走進(jìn)拋物線：?jiǎn)栴}突破與反思探討

季彬

[摘 ?要] 以拋物線為背景的綜合題具有知識(shí)點(diǎn)多、形式多樣、圖像復(fù)雜等特點(diǎn)，在解題探究過(guò)程中要注重思維過(guò)程、方法構(gòu)建以及解題反思. 文章將以一道拋物線綜合題為例進(jìn)行問(wèn)題探究、解后反思，并提出教學(xué)建議，以期與讀者交流分享.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;三角形;相似;面積;變式;反思

問(wèn)題探究

1. 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的解析式為y=-x2+bx+3，與坐標(biāo)x軸相交于點(diǎn)A和B，與坐標(biāo)y軸交于點(diǎn)C，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，點(diǎn)P（0，t）是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式，以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

（2）如圖1所示，當(dāng)0≤t≤4時(shí)，設(shè)△PAD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此時(shí)t的值.

（3）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠PDA=90°時(shí)，Rt△ADP與Rt△AOC是否相似？若相似，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2. 思路突破

分析：第（1）問(wèn)為傳統(tǒng)的拋物線基礎(chǔ)知識(shí)問(wèn)題，由拋物線的解析式即可表示出對(duì)稱(chēng)軸，構(gòu)建條件列方程即可求出b值，對(duì)拋物線解析式進(jìn)行配方變形即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

第（2）問(wèn)為拋物線中圖形的面積問(wèn)題，所涉三角形的形狀一般，可通過(guò)面積割補(bǔ)的方法構(gòu)建模型，再利用函數(shù)性質(zhì)求出面積最小值.

第（3）問(wèn)的難度較大，解析三角形相似可采用“點(diǎn)坐標(biāo)推導(dǎo)——性質(zhì)驗(yàn)證”的思路.

解后反思

上述為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式、三角形相似等知識(shí). 深刻理解題干條件，把握?qǐng)D像特征，數(shù)形結(jié)合構(gòu)建解題思路是關(guān)鍵. 考題的難度相對(duì)不大，在完成解析時(shí)有必要關(guān)注以下幾點(diǎn).

1. 關(guān)注考題的關(guān)鍵點(diǎn)

考題的后兩問(wèn)是核心之問(wèn)，其中第（2）問(wèn)主要考查拋物線中三角形面積的構(gòu)建方式. 本題采用了常見(jiàn)的面積割補(bǔ)法，用梯形和特殊三角形的面積表示△ADP的面積是解題的關(guān)鍵. 而拋物線中常見(jiàn)的三角形可分為三類(lèi)：一是特殊的三角形，如等腰三角形、直角三角形，可直接利用三角形的特征來(lái)構(gòu)建面積模型;二是位置特殊的三角形，如三角形的三邊中存在與坐標(biāo)軸相平行的邊，此時(shí)就可以該邊為底構(gòu)建面積模型;三是上述的一般三角形，通常采用面積割補(bǔ)法，但對(duì)于上述問(wèn)題還可以采用面積鉛垂法，即過(guò)點(diǎn)D作鉛垂線，由鉛垂高和底來(lái)構(gòu)建面積模型.

第（3）問(wèn)考查了拋物線中相似關(guān)系的構(gòu)建，上述問(wèn)題的難點(diǎn)是判斷出點(diǎn)P為BD與y軸的交點(diǎn)，進(jìn)而基于判定定理“兩條線段對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，則兩個(gè)三角形相似”來(lái)構(gòu)建思路，把握三角形的特殊角，利用中位線的性質(zhì)確定點(diǎn)坐標(biāo). 該問(wèn)題可歸為三角形相似問(wèn)題，實(shí)際上拋物線背景中的三角形相似問(wèn)題還有如下解法：方法1，基于定理“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形為相似三角形”構(gòu)建思路，解析時(shí)重點(diǎn)探索問(wèn)題中的角度大小，可充分利用三角形全等性質(zhì)、平行線性質(zhì)以及直線斜率與角度的關(guān)系等;方法2，基于定理“三邊對(duì)應(yīng)成比例，則兩個(gè)三角形相似”構(gòu)建思路，解析的重點(diǎn)是探究所涉三角形的邊長(zhǎng)，可充分利用勾股定理、兩點(diǎn)之間的距離公式等.

2. 關(guān)注考題變式方向

函數(shù)綜合題的難點(diǎn)在于所涉知識(shí)點(diǎn)眾多，尤其是綜合性極強(qiáng)的函數(shù)與幾何綜合題，圖像錯(cuò)綜復(fù)雜，設(shè)問(wèn)形式多樣. 在完成解題探究后，有必要對(duì)考題進(jìn)行變式探究，思考問(wèn)題的變式方向，全方位地探討問(wèn)題，提升學(xué)生解題的靈活性. 上述考題有如下幾種變式思路，下面具體探究.

