混合高斯噪聲背景下基于多目標(biāo)優(yōu)化的節(jié)點選擇方法

閆青麗 陳建峰

①(西安郵電大學(xué)計算機學(xué)院 西安 710121)

②(西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院 西安 710072)

1 引言

由于聲音具有不受光線和能見度限制，隱蔽性強、不易受到電子干擾以及容易獲取等優(yōu)點，聲源定位技術(shù)被廣泛應(yīng)用于工業(yè)自動化、醫(yī)療護理、智能交通、智能安防以及搶險救災(zāi)等民用領(lǐng)域。根據(jù)用來估計聲源位置的信號參數(shù)，目前，常見的聲源定位方法有3種：(1)基于信號到達方向角(Angle Of Arrival, AOA)的定位方法；(2)基于到達時間(Time Of Arrival, TOA)或基于到達時間差(Time Difference Of Arrival, TDOA)的方法；(3)基于接收信號能量(Received Signal Strength, RSS)的方法。由于每個節(jié)點單獨執(zhí)行AOA估計，不同節(jié)點處的信號不需要同步。且AOA計算原理和方法非常簡單，因此，AOA定位技術(shù)得到廣泛的關(guān)注和研究[1–4]。

理論上傳感器節(jié)點越多定位性能越好，對于分布式的定位系統(tǒng)而言，使用全部的傳感器節(jié)點可能會帶來過度的數(shù)據(jù)冗余，而且傳感器節(jié)點越多傳感器能量和通信開銷越大。另外，節(jié)點始終處于工作狀態(tài)會縮短系統(tǒng)的壽命，增加系統(tǒng)成本。選擇部分傳感器節(jié)點實現(xiàn)目標(biāo)位置估計是延長系統(tǒng)生命周期、降低成本的一個有效方法。但傳感器節(jié)點數(shù)量減少會使得對應(yīng)的定位精度隨之降低。因此，如何根據(jù)目標(biāo)位置的先驗信息來動態(tài)選擇最優(yōu)的節(jié)點，實現(xiàn)節(jié)點個數(shù)和定位性能達到一定的平衡狀態(tài)，是實際應(yīng)用過程中需要解決的一個問題[4–11]。

Ertin等人[4]通過計算互信息，即預(yù)測的目標(biāo)狀態(tài)和當(dāng)前節(jié)點測量的相互信息來確定不同傳感器的信息增益。Wang等人[5]提出了基于熵的節(jié)點選擇方法，減少了計算復(fù)雜度。文獻[6]提出了利用馬氏距離來評估信息效用的測量方法。這種方法計算效率高，但只適用于測距傳感器。Kaplan[7,8]提出了兩種節(jié)點選擇方法，一種是首先選擇兩個與聲源位置不在同一條直線上的節(jié)點，然后利用貪婪算法逐個選擇能夠最小化均方差(Mean Square Error, MSE)的節(jié)點；另外一種是隨機選擇若干個節(jié)點，然后通過將剩余節(jié)點代替選擇的節(jié)點，根據(jù)定位性能的改變狀態(tài)來改進節(jié)點選擇集。在定位性能約束條件下，文獻[9]中針對非線性測量模型，提出了3種基于凸優(yōu)化的節(jié)點選擇方法。針對線性測量模型，文獻[10]研究了相關(guān)噪聲背景下的節(jié)點選擇問題。郝本建等人[11]研究了基于TDOA定位技術(shù)的節(jié)點選擇方法，通過將非凸問題轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題，實現(xiàn)節(jié)點的選擇。

近幾年，由于定位系統(tǒng)的應(yīng)用背景越來越復(fù)雜，當(dāng)傳感器節(jié)點存在一定不確性時的傳感器節(jié)點選擇問題也逐步受到關(guān)注[12–14]。Cao等人[15]研究了在不確定傳感器網(wǎng)絡(luò)中，分別利用互信息和Fisher信息作為性能指標(biāo)時的節(jié)點選擇問題。Zhao等人[16]研究了非視距傳播環(huán)境中基于到達時間差的節(jié)點選擇方法。

當(dāng)各個節(jié)點的估計誤差服從高斯分布時，基于互信息和Fisher信息矩陣的節(jié)點選擇方法選擇結(jié)果具有一致性。但是對于節(jié)點存在一定不可靠性的定位系統(tǒng)而言[17,18]，基于這兩個準則的節(jié)點選擇結(jié)果往往具有一定的差異性。如何綜合考慮兩種定位性能準則進行節(jié)點選擇是目前研究中的空白。

