輪廓幾何形狀的參數，得

至此推導出了基于雷諾潤滑方程理論的逗號刮刀幾何形狀參數對涂布厚度影響的關系式(23)。在已知刮刀輥、涂布輥當量半徑R和刮刀縫隙H0時，可以通過該式計算最終涂布濕厚度Hw。另外在計算出Hw/H0后，可以得到流場壓力隨位置θ變化的函數

其中式(23)與文獻[14]中的刮刀涂布厚度公式特定條件下（刮刀傾斜角度為0）得到的公式相同，只是我們的推導過程主要針對逗號刮刀，而不是文獻[14]中的通用型刮刀。

2 基于Fluent 軟件的逗號刮刀流場模擬

上述的刮刀涂布理論分析與求解是建立在刮刀縫隙附近小區(qū)域內，流場符合潤滑理論假設的基礎上，并在設定p(0)=0和p(-R)=0的邊界條件下求解得出的。進而，我們希望利用專業(yè)軟件建立流場范圍更廣、更接近逗號刮刀涂布流動實際情況的2D模型；通過設定適當的邊界條件，用CFD 方法求解流場模型。可以通過兩者結果的比較來判斷刮刀涂布理論邊界條件是否合適，并分析前者的適用范圍。因此，采用Fluent軟件進行了逗號刮刀流場模擬。對逗號刮刀流場進行流體力學數值模擬計算，首先使用Fluent 軟件的網格模塊Gambit 建立漿料料槽和刮刀涂布輥組成的2D 模型，并定義邊界條件。如圖2涂布輥邊界條件定義為moving wall，逗號刮刀邊界條件定義為wall，料槽頂端邊界條件設為Pressure-inlet，刮刀縫隙出口的邊界條件設為Pressure-outlet，其他的邊界設為wall 條件。因為不考慮重力對涂布厚度的影響，所以在操作條件中未激活重力因素選項。

圖2 刮刀涂布流場邊界條件Fig.2 Physical model of 2D and boundary conditions

其次，是2D 模型網格的劃分。以涂布輥半徑Rr=20 mm，刮刀半徑Rc=20 mm，涂布縫隙H0=0.2 mm 為例，采用Submap 方式，單元為Quad型，對2D 區(qū)域進行網格劃分。其中，在壓力出口處進行了細化，劃分數為40，結果如圖3所示。其中Cell 數量22400 個，Face 45200 個，Node 數量22841 個。最小網格面積5.0×10-6m2，最大網格面積5.45×10-4m2。網格驗無關性驗證的工作證實在壓力出口處劃分大于等于40，整體面網格大于等于45200個后壓力出口處的流量已經不隨網格數量的變化而發(fā)生變化了。

再者，設定涂布漿料密度ρ=1000 kg/m3，漿料黏度μ=5 Pa·s，涂布速度U＊=0.1 m/s，料槽頂端邊界條件設為Pressure-inlet，刮刀縫隙的邊界條件設為Pressure-outlet，兩者的數值都設為0。計算該區(qū)域的雷諾數Re=H0U＊ρ/μ=0.004，因此在Fluent V6.3.26 軟件中，采用層流模型，忽略重力因素，用有限體積法求解控制方程，選擇采用壓力隱式穩(wěn)態(tài)定常求解器。控制方程壓力離散采用標準式，動量離散采用一階迎風格式，壓力速度耦合方程組采用Simple 算法及欠松弛因子迭代求解。

迭代次數及收斂標準：本算例中采用，連續(xù)方程和速度方程的殘差要求控制在小于10-6和10-7迭代次數為6613 次。計算區(qū)域和刮刀縫隙區(qū)域流函數分布如圖4所示，全流場內的壓力云圖和刮刀縫隙區(qū)域壓力云圖如圖5所示。在遠離狹縫的大部分區(qū)域內壓力分布在-1.20×10-3～1.14×10-3Pa之間，近似為0。僅在距狹縫出口5 mm 范圍內，壓力先顯著上升再急劇下降，表現為只與x相關的一維函數p(x)幾乎不隨y 變化。這與前文雷諾潤滑方程的推論相同。需要指出的是，在圖5中負壓出現在涂布輥剛剛進入料槽處，液體速度急劇上升引起壓力下降，成為全流場靜壓最低點。壓力出口處的速度沿y軸分布如圖6所示。

