立足數(shù)學理解，實施初中數(shù)學概念教學

姚丕貴

[摘 ?要] 概念教學是數(shù)學教學的基礎. 當數(shù)學理解與概念學習之間形成一個良性的互動關系時，數(shù)學理解才能為概念學習奠定堅實的認知基礎. 文章從當前概念教學中學生的數(shù)學理解現(xiàn)狀談起，闡述了基于數(shù)學理解的初中數(shù)學概念教與學，以及用數(shù)學理解驅(qū)動學生的概念學習過程.

[關鍵詞] 初中數(shù)學;概念教學;數(shù)學理解

數(shù)學概念是數(shù)學知識體系的基礎，概念教學是數(shù)學教學的基礎. 無論什么時候，概念教學的重要性都不能被忽視. 從教學研究的角度來看，數(shù)學概念的學習歷來受到學術界和教學界的重視，而且研究的視角也不是單一的，但無論什么樣的研究視角，都是為了讓學生理解數(shù)學概念. 在促進學生理解概念的過程當中，“數(shù)學理解”這個詞逐步被提煉出來，因此數(shù)學理解成為近年來數(shù)學教育研究領域的熱點. 將數(shù)學概念教學同數(shù)學理解相結合，探討基于數(shù)學理解的數(shù)學概念教學新模式，具有重要的理論意義和實踐價值.

從當前的初中數(shù)學概念教學實際來看，數(shù)學理解的重要性還沒有得到應有的重視，尤其是基于數(shù)學理解去實施概念教學，還沒有得到普遍的認可. 其中一個重要的原因是存在一定的應試壓力，因此，在概念教學中，教師往往會壓縮時間，從而將節(jié)省出來的時間用于學生的解題訓練. 雖說從應試的角度來看，這樣的選擇沒有太大的問題，學生也確實可以在重復的習題訓練當中慢慢地理解相關的數(shù)學概念，但從學生發(fā)展的角度來看，尤其從數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育的角度來看，這樣的教學方式忽視了學生在概念學習中的數(shù)學理解，在筆者眼里，這不是一個明智的教學選擇. 真正在數(shù)學理解的基礎之上實施數(shù)學概念教學，實際上是磨刀不誤砍柴工，可以為學生數(shù)學認知體系的建立及數(shù)學解題能力的培養(yǎng)奠定堅實的基礎. 因此，在核心素養(yǎng)強調(diào)培養(yǎng)學生關鍵能力的背景之下，初中數(shù)學概念教學依然要立足于學生的數(shù)學理解. 下面從三個方面談談筆者的觀點.

當前概念教學中學生的數(shù)學理

解現(xiàn)狀

從數(shù)學概念建立的邏輯角度來看，無論是簡單的數(shù)學概念還是復雜的數(shù)學概念，往往有兩種建立途徑：一種基于生活實踐，也就是從生活經(jīng)驗當中提取相關的認識，然后建立數(shù)學概念;另一種基于邏輯推理，即從已有數(shù)學概念的基礎之上，通過研究或?qū)W習需要提供概念建立的驅(qū)動力，然后經(jīng)過邏輯推理去建立新的概念. 應當說，這兩種途徑并不獨立，在實際運用中，它們有很多相關聯(lián)的地方. 有時，一個數(shù)學概念是先從生活實踐當中提出來的，再用邏輯推理使其變得更加嚴謹. 縱觀初中數(shù)學教材的編寫，可以看到很多這樣的例子. 比如，“平行”概念就可以從諸多生活元素中進行分析與綜合，再運用邏輯推理，借助數(shù)學語言來描述，于是得到“平行”的概念.

可以肯定的是，無論選擇哪種途徑，或者將兩種途徑進行綜合運用，都必須追求數(shù)學理解. 而從當前的教學現(xiàn)狀來看，數(shù)學理解被忽視還有這樣幾種情形：一是教師忽視激活學生的生活經(jīng)驗，過于強調(diào)數(shù)學之間的邏輯關系;二是教師重視學生的生活經(jīng)驗，但是生活經(jīng)驗與數(shù)學概念之間的關系建立得不夠嚴謹，生活經(jīng)驗不能對數(shù)學概念的形成起到很好的支撐作用;三是在學生的樸素認識與嚴謹?shù)臄?shù)學概念語言描述之間，沒有建立起有機的聯(lián)系，學生對數(shù)學概念的理解常常很空洞;四是教師試圖通過習題的重復來促進學生理解數(shù)學概念，實際上這是一個事倍功半的過程，不僅會影響學生的數(shù)學學習興趣，還會影響學生對數(shù)學學科的認識，遺患無窮.

事實上，教師應當認識到，在日常數(shù)學教學中，有些數(shù)學概念是從它的現(xiàn)實模型中直接反映得來的，因此，在對這類概念進行教學時，教師應密切聯(lián)系概念的現(xiàn)實模型，讓學生獲得對所研究對象的感知. 這實際上也是追求數(shù)學理解的一個重要策略. 教學實踐中多運用這樣的策略，就可以基于數(shù)學理解，去有效地實施數(shù)學概念教學.

