關(guān)于酒和水的數(shù)學(xué)問題新探

浙江省溫州市鹿城區(qū)錦繡路58 號(325000) 柯成森

有這樣一個關(guān)于酒和水的古老的問題: 木桶里裝著1 加侖水,葫蘆里裝著1 加侖酒.從葫蘆里取1 品脫酒倒入木桶里,攪勻,然后從木桶里取1 品脫混合物倒入葫蘆里.做了這些之后,問: 葫蘆里的水多還是木桶里的酒多?

分析1我們知道,原先木桶里的水和葫蘆里的酒是一樣多的,最后木桶和葫蘆里盛的液體還是一樣多,說明木桶里的一部分水被葫蘆里的一部分酒代替了,顯而易見,葫蘆里的水和木桶里的酒是一樣多的.接下去我們定量計算一下,因為1 加侖=8 品脫,所以從葫蘆里取1 品脫酒倒入水里后,木桶里酒的濃度p= 1/9(這里濃度指該液體和混合液體積比,下同)從木桶里取1 品脫混合物倒入葫蘆里后,葫蘆里水的濃度p′= (1?1/9)?(1/8) = 1/9.p=p′,因此木桶里酒和葫蘆里水濃度相等, 都等于1/9(即11.11%), 且它們的量都是1/9 加侖.

分析2我們把上述問題里的1 品脫換成a加侖,(a<1,為敘述方便, 單位還是用了加侖, 實際就是所取酒的量與原來葫蘆里總酒量之比為a) , 這樣從葫蘆里取a加侖酒倒入木桶里后, 木桶里酒的濃度p=攪勻, 再從木桶里取a加侖混合物倒入葫蘆里, 則葫蘆里水的濃度說明木桶里酒的濃度和葫蘆里水的濃度相等,又由于置換之后木桶和葫蘆里液體量相等,因此它們的量也相等.(注:p——代表木桶里酒的濃度;p′——代表葫蘆里水的濃度,以下將用下標(biāo)代表第幾次置換動作)

分析3在第一次置換的基礎(chǔ)上, 我們再從葫蘆里取a加侖酒倒入木桶里,攪勻,然后從木桶里取a加侖混合物倒入葫蘆里,這時葫蘆里的水多還是木桶里的酒多? 木桶里酒的濃度葫蘆里水的濃度可見第二次置換后說明第二次置換后,木桶里酒的濃度和葫蘆里水的濃度還是相等,當(dāng)然,它們的量也相等.

再重復(fù)上述動作, 我們不難得到第三次置換后的結(jié)果:木桶里酒的濃度葫蘆里水的濃度可見第三次置換后

重復(fù)下去,我們得到的結(jié)果:

…………

這些數(shù)值表達(dá)式是很有規(guī)律的,不難發(fā)現(xiàn)分子與(a+1)n二項式展開式有密切關(guān)聯(lián)! 列表對照如下:

原來等式中的分子是分母二項式展開式的奇數(shù)項或偶數(shù)項之和,當(dāng)次數(shù)為奇數(shù)時,為奇數(shù)項之和,當(dāng)次數(shù)為偶數(shù)項時,為偶數(shù)項之和.

寫成通式:pn=或?qū)懽?n為奇數(shù)時,

n為偶數(shù)時,

分析4關(guān)于上式的證明(數(shù)學(xué)歸納法): 上面已經(jīng)證明,n= 1 時,,n= 2 時,

假定n為奇數(shù)時,

將等式1 代入上式,得到

上式與n為偶數(shù)次時pn+1表達(dá)式相符(因為又置換了一次),證明等式成立.同理,以n為偶數(shù)次時pn表達(dá)式代入等式3,可以得到n為奇數(shù)次時pn+1表達(dá)式,且與等式1 相符.

分析5通過觀察,以上通項公式也可寫成:

上式可以通過數(shù)學(xué)歸納法方便地證明(證明從略).

且易知:當(dāng)n →∞時,由此可知,重復(fù)無數(shù)次置換操作之后,木桶里、葫蘆里的酒、水濃度將趨近一樣,都是50%,也就是最后兩個容器里的溶液將變成一樣.

分析6現(xiàn)在我們變一下題目: 木桶里裝1 加侖水,但含有少許酒,假設(shè)酒的濃度為x,葫蘆里裝1 加侖酒,但含有少許水,假設(shè)水的濃度為y,每次從葫蘆里取a加侖液體倒入木桶里,攪勻,再取a加侖液體倒回葫蘆,這樣經(jīng)過n次置換后,問: 木桶里酒的濃度和葫蘆里水的濃度各是多少?

第1 次, 木桶里酒的濃度p11==葫蘆里水的濃度p12= [(1?p11)a+y(1?

第2 次,木桶里酒的濃度p21= [p11+(1?p12)a]/(1+葫蘆里水的濃度p22= [(1?p21)a+p12(1?a)]/1=

[附注:p21,p22也可以通過p21(x,y)和p22(x,y)的復(fù)合函數(shù)求得,方法略]

第3 次,木桶里酒的濃度p31=[p21+(1?p22)a]/(1+a)葫蘆里水的濃度p32=[(1?p31)a+p22(1?a)]/1=

第4 次,木桶里酒的濃度p41=[p31+(1?p32)a]/(1+a)葫蘆里水的濃度p42= [(1?p41)a+p32(1?a)]/1 =

……

結(jié)論: 當(dāng)n為奇數(shù)時,

當(dāng)n為偶數(shù)時,

結(jié)合“分析5”,通過觀察,pn1表達(dá)式前半部分即等式4,后半部分可寫成:故pn1=即pn1=同理pn2=

(pn1為置換n次后木桶里酒的濃度,pn2為置換n次后葫蘆里水的濃度)