圖3 刮刀涂布流場的網格劃分Fig.3 Grid of comma-roll coating model

圖4 逗號刮刀流場的流函數Fig.4 Stream function distribution

圖5 刮刀縫隙處的壓力分布Fig.5 Pressure distribution at coating gap

圖6 縫隙出口截面（x=0）速度曲線Fig.6 Velocity distribution curve at x=0

最后，根據計算結果中涂布縫隙H0處輸出的質量流量m=0.013280711 kg/s，計算涂布濕厚度與涂布縫隙的比值Hw/H0=m/ρU＊H0=0.6640。

采用與以上算例類似的方法和過程，分別用軟件模擬了不同輥徑、縫隙高度、黏度和速度下流場情況，并計算Hw/H0數值，結果列入表1、表2和表3。

3 結果與討論

3.1 刮刀縫隙帶出率Hw/H0與幾何形狀參數K 的關系

通過對逗號刮刀涂布流場雷諾潤滑理論建模和求解，得到了關于刮刀輥、涂布輥輥徑、縫隙高度等上游形狀因素對流場和涂布最終厚度濕厚度的關系式(23)。求解公式(23)，得到了K與Hw/H0的函數關系（圖7），并將表1 中流體模擬結果Hw/H0引入圖7。結果表明，逗號刮刀涂布的濕厚度Hw與刮刀縫隙高度H0呈正比關系，同時受到上游當量半徑與縫隙高度比值R/2H0=K 影響。K 越大，Hw/H0的比值越大。當K 趨向于+∞，即涂布縫隙趨近于0 時，Hw/H0→2/3。這意味著牛頓流體的逗號刮刀流場流出率的極限值Hw/H0=2/3。

表1 輥徑大小和縫隙高度對涂布厚度影響Table 1 Simulation results of different geometric parameters

表2 漿料黏度對涂布厚度的影響Table 2 Simulation results of different viscosity

表3 速度對涂布厚度的影響Table 3 Simulation results of different velocity

圖7 Hw/H0關于幾何參數K的函數圖Fig.7 Comma roll coater flow rate predicted by lubrication theory,with comparison to numerical model

由于在實際應用中K=R/2H0的取值范圍一般在10～2000范圍內，所以Hw/H0的取值范圍，多在略小于2/3 的0.66 附近。圖7 所示，潤滑理論計算結果和表1 中2D 流體力學軟件模擬計算的結果在K值（10～2000）范圍內高度吻合，說明逗號刮刀涂布模型是合理的。涂布工程師和操作技術人員可以使用該公式來設定合適涂布間隙H0來進行第一次試涂。

3.2 流場中的壓力分布

圖8 不同K值時流場壓力與位置關系圖Fig.8 Relationship between flow field pressure and position at different K values

理論推導過程中邊界條件p(-R)=0的假設是否成立，可以通過軟件計算來驗證。在表1不同幾何參數的軟件模擬結果壓力分布云圖（圖5）中取坐標(-R,0)點的壓力p(-R,0)，代入式(25)，考察此處的無因次壓力P＊(-R,0)，結果列于表4。可見，除了K=5.55的無因次壓力P＊(-R,0)=0.0154外，在其他K值條件下P＊(-R,0)與P＊max相比都可以近似為零。因此，p(-R)=0的邊界條件假設基本合理。

表4 不同幾何參數K條件下的-R處的無因次壓力Table 4 Dimensionless pressure at point of(-R,0)

3.3 漿料黏度和涂布速度對涂布厚度的影響

由式(23)可知，作為牛頓流體涂布漿料的黏度對涂布厚度沒有影響。這一點通過Fluent軟件模擬也得出相同的結論，表2 中漿料黏度在0.1～10 Pa·s 的變化，引起的厚度變化不到千分之一，說明漿料黏度變化對厚度幾乎沒有影響。同樣地，在Fluent模擬結果中（表3）涂布速度從0.005 m/s變化到0.4 m/s，涂布厚度只有萬分之一的變化。這表明速度對涂布厚度沒有明顯的影響。在式(11)中涂布流量與涂布速度U＊和dp/dx有關

把式(16)代入(11)中，則可以消除黏度項μ。因此，涂布厚度與漿料黏度并不相關。又因為Hw=Q/U＊，在計算過程中又消除了涂布速度U＊。因此，涂布厚度也不受涂布速度大小的影響。

3.4 重力作用產生的水力壓頭對涂布厚度的影響

在理論模型的建立和求解中忽略了重力作用對涂布厚度的影響。這是因為刮刀涂布方向為水平方向，與重力方向不一致，其水力壓頭沿水平方向x的偏微分?pg/?x不能求出解析解。為了進一步分析重力作用對涂布厚度的影響，將上述公式中的靜態(tài)壓力p 由其靜壓和水頭壓力組成的等效壓力pe=p+pg代替，其中在刮刀縫隙處x 軸的水頭壓力pg=ρgRc，Rc為刮刀輥半徑?？紤]重力因素后，式(17)的邊界條件應該改為p(θk)=ρgRc和p(0)=0。求解該方程可得

