挖掘隱藏基本圖形 提升論證求解能力
——從2019年廣東省中考數(shù)學(xué)第24 題談起

廣東省東莞市可園中學(xué)(523000) 翟燕芳

對(duì)近年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷的分析中發(fā)現(xiàn), 其中第24題均為平面幾何壓軸題, 且都以圓作為背景進(jìn)行問題設(shè)置,需要考生具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),由于題目中條件較多、圖形較為復(fù)雜,考生往往無從下手、望而生畏.因此,在中考備考過程中,教會(huì)學(xué)生如何從復(fù)雜的圖形中挖掘出隱藏的基本圖形,化繁為簡,逐漸提升學(xué)生的推理論證與運(yùn)算求解能力,顯得非常重要,下面筆者從2019年廣東省中考數(shù)學(xué)第24 題談起,不當(dāng)之處,敬請批評(píng)指正.

1 試題回放

如圖1,在?ABC中,AB=AC,⊙O是?ABC的外接圓,過點(diǎn)C作∠BCD= ∠ACB交⊙O于點(diǎn)D,連接AD交BC于點(diǎn)E,延長DC至點(diǎn)F,使CF=AC,連接AF.

(1)求證:ED=EC;

(2)求證:AF是⊙O的切線;

(3)如圖2,若點(diǎn)G是?ACD的內(nèi)心,BC·BE=25,求BG的長.

圖1

圖2

2 試題分析

本題以圓和等腰三角形為背景命制,設(shè)計(jì)常規(guī),清晰又略帶小驚喜,主要考查圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的判定、切線的判定、三角形的內(nèi)心的概念、相似三角形的判定及性質(zhì).

(1) 要證明ED=EC, 如圖3, 首先考慮證明∠EDC= ∠ECD, 由題已知AB=AC得∠ABC= ∠ACB,再由基本圖形“角—弧—角”模式(下文3.4 介紹),∠ABC ??∠ADC得∠ABC= ∠EDC,由已知∠BCD= ∠ACB,則∠EDC=∠ECD推出ED=EC.

圖3

圖4

(2)連接OA,要證AF是⊙O的切線, 如圖4, 則只需證明∠OAF=90°, 但條件中并無提供直角的條件, 觀察圖4 可證OA⊥BC, 再證BC//AF即可.由半徑組成的基本圖形, 連接OB、OC,則AB=AC,OB=OC利用線段垂直平分線的性質(zhì)得OA⊥BC.由(1)得∠ABC= ∠ECD,則AB//CF,由已知條件得AB=CF,從而得到四邊形ABCF為平行四邊形,問題得證.

(3) 由BC · BE= 25 引 導(dǎo) 學(xué) 生猜想與BC,BE有關(guān)的相似三角形,即考慮?BAE與?BCA相似, 分拆出基本圖形屬A 型, 如圖5, 只需證∠BAE= ∠BCA由“角—弧—角”模式,得∠BAD=∠BCD.

圖5

圖6

如圖6, 由題已知∠BCD=∠ACB, 則∠BAE= ∠BCA, 那 么?BAE～?BCA, 所以推 出AB2=BC · BE, 得AB= 5.題目需要求BG, 本題小驚喜為G是內(nèi)心, 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生連接AG, 觀察圖5 猜想?BAG是等腰三角形, 由圖6 得∠BAG= ∠BAD+∠DAG, ∠BGA=∠GAC+∠ACB, 因?yàn)辄c(diǎn)G為內(nèi)心, 則∠DAG= ∠GAC,從而得∠BAG=∠BGA,推出BG=AB=5.

3 追根索源

上述分析不難發(fā)現(xiàn),每個(gè)問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)都源自某個(gè)基本圖形,圓是以一個(gè)定點(diǎn),以一條定長旋轉(zhuǎn)一周所形成封閉的平面圖形.圓心、半徑、直徑、弧都是圓的基本元素,掌握這些基本元素構(gòu)成的基本圖形,培養(yǎng)學(xué)生的圖感,對(duì)解決復(fù)雜的綜合題有著重要作用.

3.1 與圓心有關(guān)的基本圖形

由于圓心是圓的對(duì)稱中心,是任何一條直徑的中點(diǎn).若題目條件中出現(xiàn)或能證明另一個(gè)中點(diǎn), 如圖7 的點(diǎn)D, 常把這個(gè)中點(diǎn)與圓心連接成三角形中位線,進(jìn)行有關(guān)推理得平行,進(jìn)而推出邊、角之間數(shù)量關(guān)系,這個(gè)基本圖形簡稱“中位線模型”.

圖7

如2018年廣東省第28 題,如圖8,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C, 連接AC、OD交于點(diǎn)E.(1)證明:OD//BC;

圖8

方法1: 應(yīng)證∠AEO=∠ACB,∠ACB為直徑AB所對(duì)圓周角為90°,如圖9 只需證明∠AEO= 90°,由題AD=CD,根據(jù)“三線合一”需提供“一線”,然而在?ADE與?CDE中無法直接證明.

圖9

因此引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線OC如圖10, 使得能構(gòu)成基本圖形之一“箏形”, 由半徑OA=OC,AD=CD,得OD是AC的垂直平分線, 從而得∠AEO=∠ACB=90°,問題得證.

圖10

方法2: 由方法1 得OD是AC的垂直平分線,即E是AC的中點(diǎn),利用“中位線模型”問題得證.

3.2 與半徑有關(guān)的基本圖形

在同圓中,所有的半徑都相等,利用這一特性,任意不在同一直線上的兩條半徑均可構(gòu)成等腰三角形,常利用半徑組成的“等腰”證“等角”.等腰三角形,角平分線,平行這三個(gè)條件中已知任意兩個(gè)即可推出第三個(gè)結(jié)論,可以把個(gè)模型稱為“鐵三角”,如圖11 和圖12,“鐵三角”在圓的背景下,兩半徑提供了“隱藏”等腰三角形,這是常見解題的突破口.