2 AOA定位算法

基于AOA的定位技術(shù)通過估計聲源到達節(jié)點的方向，然后利用三角定位法確定聲源位置。假設(shè)聲源真實位置為 x =[x,y]T，聲源到各個節(jié)點的真實方向角(AOA)為 θi， 節(jié)點si=[xi,yi]T估計的聲源到達角為。和θi存在如式(1)的關(guān)系

其中， θi=arctan((y ?yi)/(x ?xi)), ni為角度 測量誤差，理想情況下，通常假設(shè)其服從高斯分布。當(dāng)節(jié)點失效或受到脈沖噪聲干擾時，ni不再服從簡單的高斯分布，而是服從一種嚴重拖尾的分布。本文中用L項的高斯混合模型來表示節(jié)點的估計誤差

3 節(jié)點選擇準則

3.1 貝葉斯Fisher信息矩陣

對于被動定位系統(tǒng)，聲源的精確位置是未知的，但可以粗略預(yù)估目標(biāo)可能出現(xiàn)的區(qū)域。假設(shè)已知聲源的先驗分布f(x)，對應(yīng)貝葉斯Fisher信息(Bayesian Fisher Information, BFI)矩陣，BFI通常包含兩部分

當(dāng)目標(biāo)位置的先驗分布為f (x)時 ，Iprior可以表示為

由于Ii=∫(x)f(x)dx，條件信息矩陣為

對于AOA定位問題，zi=θi(x)+ni,i=1,2,···,N，則條件概率密度函數(shù)為

通過簡單的計算可以得到

其中

圖1給出了當(dāng)背景噪聲保持不變，干擾噪聲不斷增大時的信息因子的變化趨勢。從圖1可以看出，當(dāng)σ2/σ1≈1時，即估計誤差服從高斯分布時，Iscalar達 到最大值，隨著干擾噪聲的出現(xiàn)，Iscalar減小。值得注意的是，F(xiàn)I信息因子并不是隨著σ2/σ1的增大而單調(diào)減小，當(dāng) σ2/σ1<4時，F(xiàn)I的比例因子隨著σ2/σ1的增大而減小。在這種情況下，干擾噪聲只稍微大于背景噪聲，很難識別此類干擾，因此信息因子會隨著干擾項的增大而減小。當(dāng)σ2/σ1≈4時，信息因子具有最小值。相反，當(dāng)σ2/σ1>4時，F(xiàn)I的比例因子會出現(xiàn)輕微上升并逐漸趨于穩(wěn)定的趨勢，這是因為 σ2/σ1>4時，干擾項變得越來越明顯，相對容易識別，干擾噪聲的影響反而變小。

3.2 互信息

互信息(Mutual Information, MI)通過衡量x與zi的相關(guān)性，即評估不同的節(jié)點觀測值所帶來的關(guān)于目標(biāo)位置x的信息，選擇具有最大互信息值的節(jié)點，節(jié)點si的互信息可表示為

圖1 信息因子與σ 2/σ1的關(guān)系

H(zi)為 預(yù)測的傳感器節(jié)點測量值的熵，H (zi|x)實際上是對所有可能目標(biāo)位置平均期望熵。與圖1類似，這里觀察MI與 σ2/σ1的關(guān)系，MI與σ2/σ1的關(guān)系如圖2所示。從圖中可以看出，MI隨著 σ2/σ1的增大逐漸減小，后趨于穩(wěn)定，并且 p1越大，互信息也越大，說明節(jié)點的不可靠性的確給MI帶來了影響。

4 基于多目標(biāo)優(yōu)化的節(jié)點選擇方法

4.1 基于多準則的節(jié)點選擇方法

為了綜合考慮不同的節(jié)點選擇準則，本文考慮將BFI和MI同時作為優(yōu)化的函數(shù)。由于在實際應(yīng)用中，一般并不知道需要具體選擇的節(jié)點數(shù)目。一種實際的方法是綜合考慮節(jié)點個數(shù)和對應(yīng)的定位性能來合理地選擇傳感器節(jié)點，因此，本文將選擇的節(jié)點個數(shù)也作為一個優(yōu)化目標(biāo)?；诖耍竟?jié)提出將節(jié)點選擇問題表示為多目標(biāo)優(yōu)化問題。為了消除量綱的影響，本文對所有的目標(biāo)函數(shù)進行歸一化處理

