一類最優(yōu)的零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集構(gòu)造法

陳曉玉 蘇荷茹 高茜超

(燕山大學信息科學與工程學院 秦皇島 066004)

(河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室 秦皇島 066004)

1 引言

互補序列包含多個子序列，各個子序列自相關(guān)函數(shù)之和在零位移之外均為零, 是一類具有理想相關(guān)特性的序列，廣泛應用于雷達系統(tǒng)、信道估計、擴頻通信中[1–3]。在多載波碼分多址(Multi-Carrier Code Division Multiple Access, MC-CDMA)系統(tǒng)中可采用完全互補序列作為用戶地址碼。每個用戶分配一個互補序列，可通過不同的序列來區(qū)分不同的用戶，不同用戶的地址碼之間具有理想相關(guān)特性，不同的子序列通過不同的子載波調(diào)制發(fā)送，接收端將各個子載波信號相疊加以恢復用戶信號。文獻[1]的結(jié)果表明，在MC-CDMA系統(tǒng)異步上行鏈路信道中，完全互補序列的性能要比Gold碼和m序列好很多，這是由于Gold碼、m序列相關(guān)特性不理想，正交性被來自不同移動臺的異步比特流所破壞。但完全互補序列數(shù)目受子序列長度的限制，于是學者們提出了零相關(guān)區(qū)(Zero Correlation Zone,ZCZ)互補序列的概念，序列數(shù)量得以擴展，可以支持更多用戶。只要不同用戶信號的傳輸時延和不同路徑間的傳輸時延不超過零相關(guān)區(qū)長度，擴頻序列正交性就得以保證，從而可以抑制傳輸中的多徑干擾、多址干擾。

根據(jù)相關(guān)函數(shù)的不同，零相關(guān)區(qū)互補序列可分為零相關(guān)區(qū)周期互補序列(ZCZ Periodic Complementary Sequence, ZPCS)和零相關(guān)區(qū)非周期互補序列(ZCZ Aperiodic Complementary Sequence,ZACS)。目前，ZPCS[4–7]的研究已經(jīng)取得了豐富的成果。ZACS用途更多，但研究相對較少?；谟邢抻?G F(p) 和G F(pn)，文獻[8]構(gòu)造了一類參數(shù)達到最優(yōu)的ZACS，但正交矩陣階數(shù) N 與零相關(guān)區(qū) Z的比值被限制為素數(shù)p 或 pn。為減小MC-CDMA系統(tǒng)的峰均功率比(Peak-to-Mean Envelope Power Ratio, PMEPR)，文獻[2]構(gòu)造了列序列PMEPR最大為2的完全互補序列，但序列數(shù)目受限。文獻[9]利用Golay序列構(gòu)造了具有低列序列PMEPR的ZACS，可以支持更多用戶。文獻[10–12]研究的ZACS分別稱為非周期組間互補序列集和非周期組內(nèi)互補序列集，是兩類特殊的零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集。高斯整數(shù)序列是一類實部、虛部均為整數(shù)的復數(shù)序列，包含四元和QAM序列，具有較高的傳輸速率和頻譜利用率?；谒脑猌ACS，文獻[13]提出了擴展ZACS序列個數(shù)和ZCZ長度的方法。文獻[14]基于ZACS和格雷映射，構(gòu)造了一類四元ZACS，但ZCZ長度由初始序列決定?；谡恍蛄屑?，文獻[15]構(gòu)造了一類8QAM+零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集，在滿足Z|N的條件下，零相關(guān)區(qū)長度可靈活設(shè)定。目前，高斯整數(shù)互補序列的研究較少，且多集中在四元、8QAM+等特殊元素上。

本文給出了參數(shù)θ 的設(shè)定方法，從而基于正交序列集構(gòu)造了ZACS，所得的ZACS參數(shù)達到最優(yōu)，且在滿足Z|N的條件下零相關(guān)區(qū)長度可以靈活設(shè)定。同時，本文基于多電平完備序列，提出了高斯整數(shù)正交序列集的構(gòu)造方法，可以為ZACS的構(gòu)造提供大量初始序列，進而得到高斯整數(shù)零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集，豐富了高斯整數(shù)互補序列集的研究成果。

2 基本概念

定 義1設(shè) a=(a(0),a(1),···,a(L ?1)) 和b=(b(0),b(1),···,b(L ?1))是 兩個長度為 L的復數(shù)序列，其非周期相關(guān)函數(shù)定義為

其中， b?(·) 為 b (·)的 復共軛。若a =b，則稱為非周期 自 相 關(guān) 函 數(shù)，簡 寫 為 Ca(τ) 。若a ≠b，則Ca,b(τ)稱為非周期互相關(guān)函數(shù)。