第（1）問(wèn)考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式及配方法變形解析式，在實(shí)際考查時(shí)，常綜合拋物線和x軸的交點(diǎn)與方程的根的聯(lián)系來(lái)考查學(xué)生的能力. 對(duì)于該問(wèn)，可將問(wèn)題變?yōu)椋阂阎獟佄锞€的解析式為y=ax2+bx+c，與x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A（-6，0），B（2，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，3），試求拋物線的解析式. 解題時(shí)可直接將解析式設(shè)為y=a（x+6）（x-2），代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出a的值，整理可得拋物線的解析式.

第（2）問(wèn)探究三角形面積的最值. 對(duì)于該問(wèn)，還可以逆向變式或關(guān)聯(lián)變式，具體如下.

變式1：點(diǎn)P（0，t）是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△PAD的面積為S，若S的取值范圍為0≤S≤4，試求t的取值范圍. 解析時(shí)同樣需要構(gòu)建三角形的面積模型，然后根據(jù)S的取值分析t的取值.

變式2：已知當(dāng)0≤t≤4時(shí)，設(shè)△PAD的面積為S1，△PAO的面積為S2，試求S1取得最小值時(shí)S2的值. 問(wèn)題解析與原題一致，可直接求出△PAD面積最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由于△PAO為直角三角形，利用面積公式即可求出S2的值.

第（3）問(wèn)考查三角形相似關(guān)系，可歸為三角形相似存在性問(wèn)題，其中設(shè)定了直角，若將該條件去掉，則問(wèn)題變?yōu)椋寒?dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否使△ADP與△AOC相似？若相似，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由. 問(wèn)題解析時(shí)需要關(guān)注三角形的相似對(duì)應(yīng)關(guān)系，由于△AOC為直角三角形，則需要探討△ADP為直角三角形時(shí)的三種情形，從而逐個(gè)排除，確定最終解.

教學(xué)建議

1. 細(xì)致構(gòu)圖，斟酌探“路”

數(shù)形結(jié)合是解析函數(shù)綜合題的常用方法，利用該方法進(jìn)行解析的重點(diǎn)有兩個(gè)：一是結(jié)合條件理解圖像，根據(jù)特性，細(xì)致作圖，完善圖像;二是結(jié)合圖像的性質(zhì)特征，挖掘隱含信息，利用直觀圖像深入思考，探究思路. 因此，在實(shí)際教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生重視讀圖，讓學(xué)生掌握讀圖的方法，借助語(yǔ)言轉(zhuǎn)化來(lái)提升學(xué)生的信息提取能力，如利用文字語(yǔ)言描述幾何關(guān)系，根據(jù)幾何關(guān)系繪制直觀圖像. 同時(shí)，教師還要強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，如由直角三角形構(gòu)建三邊關(guān)系，利用相似對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)建線段比例，基于垂直平分線探索中點(diǎn)坐標(biāo)等.

2. 深入反思，方法積累

解后反思是解題探究的關(guān)鍵一環(huán)，通過(guò)對(duì)考題特征、關(guān)鍵點(diǎn)、思路、解法的反思來(lái)提升學(xué)生的解題能力. 反思階段要關(guān)注考題的特征條件、問(wèn)題突破的關(guān)鍵點(diǎn)、常用的轉(zhuǎn)化思路以及可以采用的解法，必要時(shí)可進(jìn)行多解探究、類(lèi)題剖析，引導(dǎo)學(xué)生站在解題的高觀點(diǎn)處來(lái)思考解法的合理性及思路的簡(jiǎn)捷性. 如在上述考題中，筆者總結(jié)了拋物線中常見(jiàn)三角形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和位置特點(diǎn)，并給出了相應(yīng)的建模思路. 教學(xué)中幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)、基本問(wèn)題的常見(jiàn)解法，可有效提高學(xué)生的解題效率，使學(xué)生從根本上獲得解題能力的提升.

3. 變式探究，專(zhuān)題教學(xué)

在解題探究過(guò)程中，教師要注重提升學(xué)生解題的靈活性，拓展學(xué)生的解題思維，使學(xué)生獲得“解一題，通類(lèi)題”的能力，這就需要教師在教學(xué)中側(cè)重問(wèn)題的變式探究，即基于考題進(jìn)行變式分析，思考問(wèn)題的變式方向、解題方法的異同. 在實(shí)際教學(xué)中，教師可基于類(lèi)型考題開(kāi)展“一題一課”，注重預(yù)設(shè)環(huán)節(jié)的師生互動(dòng)，以學(xué)生為主體，設(shè)置互動(dòng)式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生基于考題進(jìn)行變式衍生，總結(jié)變式問(wèn)題的特征及解法，讓學(xué)生在變式對(duì)話中形成獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提升.

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