一類(lèi)新混合?似變分不等式解的存在性和唯一性

李 舜，謝祥俊

（1.成都工業(yè)學(xué)院，四川 成都 611730；2.西南石油大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610500）

許多學(xué)者[1? 4]之前研究過(guò)變分不等式解的存在、唯一性問(wèn)題。本文在文獻(xiàn)[5 ? 7]的基礎(chǔ)上，引入τ?η?g?余強(qiáng)制與ξ ?η?g?松弛Lipschitz 連續(xù)概念，利用不動(dòng)點(diǎn)技巧，研究了一類(lèi)新混合?似變分不等式，證明了這類(lèi)不等式解的存在、唯一性，此結(jié)果推廣和發(fā)展了近期這方面的一些研究成果[5?7]。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是自反Banach 空間，X?為其共軛空間，‖·‖表示X中的范數(shù)，〈·,·〉表示X?與X的配對(duì)，K?X為非空閉凸子集，映射T，A：K→X?，g:K→K，η:K×K→X，b:K×K→R=R∪{+∞}且滿足：

（a）b(·,·)關(guān)于第一變?cè)蔷€性的；

（b）b(·,·)關(guān)于第二變?cè)峭瓜掳脒B續(xù)的；

（c）存在常數(shù)γ ＞0，使得b(x,y)≤γ‖x‖·‖y‖；

（d）b(x,y)?b(x,z)≤b(x,y?z),?x,y,z∈K；

f:X×X→R且滿足：存在常數(shù)α ＞0,β ＞0，使?x,y∈X有

顯然α ≤β。本文討論如下混合?似變分不等式問(wèn)題：對(duì)給定的? ∈X?，求∈K,使

當(dāng)g=I（恒等映射）,f=0，問(wèn)題（3）變?yōu)槲墨I(xiàn)[5]討論過(guò)的問(wèn)題；當(dāng)?=??1,g=I，f=0,b(x,y)=q(y)，這里q:，問(wèn)題（3）變?yōu)槲墨I(xiàn)[6]討論過(guò)的問(wèn)題；當(dāng)T=0,?=0,g=I，問(wèn)題（3）變?yōu)槲墨I(xiàn)[7]討論過(guò)的問(wèn)題，這里所討論的問(wèn)題是一個(gè)比前面討論的問(wèn)題更廣泛的問(wèn)題。

設(shè)T：K→X?，g:K→K，η:K×K→X為3 個(gè)映射。

定義：1）稱(chēng)T是τ?η?g?余強(qiáng)制的，若存在常數(shù)τ ＞0，使：

特別地，若g=I，則概念回到文獻(xiàn)[5]中的τ?η余強(qiáng)制概念。

2）稱(chēng)T是ξ ?η?g?松弛Lipschitz連續(xù)的，若存在常數(shù)ξ ＞0，使：

特別地，若g=I時(shí)，則概念回到文獻(xiàn)[5]中的ξ ?η?松弛Lipschitz連續(xù)。

2 主要結(jié)論

定理：設(shè)K?X為非空閉凸子集。映射T，A：K→X?，g:K→K，η:K×K→X，b:K×K→:K×K→且滿足：如果

1）T關(guān)于η是 τ?η?g?余強(qiáng)制的，T是c?擴(kuò)張映象，A是ξ ?η?g?松弛Lipschitz連續(xù)的，并且T，A都是弱拓?fù)涞綇?qiáng)拓?fù)涞倪B續(xù)映射。

2）η(x,y)=?η(y,x),?x,y∈K, η是δ?Lipschitz 連續(xù)（見(jiàn)文獻(xiàn)[8]定義2.1），A-T和η關(guān)于? ∈X?有 0?g對(duì)角凹關(guān)系（見(jiàn)文獻(xiàn)[8]定義2.3），且對(duì)固定的是從弱拓?fù)涞綇?qiáng)拓?fù)涞倪B續(xù)映射。

3）b(·,·)滿足（a）～(d),f(·,·)是雙連續(xù)、雙線性函數(shù)，且滿足式(1)、式（2）。

4）g是線性、l?Lipschitz連 續(xù)映射；并且γ·l2＜τ·c2+α?ξ·l2則問(wèn)題（3）存在唯一解。

證明任意固定∈K，定義函數(shù)φ:K×K→?x,y∈K，

因g是連續(xù)映射，對(duì)固定的是從弱拓?fù)涞綇?qiáng)拓?fù)涞倪B續(xù)映射，從而對(duì)固定的是從弱拓?fù)涞綇?qiáng)拓?fù)涞倪B續(xù)映射，加之T，A都是連續(xù)映射，故由文獻(xiàn)[9]可知對(duì)固定的是連續(xù)的；b(·,·)滿足（c）、(d),易得

即b(·,·)關(guān)于第二變?cè)B續(xù)，再加上g連續(xù)，所以關(guān)于x∈K連續(xù)；f(·,·)關(guān)于兩變?cè)B續(xù)。這樣對(duì)固定的y∈K,?(y,x)在K上是連續(xù)的，即文獻(xiàn)[8]引理2.1 的條件（i）滿足。

同樣在式（7）中令y=x2，在式（8）中令y=x1，而后再相加得：