序列a 和 序列b 的周期相關(guān)函數(shù)和非周期相關(guān)函數(shù)具有以下關(guān)系

若a =b， 則稱為周期自相關(guān)函數(shù)，簡寫為Ra(τ)。若a ≠b， 則 Ra,b(τ)稱為周期互相關(guān)函數(shù)。

定義2設(shè)序列集 O ={o0,o1,···,oM?1} 含有M 個序列，任意序列表示為 om=(,,···,?1)，其中 0 ≤m ≤M ?1 。若任意兩個序列om0和om1在τ =0時的周期相關(guān)函數(shù)滿足

其中， 0 ≤m0,m1≤M ?1 ，則稱序列集O 為正交序列集。

定義3設(shè)序列集 A={A0,A1,···,AM?1}包含M個序列，每個序列Am={,,···,?1}含有N個 長 度 為 L 子 序 列A=(A(0),A(1),···,A(L ?1))。如果序列非周期相關(guān)函數(shù)滿足

定義4對于參數(shù)為( M,Z)ACS的零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集，序列集參數(shù)之間的關(guān)系滿足

當?shù)忍柍闪r，稱序列集的參數(shù)達到理論界限，是最優(yōu)的零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集。

3 零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集構(gòu)造方法

3.1 基于正交序列集構(gòu)造零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集

N×N。取正交序列集B ={b0,b1,···,bT?1}， 包含 T個序列，每 個 序 列 bt=(,,···,?1) 的 長 度 為 T，其 中0 ≤t ≤T ?1 。設(shè)正整數(shù) Z ，令N ≥T , L =N/Z,K =T/Z。

步驟 2 構(gòu)造含有 M =LT個序列的序列集S ={S0,S1,···,SM?1}， 每個序列Sm={,,···,?1} 包含 N 個長度為 T 的子序列S=((0),(1),···,(T ?1))， 其中0 ≤m=lT +g ≤M ?1,0 ≤l ≤L ?1 , 0 ≤t,g ≤T ?1 , 0 ≤n ≤N ?1，子序列的具體構(gòu)造如式(6)

定理1序列集 S 是零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集，參數(shù)表示為( LT,Z)ACS。

證明Sm0, Sm1為 序列集S 中的任意兩個序列，有m0=l0T +g0, m1=l1T +g1。令t =t0Z+t1,τ =τ0Z+τ1，其 中0 ≤t0,τ0≤K ?1 , 0 ≤t1,τ1≤Z ?1，計算序列非周期相關(guān)函數(shù)如式(7)

其中，θ0=t1L+[l0(?1)t1+t0+q]modL, θ1=(t1+τ1)modZL+[l1(?1()(t1+τ1)modZ+t0+)τ0+q]modL，令θ2=θ1?θ0=(t1+τ1)modZ?t1L+θ3，其中θ3=[l1(?1)(t1+τ1)modZ?l0(?1)t1+τ0]modL。

分以下兩種情況討論：

情況1： m0=m1, 0 <τ ≤T ?1 ，即l0=l1且g0=g1。 當τ1=0且 τ0≠0時 ， 有θ2=θ3=[l1(?1)t1?l0(?1)t1+τ0]modL，可得θ2≠0 ，即θ 0 ≠θ1，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，有Raθ0,aθ1(0)=0 ， 即CSm0,Sm1(τ)=0 。 當 τ1≠0時，分兩種情況進行探討：

(1) 0 ≤t1+τ1≤Z ?1 時，可 得θ2=τ1L+[l1(?1)t1+τ1?l0(?1)t1+τ0]modL≠0 ， 即θ 0 ≠θ1，根 據(jù) 正 交 矩 陣 的 性 質(zhì)，有 Raθ0,aθ1(0)=0，即CSm0,Sm1(τ)=0。

(2) Z ≤t1+τ1≤2Z ?2 時，θ2=(τ1?Z)L+[l1(?1)t1+τ1?Z?l0(?1)t1+τ0]modL=cL+θ3，其中c 為 非 零 整 數(shù)。又0 ≤θ3≤L ?1 ，故θ2≠0成 立，即θ0≠θ1。同理可得CSm0,Sm1(τ)=0。

(1) l0=l1, g0≠g1, 0 ≤τ ≤T∑ ?1 。當τ0=τ1又因為 B為正交序列集，所以CSm0,Sm1(τ)=0。當τ1=0 且τ0≠0 時，可得θ2=θ3=[l1(?1)t1?l0(?1)t1+τ0]modL， 所以θ2≠0， 即θ 0 ≠θ1，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，有Raθ0,aθ1(0)=0， 即CSm0,Sm1(τ)=0。 當τ1≠0時，與情況1類似，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，有Raθ0,aθ1(0)=0 ，即CSm0,Sm1(τ)=0。

