擴(kuò)展的高階非線性Schr?dinger 方程的有理周期解

王 媛

（山西能源學(xué)院 強(qiáng)基學(xué)院，山西 晉中 030600）

0 引言

在過去的幾十年，光孤子的研究已經(jīng)有了顯著的進(jìn)步.它的控制方程式是非線性薛定諤方程，此方程的可積性已經(jīng)通過最古典的反散射方法被研究，并且此方程的其他性質(zhì)也已經(jīng)被很好的研究過，一般來說，人們主要研究的是非線性薛定諤方程帶有各種非線性形式的變量，比如：克爾效應(yīng)、色散效應(yīng)等［1-13］.

當(dāng)光脈沖的傳輸速度小于1皮秒的時候，無法用低階的非線性薛定諤方程描述，例如，在固態(tài)激光領(lǐng)域就產(chǎn)生了低于10飛秒級的光脈沖.因此，這個激光的擬單色性不再是合理的，需要考慮高階色散項的影響，一方面是考慮這個遠(yuǎn)距離的傳輸，另一方面也需要考慮在短脈沖甚至超短脈沖中的傳輸.因此，本文主要針對兩個擴(kuò)展的四階非線性薛定諤方程進(jìn)行研究，方程如下：

1 方程（1）的周期解

Ankiewicz 等人研究了方程（1）的Lax對和Darboux變換［14］，Ankiewicz 等人研究了方程（1）的一階、二階怪波解［15］，北京郵電大學(xué)的王玉風(fēng)推導(dǎo)了方程（1）的無窮守恒律，并得到的N孤子解［16］，本文主要應(yīng)用改進(jìn)的輔助方程展開方法對方程（1）進(jìn)行研究.

首先，假定方程（1）有如下形式的解

其中φ(ξ)是待定的實函數(shù)，k，ω，λ，μ是待定實常數(shù)，將（3）式代入方程（1），并分離實部和虛部可得

由齊次平衡法，假定方程（4）有如下形式的解

其中F(ξ)滿足

將（5）及（6）代入（4），提取F(ξ)的系數(shù)并令其為0，得到12個代數(shù)方程，解此方程組并利用方程（6）的解，得到了方程（1）如下有理形式的周期解.

依據(jù)方程（1）所滿足的條件，將這些解分成4組：

2 方程（2）的周期解

方程（2）目前研究的還比較少，劉德胤得到了方程（2）的守恒律和暗孤子解［17］，本文主要應(yīng)用改進(jìn)的輔助方程展開方法對方程（2）進(jìn)行研究.

為了尋找方程（2）形式豐富的周期解，假定方程（2）有如下形式的精確解

其中φ(ξ)是待定的實函數(shù)，k，ω，λ，μ是待定實參數(shù)，將（7）式代入（2）式并分離實虛部可得

由齊次平衡法，假定方程（8）有如下形式的解

其中F(ξ)滿足

將（9）及（10）代入（8），提取F(ξ)的系數(shù)并令其為0，得到12個代數(shù)方程，解此方程組并利用方程（10）的解，得到了方程（2）如下有理形式的周期解.

依據(jù)方程（2）所滿足的條件，將這些解分成4組，其中參數(shù)m(0

3 結(jié)論

在動力系統(tǒng)和分叉理論領(lǐng)域，形式豐富的精確解對解釋一些相應(yīng)的現(xiàn)象變得越來越重要.本文主要應(yīng)用改進(jìn)的輔助方程展開方法，并借助于數(shù)學(xué)軟件Maple，對兩個擴(kuò)展的四階Schr?dinger方程進(jìn)行了研究，最終得到了方程（1）4種類型、方程（2）10種類型的有理形式的周期解.在此基礎(chǔ)上，我們會對這兩個方程做進(jìn)一步的研究，比如考慮加入非線性隨機(jī)擾動項等.