思題所解 敘己所思
——2020年廣東中考數學壓軸題的深入研究

廣東省肇慶市宣卿中學(526000) 孔德泉

2020年全國各省市中考陸續(xù)落下帷幕,中考試題凝聚了命題專家的集體智慧,具有權威性、示范性、借鑒性,研究中考壓軸試題對數學深度教學大有裨益.筆者對廣東中考壓軸題進行研讀挖掘,體會深刻,撰寫成文,以此與讀者分享.

1 中考真題 情境再現(xiàn)

題目: 如圖y=+bx+c與x軸交于兩點,點A,B分別位于原點的左右兩側,BO= 3AO= 3, 過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C,D,

(2)求直線BD的函數解析式.

(3)點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方,點Q在射線BA上,當?ABD與?BPQ相似時,請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標.

圖1

圖2-1

2 解法研究 思路優(yōu)化

思路一: ?ABD三條邊的長均可求出,用三條對應邊分別成比例進行求解,此解法運算量十分繁瑣.

情形1(圖2-1): ?ABD～?PBQ,設QM=x(x >0),MP=y.平方化簡得,得4 +y2=,x2+y2=兩式相減得解得x1=,x2=?2(舍去),此時點Q1(1?

其他情形同理可得:

圖2-2

圖2-3

圖2-4

思路二: 若發(fā)現(xiàn)∠ABD= 30°, 則PM=對于上述前兩種情形只需設一個未知數, 利用兩條對應邊分別成比例,解一元方程,減少了運算量,達到思路一的優(yōu)化目的.

船舶設備在安裝中由于組件安裝的體積較大，重量較大，因此在安裝中通常借助起吊機，手工輔助機械裝置，進行相關組件設備的安裝。在此過程中分析大型組件設備安裝中的減振措施，對于設備安裝中的準確性提升意義重大。具體分析在實際發(fā)展中設備安裝準確性的保障，對于設備后期的應用質量保障，以及設備的實際應用效果提升奠定了良好的基礎。其中具體分析船舶設備安裝的準確性，主要體現(xiàn)在船舶設備安裝位置，安裝高度，安裝水平度的準確性，確保其設備組件后期在運行中的穩(wěn)定性和合格性。

思路三: 若發(fā)現(xiàn)∠ABD= 30°且∠ADB= 45°,利用三角函數確定邊長之間的關系,求解該題目將更加簡便,而∠ADB=45°極為隱晦,需學生具有豐富的數學經驗和敏銳的直覺思維,需要驗證AC⊥CD,AC=CD,需要全面理解題目中三角形的邊角元素構成特點.

章建躍博士:“數學是玩概念的,讓學生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題和解決問題的習慣”.以上幾種思路正是沿著相似三角形的對應角相等, 對應邊成比例的定義進行探索,不同的求解層次展現(xiàn)出學生不同的思維水平,具有良好的區(qū)分度.在有效的時間內快速地解題,“先動腦后動手”將變得相當重要, 學生也會在解題過程中進行不同層次間的轉化,在求解題目中不斷調整并尋求其他方法,學生不同的能力水平會呈現(xiàn)不同的表現(xiàn),這恰好是壓軸題的使命所在,正是題目設置的最突出的亮點—有效考查不同學生的數學能力.

3 幾何探路 本質解釋

該題目是拋物線背景下的幾何問題,去除拋物線的“外衣”,研究其幾何本質屬性,又可得到新方法.

思路四: 情形1, 2(如圖3-1.2) 作點D關于AB的對稱點D′, 連接AD′,D′B, 對稱軸與D′B相交于點P, 作PQ1//AB交AB于Q1,得?ABD′～?Q1BP,可以得到射線BA上一點Q2,使BP2=BQ1·BQ2,得

圖3-1.2

圖3-3.4

情形3,4(如圖3-3.4)同理作點D關于AB的對稱點D′,對稱軸上找一點P,作∠MBP= ∠D(實際作45°),過點P分別作PQ3//BD,PQ4//AD′,分別交AB于點Q3,Q4,由得Q3;再由BP2=BQ3·BQ4得Q4.

4 考查分析 題目欣賞

這是一道典型的綜合性極強的題目: 考查一次函數與二次函數的解析式,圖形變化,圖形與坐標,兩個點的動態(tài)變化,尋求三角形相似關系中對應角的不變性,對應邊成比例的穩(wěn)定性,要求學生具備猜想,分析,推理,分類,綜合,類比等多種思考方法,對學生的幾何直觀,運算能力,推理能力均有較高要求,體現(xiàn)數學的應用意識和創(chuàng)新意識,考查數形結合,分類討論,轉化等數學思想方法的綜合運用.

?ABD是兩個內角分別為30°, 45°特殊角的三角形,這樣的三角形非常典型, 而函數的二次項系數為什么是無理數在不改變題意的前提下, 點C在y軸上,BO= 3AO,?ABC為直角三角形,這其中的內在聯(lián)系是怎樣組織的? 系數能否調整為有理數,使之更加簡潔,因此筆者做如下嘗試:

設A(?m,0),B(3m,0),拋物線:y=a(x+m)(x?3m).代入得am=研究到這里,我們發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸左交點的橫坐標和二次項系數之積為定值,取AO=1 時,二次函數系數恰是本題目中的無理數若調整函數的二次項系數使其美觀,不妨取a=1,則拋物線與x軸交點的坐標數據變得錯綜復雜, 不利于發(fā)現(xiàn)?ABD中如30°,45°這樣的特殊角,既然題目這樣設置,我們猜想這應該是命題組的設計意圖,我們試圖做其他的改動將失去題目本身的考查意義.由此可見,原題目竟是何等的美麗與和諧.

5 題目變式 舉一反三

對于任何一個優(yōu)秀的題目,一線教師定會與學生們分享,如何講解該題目,如何最大發(fā)揮題目的價值,為了追求最大功效,可嘗試以下習題的變式進行過渡教學或者作為學生探究的素材.

題目變式1: (如圖4-1)y=+bx+c與x軸交于兩點,點A,B分別位于原點的左右兩側,過點B的直線與y軸正半軸的交點D恰好在拋物線上,滿足BD=2.

考查問題不變: 第三問仍舊是“點P在拋物線……請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標.”

圖4-1

圖4-2

題目變式3: 已知條件均不變,所求問題中,可改變點P的位置,如點P在拋物線的對稱軸上(去掉在x軸下方的限制要求);“點Q在射線BA上”改為“點Q在直線BA上”,利用這樣的變式可進行更加深入的探討.

6 求知若渴 學無止境

波利亞曾說:“解題從未存在完全徹底解決掉的題目,解完之后回頭再看看,就是解題回顧;解題就象采蘑菇,當你找到第一朵后,在周圍看看,因為他們總是成堆生長的”.2020中考壓軸題是否有其他解法或者新的發(fā)現(xiàn),期待讀者的不吝賜教.