其中

圖2 互信息與σ 2/σ1的關(guān)系

第1個目標(biāo)函數(shù) f1(w)為選擇的傳感器節(jié)點個數(shù)，理想的情況是選擇的節(jié)點個數(shù)越少越好，因此第1個目標(biāo)函數(shù)實際是一個最小化問題。第2個和第3個目標(biāo)函數(shù)分別為選擇的傳感器節(jié)點對應(yīng)的MI和BFI；節(jié)點個數(shù)一定的時候，對應(yīng)的MI和BFI越大越好，因此，后兩個目標(biāo)函數(shù)為最大化問題。為了將所有目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一為最大化問題，本文將第1個目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為總的傳感器節(jié)點個數(shù)N和選擇的節(jié)點個數(shù)之間的差。理論上講，傳感器節(jié)點個數(shù)越多，所對應(yīng)的定位性能越好，因此，式(12)中的3個目標(biāo)函數(shù)是互相沖突的。為了求解式(12)所述的多目標(biāo)優(yōu)化問題，下文將利用多目標(biāo)優(yōu)化方法尋找使得3個目標(biāo)函數(shù)達到某種平衡狀態(tài)的最優(yōu)解。

4.2 多目標(biāo)優(yōu)化方法概述

對于多目標(biāo)優(yōu)化問題(Multi-objective Optimization Problem, MOP)

目前，基于分解的多目標(biāo)優(yōu)化方法(Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition, MOEA/D)由于計算復(fù)雜度低，能得到較為均勻分布的Pareto最優(yōu)解，其得到了較為廣泛的應(yīng)用[19]。本文采用MOEA/D的方法來解決節(jié)點選擇中的多目標(biāo)優(yōu)化問題(MOEA/D based Sensor Selection, MOEA/D-SS)，其中利用切比雪夫法來實現(xiàn)多目標(biāo)聚合。

4.3 基于與理想解相似的偏好排序技術(shù)的最終選擇節(jié)點決策

值得強調(diào)的是傳感器節(jié)點選擇的最終目的是獲得一組單一的選擇結(jié)果，而多目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)果是一系列的Pareto最優(yōu)解，因此如何從這些候選解中選擇最終的解是一個決策問題。在節(jié)點選擇問題中，往往要在節(jié)點個數(shù)和定位性能之間進行權(quán)衡。對不同的定位系統(tǒng)，往往是人為地去設(shè)置性能需求，因此，不同的偏好或者需求要求人們選擇不同的結(jié)果?；诖耍疚睦门c理想解相似的偏好排序技術(shù)(Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution, TOPSIS)[20]進行最終的決策。在介紹這兩種方法前，首先對統(tǒng)一的符號進行定義：fij： 第i個解對應(yīng)的第j個目標(biāo)函數(shù)；Fij: fij歸一化后的值； vij: fij或 Fij的權(quán)值；wj：第j個目標(biāo)函數(shù)的權(quán)值。

根據(jù)TOPSIS，所選擇的最優(yōu)解應(yīng)該到理想解(也稱為正理想解)的歐氏距離最小以及到負理想解的歐氏距離最大。理想解是給定最優(yōu)解中每個目標(biāo)最佳值的組合(在最大化問題中就是最大值)。相反，負理想解是給定最優(yōu)解中每個目標(biāo)最壞值的組合。

步驟 1 構(gòu)建歸一化的K ×3目標(biāo)矩陣

步驟 2 構(gòu)建歸一化的K ×3加權(quán)目標(biāo)矩陣

步驟 3 確定正理想解 A+，即為每個目標(biāo)函數(shù)的最大值和負理想解 A?即為每個目標(biāo)函數(shù)的最小值；

步驟 4 計算每個解到正理想解和負理想解的距離

步驟 5 計算每個最優(yōu)解的貼近度

具有最大值的最優(yōu)解即為最終要選擇的解。因此，根據(jù)MOEA/D求解的PS，應(yīng)用TOPSIS技術(shù)即可進行最終決策。

4.4 算法復(fù)雜度分析

本文所提基于多目標(biāo)優(yōu)化的節(jié)點選擇方法，首先需要計算兩個性能參數(shù)。根據(jù)文獻[5]，將目標(biāo)先驗分布和節(jié)點觀測角度分別均勻分割為 n ×n個離散點時，N個節(jié)點的互信息計算復(fù)雜度為O(Nn4),Fisher信息矩陣的計算復(fù)雜度為O(4Nn4)。值得注意的是，互信息和Fisher信息矩陣計算完成后，在節(jié)點選擇算法執(zhí)行過程中可重復(fù)使用不必重復(fù)計算。

