一類六階非線性發(fā)展方程的整體吸引子

袁 爽，段 寧

(東北大學 理學院，遼寧 沈陽 110819)

1 引言與預(yù)備知識

過去的幾十年里，在力學和物理學中有著廣泛應(yīng)用的六階非線性發(fā)展方程越來越引起偏微分方程學者們的注意.迄今為止，已經(jīng)有許多經(jīng)典文獻對六階非線性發(fā)展方程進行了研究[1-4].

在研究固體基底上生長的薄膜時，Golovin 等人[5]提出了一類描述薄膜自由表面連續(xù)演化的經(jīng)典表面擴散方程：

這里:vn是法向表面速度，?=DSS0Ω0V0/(RT)23(DS是表面擴散率，S0是表面每單位面積的原子數(shù)，Ω0是原子體積，v0是薄膜中晶格的摩爾體積，R是通用氣體常數(shù)，T是絕對溫度)，ΔS是表面拉普拉斯算子，v是測量邊角能量的正則化系數(shù)，Cαβ是表面曲率張量，μw是u的指數(shù)衰減函數(shù)，其奇點在u→0.本文主要研究的是在小斜率近似中，具有立方對稱性和高對稱性取向晶體的情況下膜厚的發(fā)展方程，該方程具有如下形式[6]：

(1.1)

(1.2)

我們對u和階數(shù)≤5的u的導(dǎo)數(shù)附加以下周期性邊值條件：

φ|xi=0=φ|xi=Li，i=1，2，3，4，5，

(1.3)

和初始條件

u(x，0)=u0(x)，x∈[0，1]

.

(1.4)

在文獻[6]中，Zhao對方程(1.1)解的正則性進行了研究.作者利用Schauder型估計和Campanato空間的相關(guān)性質(zhì)，證明了具Neumann邊界條件的方程(1.1)古典解的存在性.在這里，我們研究問題(1.1)-(1.4)解的長時間行為，證明其整體吸引子的存在性等問題.

首先需指出，問題(1.1)-(1.4)的解是滿足質(zhì)量守恒的，即：

從而，可給出整體弱解的存在性引理：

下面給出本文的主要定理：

2 解的一致估計

其中：M0是依賴k，v的正常數(shù)，T0是依賴k，v和R的正常數(shù).

對上述等式兩邊同時對x求導(dǎo)，根據(jù)周期性邊值條件，可得

從而

(2.1)

由Poincaré不等式得

(2.2)

聯(lián)立(2.1)和(2.2)，我們有

(2.3)

由(2.2)，(2.3)和Poincaré不等式可知

(2.4)

進一步，由Sobolev嵌入定理可得

對(1.1)兩邊同乘D4u，關(guān)于x在(0，1)上積分，可得：

由Nirenberg不等式和Young不等式得：

同理，可得

從而，進一步由Young不等式和H?lder不等式可得：

綜上所述，我們有

當ε'足夠小滿足1-8ε'>0，得

(2.5)

其中:M1是依賴k，v的正常數(shù)，T1是依賴k，v和R的正常數(shù).

證明方程(1.1)兩邊同乘D6u，關(guān)于x于(0，1)上積分可得

由Nirenberg不等式和Young不等式可得

同理，可得:

由Young不等式和H?lder不等式可得:

綜上所述，可得

(2.6)

由Sobolev嵌入定理得||D2u||∞≤C9.

令t≥T1，取s∈(t，t+1)，對(2.6)在(s，t+1)上積分，可得

||D3u(t+1)||2≤C10+||D3u(s)||2.

對上述不等式，關(guān)于s于(t，t+1)上積分，得:

對方程(1.1)兩邊同乘ut，且關(guān)于x于(0，1)上積分，可得

其中:M2是依賴k，v的正常數(shù)，T2是依賴k，v和R的正常數(shù).

證明對方程(1.1)兩邊同時對x求導(dǎo)，然后兩邊同乘D7u，關(guān)于x于(0，1)上積分，得

+6(w2′(u)+w3′′(u))Du|D2u|2]D7udx

由Nirenberg不等式和Young不等式可得

同理，可得

由Young不等式和H?lder不等式可得

綜上，有

由Gronwall不等式可知

其中:M3是依賴k，v的正常數(shù)，T3是依賴k，v和R的正常數(shù).

證明對方程(1.1)兩邊作用拉普拉斯算子，然后兩邊同乘D8u，關(guān)于x于(0，1)上積分，得

+3w0′′(u)D2u+12w2′′′(u)(Du)4+(27w2′′(u)+12w3′′′(u))(Du)2D2u+(6w2′(u)+6w3′′(u))

由Nirenberg不等式和Young不等式，有

由Young不等式和H?lder不等式可得

綜上所述，可以得到

由Gronwall不等式可得

由Sobolev嵌入定理，有||D4u||∞≤C25.

令v=ut，方程(1.1)兩邊作用拉普拉斯算子，然后兩邊同乘v，關(guān)于x于(0，1)上積分，得

+7||w2′′(u)(Du)3||∞+2||w3′′′(u)(Du)3||∞+6||w2′(u)DuD2u||∞+6||w3′′(u)DuD2u||∞)

||D2u||+(||w0′(u)||∞+3||w2′(u)(Du)2||∞+5||w3′′(u)(Du)2||∞+7||w3′(u)D2u||∞

從而，有

(2.7)

令t≥T3，取s∈(t，t+1)，對上述不等式在(s，t+1)上積分，可得

||D4u(t+1)||2-||D3u(t+1)||2≤C25+||D4u(s)||2-||D3u(s)||2.