式(27)中第1 項與式(23)相同，是未考慮重力時的涂布帶出率；第2 項為狹縫進出口水頭壓力差對涂布厚度的影響，定義為Δ Hg。因為θk=arctan( - R 2H0)∈（-π/2,0)，所以第2 項分母為負值。涂布厚度在考慮水力壓頭時會比不計水力壓頭時有所增大。根據式(27)計算如表1 的各參數時水力壓頭對涂布厚度的影響ΔHg，見表5。

同理也可以計算出表3 和表4 條件下水力壓頭對涂布厚度的影響，見表6。

表5 不同幾何參數K條件下的水頭壓力產生對涂布厚度影響Table 5 Influence of hydraulic head on coating thickness at different K

表6 不同黏度或涂布速度時，水力壓頭對涂布厚度的影響Table 6 Influence of hydraulic head on coating thickness at different viscosity and speed

觀察表5和表6發(fā)現只有在幾何參數K=11.11、5.555 即刮刀間隙很大時（H0=1 mm、2 mm）水力壓頭才會對涂布厚度產生0.017和0.047的增量，其他縫隙小于等于0.5 mm 情況下，黏度μ∈[0.1,10] Pa·s 和涂布速度U＊∈[0.005, 0.4] m/s 范圍內，水力壓頭對涂布厚度的影響可以忽略不計。通過改變Fluent軟件操作條件增加重力因素的方法也可以模擬水力壓頭對涂布厚度的影響，得到的結果也演證了式(27)和表5、表6 的結果。由于篇幅所限，不再贅述。分析表明，常用鋰電池極片刮刀涂布工況下重力產生的水力壓頭對涂布厚度的影響可以忽略不計。

3.5 表面張力對逗號刮刀涂布厚度的影響

圖9 刮刀縫隙出口自由液面形狀Fig.9 Free surface after coating gap

在式(14)中，假設壓力出口（x=0）處涂布漿料的壓力p(0)等于外界大氣的壓力，即表壓p(0)=0，是雷諾潤滑方程邊界條件的常用設置。在使用Fluent 軟件設置邊界條件時也可以把出口壓力設為0。但在實際涂布工作中，漿料流出壓力出口后形成了由液體表面張力、黏性力和液體壓力的合力控制自由表面流動。Coyne經過研究得出了涂布自由液面高度h(x)與濕厚度hw之比的關系式h(x)/hw=1+kexp(-λx)[11-12]。如圖9所示，在x=+∞處h(x)=hw，p(+∞)=0；在x=0 處p(0)=-σ/r＜0。其中，σ 為涂布漿料的表面張力，r 為x=0 處的液面彎曲半徑。雖然σ 可以測量，但r 是未知量，所以p(0)也是未知量。因此，能否簡單地把p(0)設置為0來應用，需要按不同的條件進行討論。Kistler 等[14]認為，在刮刀（剛性刮刀和片式刮刀）涂布流場中設置入口和出口壓力為零的潤滑理論，可以準確地預測涂布厚度和液體壓力。Kawabata[15]測量了高黏度漿料（μ=4～6 Pa·s）刮刀流場壓力，證實刮刀縫隙出口處壓力為0。Sullivan等[16]通過有限元法數值計算和實驗證實，刮刀縫隙出口處p(0)的數值與峰值壓力相比小至可以忽略不計；在毛細準數不是很大（Ca=μU/σ=3.7和0.9）時，表面張力的影響也可以忽略不計。通常，鋰電池極片涂布的黏度在1～10 Pa·s范圍，水性負極漿料表面張力0.04～0.05 N/m[3]，NMP 漿料體系的表面張力約0.04 N/m（20 ℃）。逗號刮刀涂布速度為0.05～0.2 m/s，由此可以計算出電池漿料的毛細準數Ca＞1。毛細準數Ca體現了液體黏性力與表面張力之比，Ca 越大，表面張力對流動的影響也越小。在這種情況下，刮刀縫隙出口處的壓力為零的假設成立。在鋰電池極片涂布速度較高的工況下，表面張力對涂布厚度的影響可以忽略不計。

4 結 論

本文通過對N-S方程的合理簡化，得出刮刀縫隙附近流場的雷諾潤滑方程。應用該方程在合理邊界條件下求解逗號刮刀涂布流場適用于牛頓流體的力學行為發(fā)現，盡管逗號刮刀上游幾何尺寸差距明顯，但是它的無因次壓力-位置曲線幾乎重合；涂布濕厚度Hw與刮刀縫隙高度H0的比值在K=R/2H0的取值范圍（10～2000）內約等于2/3，而且不受涂布漿料黏度變化和涂布速度變化的影響。通過刮刀涂布理論模型的得出的涂布濕厚度Hw以及壓力-位置關系等計算結果與Fluent軟件模擬的二維涂布流場的CFD結果高度吻合。

圖A1 (-R,0)處于流場中的位置
Fig.A1 Geometrical parameters of comma-roll coating system