多項(xiàng)式變分不等式解集的非空緊性和估計(jì)

李 灣，凌 晨

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

多項(xiàng)式變分不等式是張量變分不等式問題[1]和仿射變分不等式的自然延伸，也是多項(xiàng)式互補(bǔ)問題[2]的推廣。多項(xiàng)式變分不等式不僅與多項(xiàng)式優(yōu)化關(guān)系密切，而且在控制理論、均衡問題和博弈論等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[3]。解的存在性、緊性、解的估計(jì)和穩(wěn)定性分析等均是變分不等式問題基本研究?jī)?nèi)容[4]。1984年，Smith[5]首次提出連續(xù)映射例外族概念，用于研究互補(bǔ)問題解的存在性。從此，很多學(xué)者運(yùn)用例外族概念和拓?fù)涠壤碚撗芯肯嚓P(guān)方程、互補(bǔ)和變分不等式問題解的性質(zhì)[6-7]。2018年，Wang等[1]提出張量變分不等式問題，并研究問題解的存在性、唯一性和有界性等。本文證明了在多項(xiàng)式變分不等式的首項(xiàng)系數(shù)張量為正定時(shí)其解集為非空緊；在多項(xiàng)式為m-階強(qiáng)偽單調(diào)時(shí)，得到了其解的唯一性，并給出一個(gè)解的估計(jì)。

1 問題描述

本文考慮一類多項(xiàng)式變分不等式問題(Polynomial Variational Inequality Problem,PVIP)，即尋找x*∈X，使得

〈y-x*,F(x*)〉≥0，?y∈X

(1)

2 預(yù)備知識(shí)

定義3[8]設(shè)A∈Tm,n，X?Rn為非空集。若對(duì)任意x∈X{0}，均有Axm>0，則稱A是在X上正定的張量。

對(duì)給定的A∈Tm,n，定義算子TA∶Rn→Rn如下：

(2)

易知，TA是正齊次算子，即對(duì)任意t≥0，均有TA(tx)=tTA(x)。進(jìn)一步，有如下引理。

引理2[9]對(duì)任意x∈Rn，均有

3 主要結(jié)果

(3)

由式(3)和正規(guī)錐定義，得

(4)

(5)

(6)

(7)

定理2[4]設(shè)X?Rn為非空閉凸集，F(xiàn)∶X→Rn為m- 階強(qiáng)偽單調(diào)，則問題VI(X,F)存在唯一解。

由此和Cauchy-Schwrz不等式，知

即

進(jìn)一步，由引理2中的結(jié)論1，得到

(8)

下面分兩種情況討論。

證畢。

結(jié)合定理3和引理2的結(jié)論2，得到如下推論。

例設(shè)A1=0,A2=0和A3=(ai1i2i3)∈T3,2，其中a111=2，a222=1，其余ai1i2i3均為0。設(shè)X={x1,x2∈R2|x1≥1,x2=2x1}，則易驗(yàn)證F(x)=A3x2在X上是3-階強(qiáng)偽單調(diào)的。事實(shí)上，任取不相等的x,y∈X，若〈F(y),x-y〉≥0，則易知x1-y1≥0和x2-y2≥0。

所以F在X上是3-階強(qiáng)偽單調(diào)的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)多項(xiàng)式變分不等式問題，使用例外族的概念，證明了當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)中首項(xiàng)系數(shù)張量在可行域上為正定時(shí)，解集為非空緊；進(jìn)一步，在多項(xiàng)式函數(shù)為m- 階強(qiáng)偽單調(diào)時(shí)，證明了其解唯一，并給出了解的估計(jì)。后續(xù)將針對(duì)多項(xiàng)式變分不等式問題解的穩(wěn)定性和誤差界條件展開進(jìn)一步研究。