對上述不等式關(guān)于s于(t，t+1)上積分，有

(2.8)

由中值定理可知，存在時間t0′′∈(t+1，t+2)， 有||Dv(t0′′)||2≤C28.引理2.4得證.

其中:M4是依賴k，v的正常數(shù)，T4是依賴k，v和R的正常數(shù).

≤C[||D2v||2+(||w0′′′(u)(Du)2||∞+||w0′′(u)(D2u)||∞+||w2′′′(u)(Du)4||∞+||2w3′′′(u)(Du)2D2u||∞

+||3w2′′(u)(Du)2D2u||∞+||2w3′′(u)(D2u)2||∞+||3w3′′(u)DuD3u||∞+||w3′(u)D4u||∞)||v||2

+(||6D2uD3u||∞+||2DuD4u||∞+||2w0′′(u)Du||∞+||4w2′′(u)(Du)3||∞+||6w2′(u)DuD2u||∞

+||4w3′′(u)DuD2u||∞+||3w3′(u)D3u||∞)||Dv||||v||+( ||6(D2u)2||∞+||6DuD3u||∞

+||w0′(u)||∞+||3w2′(u)(Du)2||∞+||2w3′′(u)(Du)2||∞+||4w3′(u)D2u||∞)||D2v||||v||

令k充分大且滿足C30k-C29>0，有

||Dut||≤M5，?t≥T5，

其中:M5是依賴k，v的正常數(shù)，T5是依賴k，v和R的正常數(shù).

證明由Nirenberg不等式，可知

令v=ut，方程(1.1)兩邊對t求導(dǎo)，然后等式兩邊同乘D2v，關(guān)于x于(0，1)上積分，得

=||D3v||2-([D2(|Du|2D2u)]t，D2v)+([D2(w0(u)+w2(u)(Du)2+w3(u)D2u)]t，D2v)

≤C[ ||D3v||2+(||w0′′′(u)(Du)2||∞+||w0′′(u)D2u||∞+||w2′′′(u)(Du)4||∞+||2w3′′′(u)(Du)2D2u||∞+||3w2′′(u)(Du)2D2u||∞+||2w3′′(u)(D2u)2||∞+||3w3′′(u)DuD3u||∞+||w3′(u)D4u||∞)

||v||||D2v||+(||6D2uD3u||∞+||2DuD4u||∞+||2w0′′(u)Du||∞+||4w2′′(u)(Du)3||∞

+||6w2′(u)DuD2u||∞+||4w3′′(u)DuD2u||∞+||3w3′(u)D3u||∞)||Dv||||D2v||

+(||6(D2u)2||∞+||6DuD3u||∞+||w0′(u)||∞+||3w2′(u)(Du)2||∞+||2w3′′(u)(Du)2||∞

+||4w3′(u)D2u||∞)||D2v||2+( ||6DuD2u||∞+||3w3′(u)Du||∞)||D3v||||D2v||

從而，可得

其中:M6是依賴k，v的正常數(shù)，T6是依賴k，v和R的正常數(shù).

證明由原方程(1.1)可知

D6u=ut-D4u+2(D2u)3+6DuD2uD3u+(Du)2D4u-w0′′(u)(Du)2-w0′(u)D2u-w2′′(u)(Du)4-(3w2′(u)+2w3′′(u))|Du|2D2u-2w3′(u)|D2u|2-3w3′(u)DuD3u-w3(u)D4u.

由引理2.1-2.6，有

+||w3(u)||∞||D4u||

≤C34，對于任意的t≥T5.

從而引理2.7得證.

3 定理1.1的證明

假設(shè)M1和M6分別是引理2.2和引理2.7中的常數(shù).然后表示為

D6u=v-D4u+D2[|Du|2D2u]-D2[w0(u)+w2(u)|Du|2+w3(u)D2u].

(3.1)

其中:M5和M6是正常數(shù).當tn→∞時，存在N>0，使得對所有的n≥N都有tn≥T.因此，根據(jù)(3.1)得

(3.2)

(3.3)

然后由(3.1)和(3.3)得

||Dun(tn)-Du||→0，||D2un(tn)-D2u||→0，||D3un(tn)-D3u||→0， ||D4un(tn)-D4u||→0.我們還可得到：

||(D2un(tn))3-(D2u)3||

||Dun(tn)D2un(tn)D3un(tn)-DuD2uD3u||

≤C[ ||Dun(tn)D2un(tn)||∞||D3un(tn)-D3u||+||D3uDun(tn)||∞||D2un(tn)-D2u||+

||D2uD3u||∞||Dun(tn)-Du||] →0，

同理，有 ||(Dun(tn))2D4un(tn)-(Du)2D4u||→0，||(Dun(tn))2-(Du)2||→0，

||(Dun(tn))4-(Du)4||→0，||(Dun(tn))2D2un(tn)-(Du)2D2u||→0，

||(D2un(tn))2-(D2u)2||→0， ||Dun(tn)D3un(tn)-DuD3u||→0.

下面，我們給出定理1.1的證明.