保不交算子值域的一些性質(zhì)

陳志杰,陳滋利,程娜

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610031)

保不交算子值域的一些性質(zhì)

陳志杰,陳滋利,程娜

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610031)

研究了保不交算子值域的性質(zhì),建立了保不交算子值域為Riesz子空間的一個刻畫;又討論了主理想和主帶在保不交算子作用后的象的性質(zhì),一些相關(guān)結(jié)果也得以討論.

保不交算子;保區(qū)間算子;值域;主帶

1 序言

自上世紀(jì)七十年代至今,對Riesz空間上保不交算子的研究,已有了相當(dāng)深入的結(jié)果,尤其是在保不交算子的乘法表示、可逆性、分解性、結(jié)構(gòu)性等方面.而關(guān)于保不交算子值域的性質(zhì)研究較少涉及.文[1]中僅討論保不交算子值域為理想的情形,而關(guān)于保不交算子值域為Riesz子空間的情況,卻無人問津.本文就此問題做了一些探討.

設(shè)E,F為Archimedean Riesz空間,線性算子T:E→F對所有x,y∈E,|x|∧|y|=0滿足|Tx|∧|Ty|=0時,則稱T為保不交算子.正的保不交算子稱為格同態(tài).T是序有界的保不交算子當(dāng)且僅當(dāng)T的模|T|=T∨(?T)存在且為格同態(tài).若正算子T:E→F滿足對于任意的x∈E+,有T[0,x]=[0,Tx],則T稱為保區(qū)間算子,此時TE為F的理想.當(dāng)T是格同態(tài)時,TE為F的Riesz子空間[2].而當(dāng)T是保不交算子,TE不一定為F的Riesz子空間[3].下文將給出TE為F的Riesz子空間的充分必要條件.

有關(guān)Riesz空間及保不交算子等未解釋的術(shù)語符號及基本理論可參考文[2,4-5].無特殊說明,本文均假定算子為序有界的算子,值域空間F是Dedekind完備的.

2 保不交算子的值域

下列有關(guān)算子的核和零空間的概念及相關(guān)性質(zhì)可在文[4]中找到.設(shè)序有界算子T: E→F,T的核(kernel)表示為Ker(T)={x:Tx=0};T的零空間(null space)表示為NT={x:|T|(|x|)=0}.容易驗證,NT是E的理想,若T序連續(xù),則NT是帶.當(dāng)T是保不交算子時,Ker(T)是理想,而且T的零空間與它的核相同,同時有如下性質(zhì):

性質(zhì)1設(shè)T:E→F為序有界的保不交算子,則Ker(T)=NT=Ker(|T|).

證明(1)若x∈Ker(T),則0=|Tx|=|T|(|x|),從而x∈NT;反之,若x∈NT,那么0=|T|(|x|)=|Tx|,所以Tx=0,即x∈Ker(T).

(2)由于T為序有界的保不交算子,|T|為格同態(tài),同樣滿足Ker(|T|)=N|T|.又NT= N|T|,故Ker(|T|)=NT.

由文[2]知,當(dāng)T是格同態(tài)時,TE為F的Riesz子空間.然而若T為保不交算子時,TE則一般不一定為F的Riesz子空間[3].但|T|E為F的Riesz子空間,而且|T|E??(TE),其中?(TE)為TE生成的Riesz子空間.事實上,對于任意的0＜x∈E,|T|x=|Tx|∈?(TE),因此|T|E??(TE),且這種包含關(guān)系可以是真包含[6].

下面的結(jié)果顯示TE為F的Riesz子空間時所具有的某些特征.

定理1設(shè)T:E→F為保不交算子,若TE為F的Riesz子空間,則TE=|T|E.

證明由于TE為F的Riesz子空間,即TE=?(TE).又|T|E??(TE),故而|T|E?TE.現(xiàn)在只需證明TE?|T|E.

對于任意的x∈E,|T|x=|T|x+?|T|x?∈TE.

由上述兩個定理可以得到TE為F的Riesz子空間的一個刻畫.

定理3設(shè)T:E→F為保不交算子,TE為F的Riesz子空間的充分必要條件是滿足下面兩個中的一個即可.

(1)TE?|T|E;(2)|T|E?TE.

作為上面的定理的一個應(yīng)用,可以得到文[1]中定理2.7的另一個簡便的證明.

定理4T:E→F為保不交算子,若|T|是保區(qū)間算子,則TE為F的理想.

證明由于|T|是保區(qū)間算子,那么|T|E是F的理想[4].由文[6]中的引理1知道I(TE)= I(|T|E),其中I(TE)表示TE在F中生成的理想.那么下面的關(guān)系成立

[1]Hart D R.Some properties of disjointness preserving operators[J].Proceeding of AMS,1985,88:183-197.

[2]Luxemberg W A J,Zaanen A C.Riesz Spaces I[M].Amsterdam:North-Holland,1971.

[3]艾富菊,陳滋利,陳志杰.經(jīng)典序列Banach格上保不交算子的一些性質(zhì)[J].四川師范大學(xué)學(xué)報,2007(教育教學(xué)專輯):16-21.

[4]Aliprantis C D,Burkinshaw O.Positive Operators[M].New York:Academic Press,1985.

[5]Meryer-Nieberg P.Banach Lattice[M].New York:Springer-Verlag,1991.

[6]Boulabiar K,Buskes G.Polar decompositions of order bounded disjointness preserving operators[J].Proceeding of AMS,2003,132:799-806.

[7]Bahri Turan.On ideal operators[J].Positivity,2003,7:141-148.

[8]Abramovich Y A,kitover A K.A characterization of operators preserving disjointness in terms of their inverse[J].Positivity,2000,4:205-212.

[9]Pagter B D,Schep A R.Band decompositions for disjointness preserving operators[J].Positivity,2000, 4:259-288.

[10]曹金文,胡燦.關(guān)于完全強仿緊空間的刻畫[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2004,20(2):193-196.

Some properties of the range of disjointness preserving operators

CHEN Zhi-jie,CHEN Zi-li,CHENG Na

(College of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu610031,China)

In this paper,some properties of the range of disjointness preserving operators are discussed.Firstly, the characterization is given,which is that the range of disjointness preserving operator is Riesz subspace. Secondly,some properties of disjointness preserving operators effecting on principal ideal and band are also given.

disjointness preserving operators,interval preserving operators,range,principal bands

O177.2

A

1008-5513(2009)04-0774-03

2008-03-25.

陳志杰(1984-),碩士,研究方向：泛函分析.

2000MSC:46A40,47B60