一種改進的廣義循環(huán)相關熵時延估計方法

邱天爽 劉 浩 張家成 李景春 李 蓉

①(大連理工大學電子信息與電氣工程學部 大連 116024)

②(國家無線電監(jiān)測中心 北京 100037)

1 引言

信號時延估計(Time Delay Estimation, TDE)在無線電監(jiān)測及目標定位等領域發(fā)揮著重要作用。傳統(tǒng)TDE算法大多是基于2階或高階統(tǒng)計量的，盡管在高斯噪聲下這些方法可以表現(xiàn)出優(yōu)良的性能，但在同頻帶干擾及脈沖噪聲并存的復雜電磁環(huán)境下，其性能會顯著下降。因此，研究TDE新算法顯得尤為重要。

研究表明，在雷達、聲吶和通信等信號處理問題中，許多信號的某些統(tǒng)計特性往往隨時間按周期或多周期規(guī)律變化，即具有循環(huán)平穩(wěn)性[1]。利用信號的循環(huán)平穩(wěn)性可消除時延估計中的同頻帶干擾現(xiàn)象。Gardner等人[2,3]提出的一系列基于信號循環(huán)平穩(wěn)性的TDE方法，在同頻帶干擾存在時表現(xiàn)出良好的性能。

在實際應用中，電磁、雷電等自然或人為因素的干擾，可能會導致噪聲在極短時間內(nèi)呈現(xiàn)出極強的脈沖性，稱為脈沖噪聲，常用Alpha穩(wěn)定分布描述[4]。Alpha穩(wěn)定分布可通過對參數(shù)的選擇來描述不同程度、對稱或不對稱的脈沖噪聲[5]。為了解決2階或高階統(tǒng)計量在脈沖噪聲下不收斂的問題，文獻中提出了一系列基于分數(shù)低階統(tǒng)計量的TDE方法，例如FLOC[6](Fractional Lower-Order Covariance), FLOS-PHAT[7](FLOS PHAse Transform)以及最小p范數(shù)法[8]等。但基于分數(shù)低階統(tǒng)計量的方法對噪聲先驗知識有一定的依賴性。作為通用的相似性度量工具，相關熵理論可以同時反映信號的時間結構和統(tǒng)計特性[9]，具有更強的抑制脈沖噪聲的能力，且不依賴于噪聲的先驗知識，故其逐漸成為消除脈沖噪聲影響的主要方法。

循環(huán)相關熵方法[10,11]既可以抑制脈沖噪聲，也可以消除同頻帶干擾的影響。文獻[12–17]在原有基礎上進一步豐富了循環(huán)相關熵的理論[12,13]與應用[14–17]。其中，文獻[16,17]將循環(huán)相關熵應用于TDE中，具有較好的性能。文獻[16]利用廣義高斯核函數(shù)[18]替代循環(huán)相關熵中的高斯核函數(shù)，提出一種基于廣義循環(huán)相關熵的TDE算法。該算法在脈沖性較強時仍可獲得較好的估計效果，但廣義高斯核函數(shù)的參數(shù)確定較繁瑣，會影響算法的效率。文獻[17]則是在相關熵的基礎上，進一步將廣義相關熵與循環(huán)統(tǒng)計量結合，提出另一種形式的廣義循環(huán)相關熵，并通過仿真驗證了該算法在同頻帶干擾及脈沖噪聲并存下的有效性。該算法的優(yōu)勢是效率較高，無需計算廣義高斯核的相關參數(shù)，但其性能會隨脈沖噪聲特征指數(shù)的減小而衰退。

為解決上述算法在強脈沖噪聲下性能衰退的問題，受文獻[19–23]利用有界非線性函數(shù)(Bounded Non-linear Function, BNF)處理脈沖噪聲的啟發(fā)，本文利用雙曲正切函數(shù)作為有界非線性函數(shù)對基于廣義循環(huán)相關熵[17]的方法進行改進，提出一種改進的廣義循環(huán)相關熵時延估計(HTGCCE)算法，并通過實驗表明該算法在強脈沖噪聲及同頻帶干擾并存條件下具有很好的時延估計性能。

