概率度量空間中調(diào)和映象對(duì)的公共不動(dòng)點(diǎn)定理

張樹義，張芯語

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013）

1 預(yù)備知識(shí)

Istratescu 等[1]引入并研究了非阿基米德Menger概率度量空間和一些拓補(bǔ)性質(zhì)。隨后許多人在非阿基米德Menger 概率度量空間建立了一些不動(dòng)點(diǎn)存在性定理[2?18]。文獻(xiàn)[12,19 ? 20]研究了概率度量空間的度量化問題。文獻(xiàn)[21]在度量空間引入集值映象與單值映象對(duì)的調(diào)和概念，證明了一類調(diào)和映象對(duì)的公共不動(dòng)點(diǎn)以及隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理。本文的目的是在非阿基米德概率度量空間中建立一類積分型調(diào)和映象對(duì)公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理，從而改進(jìn)和推廣以往的研究結(jié)果。

定義1[9]映象f:R=(?∞,+∞)→R+=[0,+∞)稱為分布函數(shù)，如果它是不減的，左連續(xù)的，

定義2[7 ? 8]設(shè)X是非空集，D為全體分布函數(shù)，F(xiàn):X×X→D,稱(X,F)為非阿基米德概率度量空間，若滿足下面條件（對(duì)x,y∈X,分布函數(shù)F(x,y)記為Fx,y，F(xiàn)x,y(t)表示Fx,y在t∈R的 值)：

1）Fx,y(t)=1,?t＞0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

2）Fx,y=Fy,x,?x,y∈X；

3）Fx,y(0)=0,?x,y∈X；

4）若Fx,y(t)=1,Fy,z(s)=1，則Fx,z(max{t,s})=1,?x,y,z∈X。

定義3[9]映象?:[0,1]×[0,1]→[0,1]稱為三角范數(shù)，如果滿足以下條件：

1）?a∈[0,1],?(a,1)=a；

2）?a,b∈[0,1],?(a,b)=?(b,a)；

3）?a,b,c,d∈[0,1],若a≥b,c≥d,有?(a,c)≥?(b,d)；

4）?a,b,c∈[0,1],?(a,?(b,c))=?(?(a,b),c)。

定義4[7 ? 8]三元組(X,F,?)稱為非阿基米德Menger 概率度量空間，若(X,F)是一非阿基米德概率度量空間，?是滿足下列條件的 ??范數(shù)：

5）Fx,z(max{t,s})≥?,?t,s∈[0,+∞),?x,y,z∈X。

定義5[10]連續(xù)的三角范數(shù) ?稱為阿基米德的，如果?(t,t)＜t,?t∈(0,1)。

引理1[11]?為嚴(yán)格遞增的阿基米德三角范數(shù)的充分必要條件是

其中g(shù):[0,1]→[0,+∞)連續(xù)，嚴(yán)格遞減，且g(1)=0,g(0)=+∞，g?1為g的偽逆，即g?g?1(t)=t，?t∈[0,+∞)。

引理2[12,13]設(shè)(X,F,?)為非阿基米德Menger概率度量空間，?為嚴(yán)格增的阿基米德三角范數(shù)，則?x,y,z∈X,?t＞0，有g(shù)Fx,y(t)≤gFx,z(t)+gFz,y(t)，其中g(shù)滿 足引理1。

定義6[14]設(shè)(X,F,?)是具有連續(xù)三角范數(shù)的非阿基米德Menger 概率度量空間，(X,F,?)中序列{xn}收斂于x當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?ε ＞0,λ ＞0，存在N(ε,λ)∈N(正整數(shù)集)，使得n≥N，有g(shù)Fxn,x(ε)＜g(1?λ)。