圖11

圖12

如2017年廣東省第24 題,如圖13,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)(不與O,B重合),作CE⊥OB,交⊙O于點(diǎn)C,垂足為點(diǎn)E,作直徑CD,過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P,AF⊥PC于點(diǎn)F,連接CB.(2)求證:CF=CE;

需要證CF=CE,分拆出相關(guān)圖形如圖14,圖感的直覺此處需要連接AC,即可把CF,CE分拆到兩個(gè)直角三角形中,證全等即可(此方法略);或證明AC為∠FAE的平分線,要證明角平分線,圓中時(shí)刻“隱藏”等腰三角形,即利用“鐵三角”模型如圖15, 只需證明OC//AF, 由題中CF⊥AF,CF為切線易得OC//AF.

圖13

圖14

圖15

圖16

3.3 與直徑有關(guān)的基本圖形

在同圓中,所有的直徑都相等.其中與直徑有關(guān)的“垂徑定理”和“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這兩個(gè)定理尤為重要.當(dāng)觀察直徑具備垂直于弦的條件, 常會(huì)構(gòu)建如圖16 所示的Rt?OEC,利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算推理,或提供兩邊相等如圖16 中的CE=DE得AB⊥CD.

圖17

另外直徑常可聯(lián)想直角,必要時(shí)需添加輔助線構(gòu)成由直徑所形成的直角三形這個(gè)基本圖形,如圖17.其中2017年廣東第24(2)題,2018 廣東第24(3)題均需添加輔助線構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角是直角這個(gè)基本圖形來解題.

圖18

3.4 與弧有關(guān)的基本圖形

在圓中,弧是其他幾何圖形沒有的元素.同弧或等弧所對(duì)圓周角相等,都等于所對(duì)圓心角的一半,也就是說,同弧或等弧可以推出有關(guān)角的等量關(guān)系,不妨稱為“角—弧—角”模式,如圖18 中的圓周角∠A所對(duì)的弧為又對(duì)著另一個(gè)圓周角∠B,則可推∠A= ∠B.這是圓中特有的證明角相等的重要方式.如2019年廣東省第24 題的第(1)(3)題均利用“角—弧—角”模式有效解題.

3.5 與相似有關(guān)的基本圖形

圓的綜合大題之所以復(fù)雜, 原因在于圓本身元素豐富,而且它的包容性大,與強(qiáng)大的三角形,四邊形等均能完美結(jié)合.從2017年—2019年的廣東數(shù)學(xué)中考題分析,圓與相似三角形結(jié)合度最高,在近三年廣東中考題第24(3)題的解答過中均需找到相似的基本圖形,如2017年分拆出子母型,2018年、2019年都需分拆出相似A 型.如能熟練從復(fù)雜圖形中分拆出相似的基本圖形,解題的成功概率大大提高,下面總結(jié)出常見相似基本圖形分別有A 型、X 型、子母型以及“一線三等角”的K 型,如圖19.

圖19

4 解后反思

復(fù)雜的圖形都來源于幾個(gè)基本圖形結(jié)合而成,如果學(xué)生能從中追根索源,抽絲剝繭,分拆出基本圖形,問題就能迎刃而解,但分拆圖形能力不是與生俱來具備,需要教師在平時(shí)教學(xué)中不斷引導(dǎo),培養(yǎng)的,下面談?wù)勛龇?

4.1 重視基本概念與定理的講解

教師在講授一個(gè)新的概念、定理時(shí),忌只講結(jié)果,求套用.要講清新公式、定理使用條件,分析其推導(dǎo)過程,讓學(xué)生能知其來龍去脈,并能把文字定理,轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言表達(dá).讓學(xué)生感受定理中的圖形,圖形中的定理,初步形成基本圖形.

4.2 重視總結(jié)基本條件,基本圖形互推應(yīng)用

在講授整章內(nèi)容后,要求學(xué)生利用思維導(dǎo)圖分類總結(jié)公式、定理的應(yīng)用條件,作用等.如在圓這章中總結(jié)與角有關(guān)的定理有“垂徑定理”、“弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系定理”常用“角—弧—角”模型、“直徑所對(duì)的圓周角是直角”、“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”、“切線性質(zhì)定理”、“切線長定理”等.特別注意在圖形中標(biāo)注定理的使用條件與結(jié)論,產(chǎn)生出基本圖形.學(xué)生能看著基本條件聯(lián)想到基本圖形,或者觀察出基本圖形,能從條件中找出基本條件進(jìn)行有效解答,真正做到心中有圖,以不變應(yīng)萬變.

4.3 重視體驗(yàn)分拆基本圖形的過程

在講解綜合大題時(shí),教師注意示范分拆基本圖形的步驟,要讓學(xué)生充分體驗(yàn)分拆過程.常利用一題多解的訓(xùn)練,累積基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),深入了解基本圖形的特征與性質(zhì),逐步學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中分拆出“隱形”基本圖形或添加輔助線補(bǔ)成基本圖形;由辨識(shí)基本圖形到變換基本圖形,從而打開解題突破口.

在平時(shí)教學(xué)中以基本圖形為抓手,通過“感圖—識(shí)圖—用圖—變圖”四個(gè)過程,讓學(xué)生在獲得基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),增強(qiáng)幾何直觀能力;在鍛煉分拆基本圖形的基本技能的同時(shí),增強(qiáng)邏輯推理能力;在應(yīng)用基本圖形的同時(shí),培養(yǎng)了圖感,積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),有效解題,體驗(yàn)獲得成功的樂趣,增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信,真正提升了學(xué)生論證求解的能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).