在MOEA/D的方法中，主要的計算成本在隨機選擇兩個遺傳算子的解，每計算一個目標(biāo)函數(shù)，執(zhí)行向量相乘的復(fù)雜度為O(N)，執(zhí)行比較和賦值的復(fù)雜度為O(m)，因此，時間復(fù)雜度為O(mN)；計算T個解的切比雪夫值，每個計算步驟復(fù)雜度為O(mN)，總體復(fù)雜度為O(mTN)。因此，MOEA/D總體復(fù)雜度為O(mKTN)。

T O P S I S 算法，第1 步的計算復(fù)雜度為O(mK)，第2步執(zhí)行了m次長度為K的向量與一個標(biāo)量的乘積，其計算復(fù)雜度為O(mK)，第4步計算復(fù)雜度為O(2 m K), T O P S I S 算法復(fù)雜度為O(2mK)。

綜上所述，本文節(jié)點算法的計算復(fù)雜度為O(4Nn4+ mKTN)。本文所提節(jié)點選擇問題中有3個目標(biāo)函數(shù)，因此m=3。

5 仿真結(jié)果

本文的仿真基于以下參數(shù)：25個傳感器節(jié)點均勻地布放在 100×100 m2的測試區(qū)域內(nèi)，如圖3所示。每個節(jié)點都有已知的可靠概率。角度測量誤差模型為混合高斯噪聲，其中背景噪聲和干擾噪聲的標(biāo)準差為σ1=0.5?, σ2=30?。假設(shè)目標(biāo)的先驗區(qū)域為a1≤x ≤b1,a2≤y ≤b2, 圖3中菱形表示不同的(a1,a2) 值 ，且| b1?a1|=|b2?a2|=5。圖3中圓圈表示傳感器節(jié)點，其右側(cè)的整數(shù)表示節(jié)點對應(yīng)的索引值，下方的浮點數(shù)表述節(jié)點的可靠概率。為了簡化計算，本文將目標(biāo)的先驗區(qū)域均勻網(wǎng)格化為50×50個點，將式(3)以及式(9)中的積分離散化為近似的求和計算。

5.1 基于MOEA/D的Pareto解

本文采用的多目標(biāo)優(yōu)化算法MOEA/D中采用遺傳進化算法，其中選擇單點交叉算子和標(biāo)準的變異方法[20]；變異概率和交叉概率分別為1和1/N(N為傳感器的節(jié)點個數(shù))。每一個權(quán)向量的鄰居規(guī)模大小為 T =20。種群規(guī)模大小為325。最大的進化次數(shù)為400。以第4個聲源位置為例，本節(jié)將基于MOEA/D的優(yōu)化結(jié)果與基于NSGA-II的優(yōu)化結(jié)果進行比較，如圖4所示。從圖4中可以看出，基于MOEA/D的方法可以找到相對比較均勻的非支配解。相同的節(jié)點個數(shù)(即f1相同)時，選擇不同的節(jié)點組合對應(yīng)的BFI和MI也不相同。

5.2 不同目標(biāo)位置區(qū)域的節(jié)點選擇結(jié)果

為了直觀地觀察不同節(jié)點選擇策略的選擇結(jié)果的區(qū)別，圖5顯示了兩個不同聲源位置的節(jié)點選擇結(jié)果。為了進行對比，本文分別利用文獻[9]提出的基于凸優(yōu)化的節(jié)點選擇方法和文獻[5]提出的基于MI的方法選擇與MOEA/D-SS相同節(jié)點的個數(shù)。