2 背景

2.1 Alpha穩(wěn)定分布

描述脈沖噪聲最常用的模型是Alpha穩(wěn)定分布，由于其沒有統(tǒng)一的、封閉的概率密度函數(shù)，故常用式(1)所示的特征函數(shù)進行描述

式中，0 <α ≤2為特征指數(shù)，度量概率密度函數(shù)拖尾的厚度，當α =2時，Alpha穩(wěn)定分布與高斯分布一致； ?1 ≤β ≤1 為 對稱參數(shù)，當β =0時，稱為對稱Alpha穩(wěn)定分布(記為 S αS) ; ? ∞0為分散系數(shù)。

2.2 TDE估計的信號模型

當脈沖噪聲及同頻干擾同時存在時，設TDE算法的信號模型為

式中， x(t) 與y (t)分別為兩個接收機的接收信號，目標信號s (t)為 具有循環(huán)平穩(wěn)特性的調(diào)制信號；n1(t)與n2(t)為 脈沖噪聲；w (t)是 與s (t)具有不同循環(huán)頻率的同頻帶干擾信號； D1與D2分別為目標信號s(t)與 同頻帶干擾信號w (t)的 時延值。假設s(t),w(t),n1(t)和 n2(t)均為零均值且相互獨立。

2.3 雙曲正切函數(shù)

雙曲正切函數(shù)tanh的解析形式為雙曲正弦函數(shù)(sinh)與雙曲余弦函數(shù)(cosh)的比值

雙曲正切函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且其在x ∈(?0.5,0.5)內(nèi)近似線性；另外，雙曲正切函數(shù)具有有界性，其值域范圍為t anh x ∈(?1,1)。當信號值超出近似線性區(qū)域后，利用雙曲正切函數(shù)進行幅度壓縮，從而保證信號經(jīng)過該函數(shù)處理后始終有界。

3 改進的廣義循環(huán)相關熵時延估計方法

3.1 現(xiàn)有廣義循環(huán)相關熵時延估計方法的局限性

文獻[17]提出了一種廣義循環(huán)互相關熵函數(shù)Uxy(ε,τ)，定義為

式中，σ 為核長。

由文獻[17]知，這種廣義循環(huán)互相關熵算法適用于在中等脈沖噪聲下的應用，例如 α =1.4且廣義信噪比GSNR為–3 dB的情況。而當信號環(huán)境更加惡劣，即特征指數(shù)或廣義信噪比進一步降低時，該算法性能的衰退會導致時延估計誤差明顯增加。另外，該算法并未分析驗證信號與同頻干擾具有相同載頻不同波特率情況下的效果，即尚未表明算法抑制同頻帶干擾的能力。

3.2 改進的廣義循環(huán)相關熵函數(shù)的定義及性質(zhì)

為解決上述算法存在的問題，本文利用雙曲正切函數(shù)作為有界非線性函數(shù)[24]對 x (t)y(t+τ)進行幅度壓縮，使其乘積在脈沖噪聲存在時始終有界，進而提升算法抑制脈沖噪聲的能力。

定義1改進的廣義自相關熵函數(shù)：對于循環(huán)平穩(wěn)信號x (t)，改進的廣義自相關熵函數(shù)定義為

式中，gx(t,τ)為

考慮改進的廣義自相關熵函數(shù) Vx(t,τ)為周期函數(shù)，可將其寫為傅里葉級數(shù)的形式

式中

定義2改進的廣義循環(huán)互相關熵函數(shù)：設兩循環(huán)平穩(wěn)信號 x (t)與 y (t)，二者循環(huán)頻率相同，則定義 x(t) 和y (t)的改進的廣義循環(huán)互相關熵函數(shù)Cxy(ε,τ)為