定義7[15]設(shè)(X,F,?)是具有連續(xù)三角范數(shù)的非阿基米德Menger 概率度量空間，(X,F,?)中序列{xn}稱為Cauchy 序列當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?ε ＞0,λ ＞0，存在N(ε,λ)∈N(正整數(shù)集)，使得?n,m≥N，有g(shù)Fxn,xm(ε)＜g(1?λ)。(X,F,?)稱為完備的，如果每一Cauchy 序列{xn}在X中收斂。

設(shè)(X,d)是一度量空間，用CB(X)表示X的一切非空有界閉集的集合族，H表示CB(X)上的由度量d導(dǎo)出的Hausdorff 度量：

映象T:X→CB(X)稱為是連續(xù)的，如果xn→x時(shí)，有。由文獻(xiàn)[9]知，若(X,d)完備，則(CB(X),H)也是完備度量空間。

定義8[21]設(shè)(X,d)是一度量空間，映象f:X→X和T:X→CB(X)稱為調(diào)和的，如果對(duì)?x∈X，fT x∈CB(X)且當(dāng)X中序列{xn}使得T xn→M∈CB(X)及f xn→ξ ∈M時(shí)，下面各極限存在且滿足：1）若存在N＞0，使得當(dāng)n＞N時(shí)有d(f xn,f xn+1)≤H(T xn,T xn?1)，那么

定義9[19]設(shè)(X,F)是PM 空間，A是X中非空子集，則稱為A的 概率直徑，若，則稱A是概率有界的。

設(shè)(X,F,?)是非阿基米德Menger 概率度量空間，用W(X)表示X中一切非空閉的概率有界集合。表示由F導(dǎo)出的Hausdorff 概率度量

引理3[19]設(shè)(X,F,?)是Menger 概率度量空間，?連續(xù)，則W(X),F?,?是Menger 概率度量空間。

將引理3 證明稍做修改，易知下面引理4 成立。

引理4設(shè)(X,F,?)非阿基米德Menger 概率度量空間，?連續(xù)，則W(X),F?,?也是非阿基米德Menger 概率度量空間。

若(X,F,?)是非阿基米德Menger 概率度量空間，映象T:X→W稱為連續(xù)的，如果xn→x時(shí)，有

定義10設(shè)(X,F,?)是非阿基米德Menger 概率度量空間，映象f:X→X和T:X→W(X)稱為調(diào)和的，如果對(duì)?x∈X，fT x∈W(X)且當(dāng)X中序列{xn}使得T xn→M∈W(X)及f xn→ξ ∈M時(shí)，下面各極限存在且滿足：1）=0；2）若存在N＞0，使得當(dāng)n＞N時(shí)有那么

注1設(shè)(X,d)是一度量空間，對(duì)?x,y∈X,t＞0，在定義10 中取?1,?x∈(0,1]，則g(1)=0,g(0)=+∞，于是可得定義8。且(X,F,?)是完備的當(dāng)且僅當(dāng)(X,d)是完備的。若(X,d)是度量空間,則易知(X,F,?)是非阿基米德Menger 概率度量空間，其中?≥?1=min{a+b?1,0}，特別地可取?=min{a,b}，此時(shí)?≥?1=min{a+b?1,0}。是完備的當(dāng)且僅當(dāng)(CB(X),H)是完備的。又(X,d)是完備的，則(CB(X),H)也是完備的，于是由(X,d)完備性，則可推出(X,F,?)與W(X),,?是都完備的。

設(shè)h1={h|h:[0,+∞)→[0,+∞)，?t≥0，其中hn(t)表h(t)的n次 迭代函數(shù)}。

Φ1=Φ|Φ:[0,∞)5→[0,∞)對(duì)每一變量是非減連續(xù)的函數(shù)，?t∈[0,+∞),max{Φ(t,t,t,a1t,a2t)|a1,a2∈Z+,a1+a2=2}=h(t)滿足(h1)，其中 Z+表示非負(fù)整數(shù)集。

例1定義函數(shù)H:[0,∞)5→[0,∞)為H(t1,t2,t3,t4,t5)=kt1(0 ＜k＜1)，則H對(duì)每一變量是非減的函數(shù)，h(t)=kt，易知h∈h1，因此H∈H1。