圖3 25個傳感器節(jié)點布局

圖4 基于MOEA/D和NSGA-II的Pareto解

從圖5可以看出基于凸優(yōu)化的選擇方法往往選擇距離聲源位置較近的節(jié)點，即使它們具有較低可靠概率，而基于MI的方法總是選擇具有高可靠概率的傳感器。例如對于圖5(b)所示目標(biāo)位置，s19的可靠概率僅有0.35，但是距離聲源非常的近，基于凸優(yōu)化的節(jié)點選擇方法選擇了該節(jié)點，而基于MI的選擇策略由于其較低的可靠概率而舍棄了該節(jié)點。這與文獻[15]中的研究一致。通過綜合考慮BFI和MI兩種性能評估準則，本文所提節(jié)點選擇方法舍棄掉接近聲源位置但具有較低可靠概率的節(jié)點s9, s15, s23，反而選擇了距離稍遠但可靠概率較高的節(jié)點s5, s7, s22，這與MI的選擇結(jié)果相似。但與MI不同的是MOEA/D-SS選擇了距離聲源非常接近的節(jié)點s19，這一點與BFI相似，因此，利用MOEA/D-SS選擇方法會綜合考慮MI和BFI兩種性能指標(biāo)來選擇節(jié)點。結(jié)果還表明，一個好的選擇策略非常重要，因為一個不同的傳感器可以顯著提高定位性能。

5.3 權(quán)值對選擇結(jié)果的影響

若對于第i個目標(biāo)位置，利用多目標(biāo)優(yōu)化方法及決策方法有ki個節(jié)點被選擇，為了說明提出的基于兩種性能指標(biāo)的優(yōu)化方法的優(yōu)越性，下文利用基于MI的方法和基于BFI的方法分別選擇ki個節(jié)點，然后利用文獻[14]提出的基于迭代的重新加權(quán)的最小二乘法實現(xiàn)定位，最大迭代次數(shù)設(shè)為50次。對于每個網(wǎng)格點均進行1000次的獨立重復(fù)試驗，最終的每個網(wǎng)格點的RMSE的平均值作為定位性能指標(biāo)。為了研究權(quán)重向量對選擇結(jié)果的影響，圖6繪制了不同權(quán)重向量下選擇的傳感器數(shù)量。

如圖6所示，當(dāng)選擇的傳感器節(jié)點個數(shù)的權(quán)重值較小時，表示與系統(tǒng)代價相比，定位性能更為重要，因此將選擇更多的傳感器來提高定位性能。當(dāng)w=[0.4,0.45,0.15]時，對應(yīng)的定位誤差的平均RMSE如圖7所示，從圖7中可以看出基于MOEA/D-SS的節(jié)點選擇策略選擇的節(jié)點往往具有更好的定位性能。

5.4 節(jié)點估計誤差對選擇結(jié)果的影響

由4.2節(jié)可知， σ2與σ1的相對大小對信息因子Iscalar和 互信息值的影響不同，本節(jié)將通過仿真對σ2與σ1的相對大小對節(jié)點選擇的影響進行分析。以第6個聲源和第10個聲源為例，當(dāng)背景噪聲固定為σ1=0.5?，干擾噪聲逐漸增大時，3種不同節(jié)點選擇策略的定位結(jié)果的平均RMSE如圖8所示。從圖8中可以觀察到對第6個聲源，基于BFI選擇的傳感器節(jié)點往往比MI選擇的節(jié)點具有更差的定位性能。對于第10個聲源位置，BFI和MI選擇的傳感器節(jié)點在不同的干擾噪聲時的定位性能不一樣，并且不能簡單認為哪一種性能選擇準則更好，也說明了本文提出的基于多目標(biāo)優(yōu)化方法的必要性。圖8表明對于兩個聲源位置，利用提出的多目標(biāo)優(yōu)化方法選擇的傳感器節(jié)點具有更穩(wěn)定和更優(yōu)的定位精度。

圖5 不同聲源位置時的節(jié)點選擇結(jié)果

圖6 TOPSIS中不同權(quán)值時選擇的節(jié)點個數(shù)

圖7 不同目標(biāo)位置的平均RMSE

圖8 σ 2逐漸增大時第6個聲源和第10個聲源對應(yīng)的定位誤差

6 結(jié)論

為了解決節(jié)點選擇不一致的問題，本文提出將不同的性能指標(biāo)同時作為目標(biāo)函數(shù)，利用多目標(biāo)優(yōu)化方法尋找使得這些優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)達到一定平衡狀態(tài)的解集，即Pareto最優(yōu)解。并利用TOPSIS進行最終決策。仿真結(jié)果表明，利用多目標(biāo)優(yōu)化進行節(jié)點選擇可以充分考慮節(jié)點的可靠概率和節(jié)點與聲源的相對位置，選擇的節(jié)點對應(yīng)的定位性能優(yōu)于只利用單一性能指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)選擇節(jié)點的定位性能。