式中，ε 為目標信號的循環(huán)頻率，gxy(t,τ)為

命題若兩循環(huán)平穩(wěn)信號 x(t) 與y (t)滿足y(t)=x(t ?D1) ，則 Cxy(ε,τ)=Cx(ε,τ ?D1)。

證明由式(11)有

3.3 改進的廣義循環(huán)相關熵時延估計方法

又因為

同理，結合式(13)可推得

類比文獻[3,16]可知，對于BPSK信號，欲在峰值處獲得時延值，需進一步計算| Cx(ε,k)|及|Cxy(ε,k)|的互相關

得到時延估計值為

4 算法性能分析及計算機仿真

將本文基于改進的廣義循環(huán)相關熵的TDE算法記為HTGCCE，3種對比算法分別為基于循環(huán)統(tǒng)計量的TDE算法，記為FLOCC[25]，基于廣義循環(huán)相關熵的TDE算法，記為GCCE1[17]，基于廣義高斯核相關熵的TDE算法，記為GCCE2[16]。由于GCCE1與GCCE2算法在估計時延時只求得了Cxy(ε,k)，為保證實驗條件的一致性，后文實驗中，均在GCCE1與GCCE2算法基礎上進一步計算式(18)與式(19)。

4.1 算法復雜度分析

本文HTGCCE算法主要由兩個環(huán)節(jié)構成，即計算Cxy(ε,k)與 Cx(ε,k)環(huán) 節(jié)，和進一步計算|Cx(ε,k)|與| Cxy(ε,k)|的 互相關環(huán)節(jié)。其中，第1環(huán)節(jié)中Cxy(ε,k)與Cxy(ε,k)的 計算復雜度均為O (M2)，M為信號采樣點數(shù)，二者合起來為O (2M2)。第2環(huán)節(jié)中關于互相關的計算復雜度為O (4M2)。這樣，本文算法總的計算復雜度為O (6M2)。作為對比的3種算法，其計算復雜度也均為O (6M2)。由此可見，本文HTGCCE算法的計算復雜度與對比算法的相同。由后面的仿真實驗可見，本文算法抑制脈沖噪聲的能力更強，時延估計的性能更好。

4.2 計算機仿真及結果分析

本節(jié)設置了3組實驗來討論所提算法的適用環(huán)境、比較各算法的時延估計性能以及探討影響時延估計性能的因素。且使用時延估計正確率Pa來衡量時延估計算法的性能，Pa的定義為

式中， Nc表 示估計正確的次數(shù)； N為蒙特卡洛實驗次數(shù)，后文計算Pa時 均將 N設為500。

在后文實驗中，若不特別說明，均對HTGCCE,FLOCC, GCCE1及GCCE2共4種算法進行仿真。實驗條件設置為：目標信號為BPSK信號，載波頻率為 f1= 100 Hz，波特率為fd1= 40 Baud，時延為D1=45個采樣間隔；同頻帶干擾信號也設為BPSK信號，載波頻率為f2=f1= 100 Hz，波特率為fd2=50 Baud，時延為D2=65個采樣間隔；采樣頻率設為 fs= 1000 Hz；高斯核函數(shù)的核長設置為σ =1；循環(huán)頻率設為目標信號的波特率值，即ε =fd1= 40 Hz；信干比設為0 dB；廣義信噪比GSNR設為–7 dB；脈沖噪聲的特征指數(shù)設為α =1.2；且均假設脈沖噪聲服從S αS分 布，并設a =0；FLOCC的兩個系統(tǒng)階數(shù)均設為α /2 ?0.02；定義廣義信噪比為

式中，Ps為 信號功率。

(1) 算法適用環(huán)境的討論

實驗1HTGCCE算法提取目標信號的能力。實驗中，設定循環(huán)頻率范圍為ε ∈[1,120] Hz。由于信號的循環(huán)平穩(wěn)性可將具有不同循環(huán)頻率的信號進行分離，故圖1中，當ε = 40 Hz時，時延估計的峰值在45處；當 ε = 50 Hz時，峰值處的時延值為65。因此，圖1可表明HTGCCE算法具有提取目標信號的能力。