(2) l0≠l1, 0 ≤τ ≤Z ?1 。當τ0=τ1=0時，已知l0≠l1， 則θ 3 ≠0， 即θ 0 ≠θ1，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，有 Raθ0,aθ1(0)=0 ，即CSm0,Sm1(τ)=0。當τ0=0 且0<τ1≤Z ?1 時，即τ1≠0，與 情 況1類似，有等式CSm0,Sm1(τ)=0成立。 證畢

推論1已知 m =lT +g ，序列集Sm可以表示為Sm=S(l,g), 0 ≤l ≤L ?1, 0 ≤g ≤T ?1 。 S 具有如下性質(zhì)：

(1) 任意序列Sm具有理想自相關(guān)特性，相關(guān)函數(shù)滿足

(2) 根據(jù)參數(shù)l 的取值將序列集進行分組，組內(nèi)不同互補序列S(l0,g0)和 S(l1,g1)具有理想互相關(guān)特性,即滿足組內(nèi)互補(Intra-Group Complementary,IaGC)特性，相關(guān)函數(shù)滿足

其中，0 ≤l0=l1≤L ?1, 0 ≤g0≠g1≤T ?1。

(3) 不同組的互補序列S(l0,g0)和 S(l1,g1)具有長度為 Z的零相關(guān)區(qū)，相關(guān)函數(shù)滿足

其中，0 ≤l0≠l1≤L ?1， 0 ≤g0,g1≤T ?1。

證明略。由定理1的證明過程即可得證。

定理2序列集S 的參數(shù)( LT,Z)ACS達到理論界限，是最優(yōu)的零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集。

證明本文所構(gòu)造的序列集 S 參數(shù)為(LT,Z)ACS，其中L =N/Z , K =T/Z 。設(shè)M0表示零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集中序列數(shù)目的理論上界，有

可知，序列集 S 的參數(shù)達到理論界限，是最優(yōu)的零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集。 證畢

3.2 基于多電平完備序列構(gòu)造高斯整數(shù)正交序列集

步驟 1 設(shè)序列 u=(u(0),u(1),···,u(N ?1))為整數(shù)集上的多電平完備序列。

步驟 2 構(gòu)造含有 N個序列的序列集U ={U0,U1,···,UN?1} ，每個序列Un=(,,···,?1)的長度為 N，具體表示為

步驟 3 構(gòu)造序列集 H ={h0,h1,···,hN?1}，其中 hn=(,,···,?1) 。 根據(jù) N的奇偶分如下兩種情況構(gòu)造，具體表示為

當N為偶數(shù)時，令N =2N′，則

當N為奇數(shù)時，令N =2N′+1，則

其中， 0 ≤n,t ≤N ?1 , a ,b,c,d 都是整數(shù)且ac+bd=0。

定理3序列集 H 是一個高斯整數(shù)正交序列集。

該類研究將體育社會組織視為“社會間分層”的一部分，重視社會組織與不同社會主體之間的互構(gòu)問題。該類分析假設(shè)正是由于社會組織與其他主體的互動導致某一方在政治、文化和經(jīng)濟上壓倒另一方或者幾方的現(xiàn)象，從而推導出“依附式發(fā)展”、“分類控制”、“非協(xié)作約束與策略性應對”等分析框架。

證明不妨設(shè) n0

情況1：當 N為奇數(shù)時，有N =2N′+1，具體討論如下。

(1) 當0 ≤n0≠n1≤N′?1時 ，hn0, hn1的相關(guān)函數(shù)計算如式(15)。

有 n0≠n1, n 0 ≠n1+N′+1 , n 1 ≠n0+N′+1，所以Rhn0,hn1(0)=0。

(2) 當 0 ≤n0≤N′?1, n1=N′時，hn0, hn1的相關(guān)函數(shù)計算如式(16)。

有n0≠n1, n 1 ≠n0+N′+1， 所以Rhn0,hn1(0)=0。

(3) 當 0 ≤n0≤N′?1 , N′+1 ≤n1≤N ?1時，hn0, hn1的相關(guān)函數(shù)計算如式(17)。

若n0=n1?N′?1， 則n1=n0+N′+1，式(17)的中間兩項可化簡為 2 (ac+bd)Eu=0 。又n1≠n0, n0+N′+1 ≠n1?N′?1， 所以R hn0,hn1(0)=0； 若n0 ≠n1?N′?1， 則 n1≠n0+N′+1， 則 Rhn0,hn1(0)=0。