基于數(shù)學理解的初中數(shù)學概念

教與學

促進學生在概念學習過程中生成數(shù)學理解，除了借助生活素材而形成相關的模型之外，一些基本的思想方法的運用也起著重要的作用. 實際的教學經(jīng)驗表明，歸納法在數(shù)學概念教學中具有良好的教學效果. 分析與綜合、歸納與演繹等基本的思想方法，如果能夠與重視生活元素的教學思路相結合，那么學生在概念學習的過程當中，就必然會走在一條數(shù)學理解的道路之上. 下面通過一個教學案例來說明.

對于“全等三角形”這一重要概念，從概念組成的角度來看，“全等三角形”實際上是一個復合概念，初中生對三角形的認識已經(jīng)比較全面，因此這個概念的建立應當將重心放在“全等”這一關鍵詞上. 事實上，學生第一次看到“全等”這個概念時，第一反應是“完全相等”，這就是一種樸素的認識，而且是從“量”的角度建立起來的認識. 仔細分析學生的這一思維過程可以發(fā)現(xiàn)，學生的這一認識實際上具有抽象性，教師一方面要認識到學生這樣的認知基礎對“全等三角形”概念的建立有著重要的作用，另一方面也應當認識到，并非所有的學生都具有這樣的認識. 也就是說，如果教師以這一認識作為概念教學的起點，那就有可能忽視另外一部分學生的認知基礎，從而學習這個概念時，這部分學生可能會因為這個原因而變成“學困生”. 考慮到這一點，筆者進行了這樣的教學設計：

一是根據(jù)教材的編寫體系，先幫學生建立“全等形”的概念. “全等”與“全等形”只有一字之差，但是在學習的時候卻有很大的區(qū)別，后者更強調(diào)“形”的建構，必須讓學生認識到什么樣的形才是全等形. 這時教師可以向?qū)W生提供相應的素材——事實證明，教師只要提供三個全等形，絕大多數(shù)學生就能通過分析與綜合，建立起對全等形的初步認識. 最常見的認識就是“一模一樣的圖形”.

二是引導學生用數(shù)學語言去描述自己的認識. 這里可以緊扣學生形成的“一模一樣的圖形”讓學生思考：從數(shù)學的角度來看，一模一樣可以怎樣描述？此時可以將學生思維的對象進行簡化，將上面給學生提供的生活實例抽象成數(shù)學圖形，從而凸顯這些圖形的長度與角度兩個基本元素. 當學生能夠從長度與角度兩個方面去描述時，實際上他們已經(jīng)將自己的思維切換到數(shù)學視角. 此時學生很容易認識到全等形具有邊和角都相等的特征.

三是引導學生進一步探究全等三角形. 實際上，有了上面的認識之后，學生在這里很自然地會運用演繹的方法得出“全等三角形”的概念. 演繹當然是建立在歸納的基礎之上的，上一個環(huán)節(jié)中的分析與綜合奠定了學生的歸納基礎，學生可以理解“能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形”，能迅速認識到全等三角形的三條邊和三個角都相等，甚至會形成初步的問題：滿足什么條件時兩個三角形才全等？

用數(shù)學理解驅(qū)動學生的概念學

習過程

分析上述教學案例可以發(fā)現(xiàn)，在這樣的學習過程當中，學生不斷通過自己的思維去加工生活素材，通過基本思想方法的運用去進行數(shù)學抽象與邏輯推理，最終建立起了“全等三角形”這樣一個概念. 觀察學生的學習過程會發(fā)現(xiàn)，基本上不需要教師做出太多的干預，學生就能對全等三角形形成比較系統(tǒng)的認識：從最初的“全等形”的認識，到“全等三角形”概念的建立，到全等三角形性質(zhì)的認識，乃至全等三角形判定意識的初步形成. 這種系統(tǒng)認識是傳統(tǒng)講授式教學所無法達到的，其對應的是真正的學生數(shù)學理解的過程. 因而這樣的概念教學是有效的！

由此可以得出一個基本判斷：學生在學習數(shù)學知識時，首先要理解數(shù)學概念，這是學生學習數(shù)學知識的基礎. 學生只有學好數(shù)學概念，才知道用怎樣的方式研究數(shù)學;學生只有理解了數(shù)學概念，才能理解數(shù)學規(guī)律;學生只有理解了數(shù)學概念，才能把數(shù)學知識應用到解決問題中. 從數(shù)學概念的建立到數(shù)學概念的運用，對應著學生的系統(tǒng)認知，強調(diào)的是學生的數(shù)學理解. 當數(shù)學理解與概念學習之間形成一個良性的互動關系時，數(shù)學理解才能為概念學習奠定堅實的認知基礎，同時數(shù)學理解可以在概念學習的過程中得以深化，這正是一個良好的數(shù)學學習狀態(tài). 即使在核心素養(yǎng)培育的背景之下，教師也應當在概念教學中追求學生的數(shù)學理解，從而讓數(shù)學課堂保持良好的狀態(tài).

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