圖1 不同循環(huán)頻率下HTGCCE算法的時延估計圖

圖2 不同信號環(huán)境下HTGCCE算法的時延估計性能比較

實驗2HTGCCE算法在各信號環(huán)境下的普適性。圖2中各信號環(huán)境下的時延估計正確率均會隨信噪比(廣義信噪比)的增大而提升，且信號環(huán)境中無同頻帶干擾的正確率高于有同頻帶干擾的正確率。

綜上可知，HTGCCE算法在同頻帶干擾及脈沖噪聲并存的復雜電磁環(huán)境下效果較好，且即使某些信號環(huán)境中不存在脈沖噪聲或同頻帶干擾信號，該算法仍具有較高的時延估計正確率。

(2) 各算法時延估計性能的比較

實驗3不同特征指數(shù)、廣義信噪比GSNR及信干比下各算法性能的比較。其中，圖3(a)中廣義信噪比G SNR ∈[?15,15] dB， 當G SNR= –9 dB時，HTGCCE的正確率較GCCE2提升了40%；圖3(b)中特征指數(shù) α ∈[0.7,1.7] ， 在極端條件α =0.7時，HTGCCE較GCCE2的正確率提升了80%；圖3(c)中信干比為–5～15 dB，從圖可知，GCCE1算法表現(xiàn)出了良好的韌性，但HTGCCE的正確率隨信干比的增大而迅速提升，且相對于GCCE1, GCCE2正確率最大提升達20%。綜上可知，本文所提HTGCCE算法較其余3種算法性能更優(yōu)、韌性更強，且在極端實驗條件下也具有良好的時延估計性能。

(3) 影響時延估計性能因素的探討

圖3 不同特征指數(shù)、廣義信噪比GSNR及信干比下各算法性能的比較

圖4 各算法時延估計性能隨特征指數(shù)及廣義信噪比變化圖

實驗4特征指數(shù)、廣義信噪比GSNR及信干比對時延估計性能影響的分析。圖4中，廣義信噪比GSNR ∈[?15,15] dB ，特 征 指 數(shù)α ∈[0.7,1.7]。GSNR一定時，4種算法的正確率均隨α 的增大而提高，且當GSNR升至–11 dB時，HTGCCE算法的正確率已接近100%，高于其余算法。同理， α一定時，4種算法的正確率也隨著GSNR的增大而上升，且HTGCCE的正確率隨GSNR的增大迅速升至100%，明顯快于其它算法。圖5中，廣義信噪比設為 GSNR ∈[?15,15] dB，信干比的變化范圍為–5～15 dB。當GSNR小于–9 dB時，HTGCCE與GCCE2的正確率隨信干比的增大而提升，且HTGCCE上升速度快于GCCE2。而GCCE1與FLOCC的正確率始終較小，基本不隨信干比的變化而變化；當信干比大于–9 dB時，HTGCCE與GCCE1即使在信干比較低時也可獲得較高的正確率，時延估計性能明顯優(yōu)于其余算法。

綜上可知，在同頻帶干擾及脈沖噪聲同時存在的復雜電磁環(huán)境中，各算法的時延估計性能均會受信干比、廣義信噪比及特征指數(shù)的影響。且本文所提HTGCCE算法在各實驗條件下均可得到較高的時延估計正確率，具有良好的韌性。

圖5 各算法時延估計性能隨廣義信噪比及信干比變化圖

5 結論

復雜電磁環(huán)境的影響會導致時延估計值誤差過大。為改善時延估計算法在通頻帶干擾和脈沖噪聲并存條件下的性能，本文在廣義循環(huán)相關熵法的基礎上，利用雙曲正切函數(shù)對 x (t)y(t+τ)進行幅度壓縮，進一步提高脈沖噪聲特征指數(shù)較小時算法的時延估計性能。仿真實驗表明，雖然GCCE1及GCCE2在某些特定條件下也具有良好的時延估計性能，但在信噪比、信干比以及脈沖噪聲特征指數(shù)均較小時，本文提出的HTGCCE明顯優(yōu)于其他算法。且HTGCCE受特征指數(shù)及信干比的影響較小，可以在較低信噪比的環(huán)境下獲得較好的時延估計結果。