(5) 當N′+1 ≤n0≠n1≤N ?1時 ，與情況0 ≤n0≠n1≤N′?1同 理，可得Rhn0,hn1(0)=0。

情況2： N為偶數(shù)時，與 N 為奇數(shù)時同理，故省略。

綜合情況1和情況2可知，序列集 H 是一個高斯整數(shù)正交序列集。證畢。

例1 取周期為6的三電平完備序列u=(1,?1,1,?1,1,2) ， 令a =1, b=1, c=1, d=?1，由定理3的構(gòu)造方法可以得到高斯整數(shù)正交序列集 B ：

取8階Hadamard矩陣A和上述6階高斯整數(shù)正交序列集 B ，設(shè)Z =2 ，則L =4,K =3。令參數(shù)q =0 ，可以得到序列集S ={S0,S1,···,S23}，部分序列表示如下：示為( 24,2)AC。序列數(shù)目的理論上界M0=8 6/2=

序列集S 為零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集，參數(shù)表24 ， 可知，序列集S 的參數(shù)達到理論界限，是最優(yōu)的高斯整數(shù)零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集。

4 構(gòu)造方法比較

表1對不同文獻構(gòu)造ZACS的構(gòu)造基礎(chǔ)、結(jié)果序列集參數(shù)、是否達到最優(yōu)等方面進行了對比。文獻[10]構(gòu)造了組間互補序列集，ZCZ長度等于初始PC序列子序列個數(shù)L，不可靈活選擇。文獻[12]構(gòu)造的ZACS組內(nèi)具有理想的互相關(guān)性能，但是序列組間的ZCZ長度被限制為2的整數(shù)次冪，即{1,2,4,8,···,2n?1}。文獻[13]基于四元ZACS，利用迭代的方法構(gòu)造了兩類四元ZCZ非周期互補序列集，分別擴展了序列集的個數(shù)和ZCZ長度，但ZCZ長度由初始序列決定，為固定值Z或2Z。文獻[14]同樣基于四元ZACS進行構(gòu)造，參數(shù)受初始序列集限制，在滿足T =M N/Z時，序列集的參數(shù)可達最優(yōu)。文獻[8]、文獻[9]及本文均以正交矩陣或正交序列集為初始序列，與PC和ZACS相比正交矩陣的數(shù)量更多，方法受限更小，但文獻[8]的構(gòu)造方法基于有限域 GF(p) 和G F(pn) ，正交矩陣階數(shù) N與零相關(guān)區(qū)Z的比值被限制為素數(shù)p 或 pn。文獻[9]構(gòu)造了具有低列序列PMEPR的 ZACS，但只有初始Golay序列具有理想自相關(guān)性能時才能得到最優(yōu)的ZACS。本文基于正交序列集構(gòu)造了一類參數(shù)達到理論界限的零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集，序列組內(nèi)具有理想的互相關(guān)特性，即在序列長度內(nèi)互相關(guān)函數(shù)全為零，并且在滿足Z|N的條件下不同組序列間零相關(guān)區(qū)長度可以靈活設(shè)定。通過引入?yún)?shù)q，本文方法可以得到多個不同的零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集，使其數(shù)量得以擴展。

本文方法以正交序列集作為基序列構(gòu)造ZACS，為滿足實際需求，可以選擇不同類型的正交序列集。若以二元正交矩陣作為基序列，ZCZ長度會受到限制；若以多相正交矩陣如DFT矩陣作為基序列，其階數(shù)N可為任意整數(shù)，因此，ZCZ長度可以靈活選擇；以高斯整數(shù)正交序列集作為基序列，ZCZ長度受限小。雖然復數(shù)序列在擴頻的實現(xiàn)難度上大于二元序列，但高斯整數(shù)序列可以同時利用載波的幅度和相位傳輸信息，能實現(xiàn)較高的傳輸速率和頻譜利用率。

5 結(jié)束語

本文首先基于正交序列集提出了零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集的構(gòu)造方法，序列集的參數(shù)均可達到最優(yōu)。本文構(gòu)造的零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集有如下性質(zhì)：(1)非周期互補序列集有理想自相關(guān)性能；(2)同一組內(nèi)的非周期互補序列具有理想的互相關(guān)特性；(3)不同組的序列具有零相關(guān)區(qū)，且在滿足Z|N條件下零相關(guān)區(qū)長度的選擇靈活，可以為MC-CDMA系統(tǒng)、MIMO信道估計提供大量可用序列。其次，基于多電平完備序列，給出了高斯整數(shù)正交序列集的構(gòu)造方法，可以為ZACS的構(gòu)造提供初始序列。

表1 零相關(guān)區(qū)非周期互補序列集參數(shù)比較