引理5[21]設(shè)h∈h1，則h(t)＜t，?t＞0。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,F,?)是完備的非阿基米德Menger 概率度量空間，?為嚴(yán)格增的阿基米德三角范數(shù)，f:X→X和T:X→W(X)是調(diào)和的連續(xù)映象，使得T(X)?f(X)，并且對(duì)?x,y∈X，t＞0，有

其中Φ ∈Φ1，ψ:R+=[0,+∞)→R+是勒貝格可積與可和的:?a,b∈R+，且,ε ＞0，再設(shè)對(duì)?x∈X，u∈T x，存在v∈Tu，使得

注2文中附加完備性是可以滿足的，例如當(dāng)取注1 中的分布函數(shù)時(shí),由(X,d)完備性,則可推出是完備的。又如由文獻(xiàn)[20]或文獻(xiàn)[19]定理4 知Menger 概率度量空間(X,F,?)，當(dāng)?≥?1=min{a+b?1,0}可在X上定義度量d

使得(X,d)成為度量空間，且(X,F,?)是完備的(X,d)是完備的，進(jìn)一步若(X,F,?)是完備Menger 概率度量空間，?≥?1=min{a+b?1,0}，由文獻(xiàn)[19]定理6 的推論知與(CB(X),H)均是完備的。

推論1設(shè)(X,F,?)是完備的非阿基米德Menger 概率度量空間，?為嚴(yán)格增的阿基米德三角范數(shù)，f:X→X和T:X→W(X)是調(diào)和的連續(xù)映象，使得T(X)?f(X)，并且對(duì)?x,y∈X，t＞0，有

其中是從[0,+∞)到自身的遞增函數(shù)且再設(shè)?x∈X，u∈T x，存在v∈Tu，使得,?t＞0f,T，則有公共不動(dòng)點(diǎn)。

證明在定理1 中取ψ(t)=1,Φ(t1,t2,t3,t4,t5)=

設(shè)(X,d)是完備度量空間，對(duì)?x,y∈X，t＞0，在定理1 中取?1,?x∈(0,1]，?=min{a,b}，則g(1)=0,g(0)=+∞，由注1 易知(X,F,?)是完備非阿基米德Menger 概率度量空間，于是由定理1 可推出如下推論2 成立。

推論2設(shè)(X,d)是完備度量空間，f:X→X和T:X→W(X)是調(diào)和的連續(xù)映象，使得T(X)?f(X)，并且對(duì)?x,y∈X，滿足

其中Φ ∈Φ1，ψ:R+=[0,+∞)→R+是勒貝格可積與可和的：?a,b∈R+，，再設(shè)對(duì)?x∈X，?u∈T x，存在v∈Tu，使，則f,T有公共不動(dòng)點(diǎn)。

下面我們對(duì)推論2 隨機(jī)化，得到積分型調(diào)和映象的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理。

設(shè)(?,A)是可測(cè)空間，A為 ?上的 σ?代數(shù)，B(X)表示度量空間X的一切Borel 子集的 σ?代數(shù)，φ:? →X稱為可測(cè)映象,若對(duì)X中任意開集B，φ?1(B)∈A。映象J:? →2X稱為可測(cè)映象，若對(duì)X中任意開集B，J?1(B)={ω ∈?;J(ω)∩B≠?}∈A。T:?×X→2X稱為隨機(jī)映象,若對(duì)任x∈X，T(·,x)是可測(cè)映象。

定理2設(shè)(X,d)是完備可分的度量空間，(?,A)是完全的可測(cè)空間，f:?×X→X，T:?×X→W(X)是兩連續(xù)隨機(jī)映象，對(duì)?ω ∈?，下列條件成立：(i)f(ω,·),T(ω,·)是調(diào)和的；(ii)T(ω,X)?f(ω,X)；(iii)對(duì)?x,y∈X，有